А.Н. Яковлев - Введение в вейвлет преобразования (1275343), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

в котором применяется предварительная операция умножения сигнала на «окно» ; при этом окном является локальная во времени функция (например, прямоугольная, т.е. при и при и ), перемещаемая вдоль оси времени (рис. 1.17) для вычисления ПФ в разных позициях . В результате получается текущий спектр, т.е. частотно-временное описание сигнала.

Рис. 1.17

Если окно, показанное на рис. 1.17, перемещать скачками (через ) вдоль всего времени существования сигнала , то за некоторое число таких перемещений возможен «просмотр» всего сигнала. Так что вместо обычной спектрограммы получится набор спектрограмм, схематично представленный в виде прямоугольников на рис. 1.18, а. Такой спектральный анализ равносилен анализу с помощью набора фильтров с постоянной шириной полосы пропускания, равной .

Очевидно, что, поскольку каждое окно выделяет свой небольшой участок во времени, точность представления и разрешающая способность (по времени) могут быть повышены. Однако ввиду известного принципа неопределенности ( ) невозможно получить одновременно высокое разрешение и по частоте, и по времени. Окну с узкой шириной ( ) во времени будет соответствовать плохое разрешение по частоте (большая величина ).

Недостаток оконного ПФ состоит в том, что используется фиксированное окно и, следовательно, фиксированное разрешение по времени и частоте для всех точек плоскости преобразования (рис. 1.18, а), которое не может быть адаптировано к локальным свойствам сигнала.

ВП имеет существенное преимущество перед ПФ прежде всего за счет свойства локальности у вейвлетов. В вейвлет-пре­об­разовании операция умножения на окно как бы содержится в самой базисной функции, которая сужает и расширяет окно (рис. 1.18, б): с ростом параметра увеличивается разрешение по частоте и уменьшается разрешение по времени, а с уменьшением этого параметра уменьшается разрешение по частоте и увеличивается по времени. Отсюда появляется возможность адаптивного к сигналу выбора параметров окна. Подвижное частотно-временное окно одинаково хорошо выделяет и низкочастотные, и высокочастотные характеристики сигналов. Это свойство ВП дает ему большое преимущество при анализе локальных свойств сигналов.

а б

Рис. 1.18

Возможно локально реконструировать сигнал: реконструировать только часть сигнала или выделить вклад определенного масштаба. Если вейвлет-коэффициенты подвержены случайным ошибкам, они будут действовать на реконструируемый сигнал локально вблизи положения возмущения, а ПФ распространяет ошибки по всему восстанавливаемому сигналу.

Именно благодаря выявлению локальных особенностей сигнала, принципиально отсутствующему у ПФ, ВП нашло широкое применение для анализа тонкой структуры сигналов и изображений, для их сжатия и очистки от шума, что важно и полезно в радиотехнике, электронике, гидроакустике, геофизике, медицине и других областях науки и техники. При этом стоит отметить, что ВП ни в коем случае не является заменой традиционного преобразования Фурье и не умаляет его достоинств и значимости при работе со стационарными процессами и когда нет необходимости исследовать локальную структуру сигналов. ВП просто иное и позволяет посмотреть на исследуемый процесс с иной точки зрения.

Глава 2

Разложение сигналов
в ряд по вейвлетам

2.1. Диадное вейвлет-преобразование

При непрерывном изменении параметров и b для расчета вейвлет-спектра необходимы большие вычислительные затраты. Множество функций избыточно. Необходима дискретизация этих параметров при сохранении возможности восстановления сигнала из его преобразования. Дискретизация, как правило, осуществляется через степени двойки [1–3]:

, , , (2.1)

где и – целые числа. В этом случае плоскость превращается в соответствующую сетку . Параметр называется параметром масштаба.

Рассмотренная дискретизация наиболее распространена. Сетка дискретизации называется диадной и соответственное преобразование – диадным (dyadic) ВП.

Рис. 2.1 на примере вейвлета Хаара иллюстрирует дискретизацию . При фиксированном параметре вейвлеты имеют оди­наковые масштабы и лишь смещаются во времени. При увели­чении параметра на 1 масштаб увеличивается вдвое и вейв­леты вдвое растягиваются. Для различных значений шири­на различна и выбор гарантирует, что растяну­тые вейвлеты на уровне «покрывают» ось времени так же, как это делают исходные вейвлеты на уровне .

Рис. 2.1

Прямое и обратное диадное ВП непрерывных сигналов запишутся в виде:

, (2.2)

. (2.3)

Проводя аналогию с преобразованием Фурье, коэффициенты разложения (2.3) можно определить через непрерывное ВП

. (2.4)

Обращаясь к (2.2) и (2.4), видим, что вейвлет-спектр можно представить как «лес» из вертикальных отрезков, размещенных над – плоскостью (сеткой); при этом целочисленные координаты и указывают соответственно на скорость изменения сигнала и положение вдоль оси времени.

Из (2.3) следует, что сигнал может быть представлен сум­мой «вейвлетных волн» с коэффициентами . Формально обоб­щенный ряд Фурье (2.3) отличается от традиционного тем, что суммирование проводится не по одному, а по двум индексам. Однако это несущественно, так как обе системы индексации принадлежат одному классу бесконечных счетных множеств.

Диадное ВП часто называют дискретным. Однако, по мнению ряда авторов, например В.П. Дьяконова [8], такая подмена формулировки не совсем корректна: правильнее называть его диадным, представляющим особую разновидность непрерывного ВП и позволяющим устранить избыточность последнего.

Примечаниe. В некоторых публикациях параметры , и базисные функции задаются в виде

, , , (2.1’)

т.е. с ростом параметр уменьшается, что соответствует сжатию функции . Согласно формулам (2.1) с ростом увеличивается и коэффициент , т.е. функция растягивается.

Фреймы. Это особый вид вейвлетов, занимающих промежуточное положение между непрерывным и диадным ВП. Вейвлет-фреймы используют кратное двум масштабирование ( ), но непрерывный сдвиг. Следовательно, они сохраняют избыточность, которая присуща непрерывному ВП, но в гораздо меньшей мере по сравнению с ним. Они не входят в пакеты расширения систем компьютерной математики (СКМ). Но если необходимо, то соответствующие им инструментальные средства легко получить незначительной модификацией средств непрерывного ВП.

2.2. Дискретное преобразование

Статьи, касающиеся практического использования ВП, содержат в основной своей массе результаты компьютерных расчетов, в которых использовано дискретное вейвлет-преобра­зо­вание (ДВП или DWT). При этом не только параметры и , но и сигналы также дискретизируются во времени.

На основании теоремы Котельникова (теоремы отсчетов) непрерывный сигнал , спектр которого не содержит частот выше , полностью определяется дискретной последовательностью своих мгновенных значений , , отсчитываемых через интервалы времени :

, , (2.5)

где и – интервал (шаг) и частота дискретизации.

Таким образом, дискретизированный с шагом сигнал можно определить выражением:

(2.6)

где – дельта-функция.

Если число отсчетов составляет , то максимальное значение в формулах (2.1) будет равно . Наибольшее значение для текущего определяется: . В частности, для (т.е. число сдвигов базисного вейвлета составит ; с каждым последующим значением (1, 2, …) вейвлет расширяется в два раза, а число сдвигов уменьшается в два раза. Для максимального значения , равного , , т.е. один вейвлет «накрывает» весь интервал сигнала (рис. 2.1; ).

Вейвлет-коэффициенты (или ) можно вычислить с помощью итерационной процедуры, известной под названием быстрого вейвлет-преобразования БВП [1–3, 19, 25, 29]. Алгоритм БВП приведен в п. 2.4. При этом, если необходимо, можно сжать полученные данные, отбросив некоторую несущественную часть закодированной таким образом информации. Осуществляется это квантованием, в процессе которого приписываются разные весовые множители различным вейвлет-коэффи­циен­там. Аккуратно проведенная процедура позволяет не только удалить некоторые статистические флюктуации и повысить роль динамических характеристик сигнала, но и существенно сократить компьютерную память и требования к передаче информации и, следовательно, снизить расходы.

2.3. Примеры дискретного
вейвлет-преобразования (ДВП)

2.3.1. ДВП в Mathcad

Характеристики

Список файлов книги