Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования Российской Федерации

Новосибирский государственный технический
университет

А.Н. Яковлев

ВВЕДЕНИЕ
В ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Утверждено Редакционно-издательским советом
в качестве учебного пособия

Новосибирск
2003

УДК 621.372(075.8)+004.92(075.8)

Я 474

Рецензенты:

Кафедра радиотехнических систем

Сибирского государственного ун-та

телекоммуникаций и информатики (СибГУТИ)

Д-р техн. наук, проф. В.Н. Васюков (НГТУ),

канд. техн. наук, доц. Г.Х. Гарсков (СибГУТИ)

Работа выполнена на кафедре теоретических основ
радиотехники (ТОР)

Яковлев А.Н.

Я 474 Введение в вейвлет-преобразования: Учеб. пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. – 104 с.

ISBN 5-7782-0405-1

В сжатой и доступной форме рассмотрена новейшая технология обработки информации – непрерывное (глава 1), дискретное и быстрое вейвлет-преобразования (глава 2) сигналов, а также двумерное вейвлет-преобразование и обработка изображений (глава 3) . Приведены примеры применения ВП для анализа, фильтрации и сжатия сигналов и изображений. В приложениях дан «инструментарий» по ВП в системе компьютерной математики Wavelet Toolbox для MATLAB 6.

Для студентов, магистрантов, аспирантов, преподавателей и лиц, занимающихся обработкой сигналов, изображений и временных рядов в различных областях науки и техники.

УДК 621.372(075.8)+004.92(075.8)

ISBN 5-7782-0405-1 © Новосибирский государственный

технический университет, 2003

© Яковлев А. Н. , 2003

50-летию НГТУ (НЭТИ) посвящаю

Автор

Введение

В конце прошлого века возникло и успешно развивается новое и важное направление в теории и технике обработки сигналов, изображений и временных рядов, получившее название вейвлет-преобразование (ВП), которое хорошо приспособлено для изучения структуры неоднородных процессов.

Термин вейвлет (wavelet) ввели в своей статье Гроссманн (Grossmann) и Морле (Morlet) в середине 80-х годов XX века в связи с анализом свойств сейсмических и акустических сигналов. Их работа послужила началом интенсивного исследования вейвлетов в последующее десятилетие рядом ученых таких, как Добеши (Dobechies), Мейер (Meyer), Малл (Mallat), Фарж (Farge), Чуи (Chui) и др.

Вейвлеты представляют собой особые функции в виде коротких волн (всплесков) с нулевым интегральным значением и с локализацией по оси независимой переменной (t или x), способных к сдвигу по этой оси и масштабированию (растяжению/сжатию). Любой из наиболее часто используемых типов вейвлетов порождает полную ортогональную систему функций. В случае вейвлет-анализа (декомпозиции) процесса (сигнала) в связи с изменением масштаба вейвлеты способны выявить различие в характеристиках процесса на различных шкалах, а посредством сдвига можно проанализировать свойства процесса в различных точках на всем исследуемом интервале. Именно благодаря свойству полноты этой системы, можно осуществить восстановление (реконструкцию или синтез) процесса посредством обратного ВП.

Из анализа литературы, в частности, приводимой в конце пособия, следует, что ВП широко применяется для исследования нестационарных сигналов, неоднородных полей и изображений различной природы и временных рядов, для распознавания образов и для решения многих задач в радиотехнике, связи, электронике, ядерной физике, сейсмоакустике, метеорологии, биологии, экономике и других областях науки и техники.

За рубежом к настоящему времени по ВП опубликованы сотни книг и тысячи статей. В западных университетах читаются многочасовые курсы по теоретическим и практическим аспектам ВП, проводятся международные научные конференции и семинары.

Подтверждением значимости ВП является и тот факт, что алгоритмы ВП представлены в широко распространенных системах компьютерной математики (СКМ), таких как Mathcad, MATLAB, Mathematica. Международные стандарты JPEC-200, MPEG-4 и графические программные средства Corel DRAW 9/10 широко используют ВП для обработки изображений и, в частности, для сжатия изображений для каналов с ограниченной пропускной способностью, например, для Интернет. Кроме того, фирмой Analog Devices разработаны и выпускаются однокристальные дешевые микропроцессоры ADV6xx (ADV601, ADV601LC, ADV611, ADV612), основанные на ВП и предназначенные для сжатия и восстановления видеоинформации в реальном масштабе времени.

В России первые немногочисленные работы по применению ВП были опубликованы примерно с десятилетней задержкой. В основном они носили обзорный характер по материалам зарубежных публикаций [15, 19, 20, 26].

В последние несколько лет интерес к ВП у нас резко возрос. Появились учебные пособия [1–3], монография [4], переведены на русский фундаментальные теоретические книги И. Добеши [5] и Т. Чуи [6], вейвлетам посвящены разделы и главы в учебниках [10–14]. Несмотря на приличную стоимость (от 100 до 300 рублей), книги мгновенно исчезли с прилавков магазинов.

Кроме малого тиража и высокой стоимости книги по вейвлетам имеют существенные недостатки – слабую практическую реализацию ВП, отсутствие практических примеров и описания современного компьютерного «инструментария» для практи­ческого использования ВП.

В справочной книге [7], написанной В.П. Дьяконовым и И.В. Абраменковой и изданной в 2002 г. (тираж 5000 экз., 38 п.л., цена 160 руб.), авторами сделана попытка преодолеть последние из указанных выше недостатков. Справочник содержит сведения по современным средствам обработки и фильтрации сигналов и изображений, входящим в пакет MATLAB 6.0/6.1. В последующей книге [8] (тираж 3000, 28 п.л., цена 270 руб.) впервые, наряду с теоретическими сведениями о вейвлетах, детально описаны известные пакеты по вейвлетам – Wavelet Toolbox, Wavelet Extension Pack и Wavelet Explorer, используемые новейшими массовыми системами компьютерной математики (СКМ) MATLAB 6.0/6.1, Mathcad 2001 и Mathematica 4. Однако пользователь должен иметь сведения и навыки по этим СКМ хотя бы в рамках книг, опубликованных В.П. Дьяконовым в 2001–2002 гг.

В Санкт-Петербурге благодаря энтузиазму профессорско-преподавательского состава СПбГУ, СПбГТУ и других вузов регулярно действует городской семинар «Wavelet Seminar – вейвлеты (всплески) и их приложение». На Интернет-сайте этого семинара можно получить сведения о русскоязычных публикациях по вейвлетам, о зарубежных вейвлет-ресурсах, о новых книгах и просто полезные советы.

Защищен ряд диссертаций по теории и практике ВП и, в частности [22, 25].

И тем не менее ВП еще мало известно широкому кругу отечественных студентов, инженеров и исследователей. С сожалением приходится констатировать тот факт, что лишь немногие специалисты в радиотехнике и других областях науки и техники знают, что такое вейвлеты и как можно применять ВП.

Все изложенное выше послужило причиной написания настоящего пособия и включения основ ВП в программу курса «Радиотехнические цепи и сигналы». Автор попытался найти компромиссное решение между теоретическим и практическим описанием вейвлетов и ВП и доступностью, ясностью и объемом (и, следовательно, стоимостью) настоящего учебного пособия.

Автор надеется, что именно такой характер пособия сделает его востребованным студентами, магистрантами, аспирантами, преподавателями и широким кругом специалистов, связанных с обработкой сигналов, изображений и временных рядов как в радиотехнике, так и в других различных областях науки и техники.

Автор выражает глубокую благодарность рецензентам д-ру техн. наук проф. В.Н. Васюкову и канд. техн. наук. доц. Г.Х. Гарскову за полезные советы и критические замечания, а также специалисту по программированию Ю.В. Морозову за консультации при запуске программ в системе MATLAB.

Глава 1

Непрерывное
вейвлет-преобразование

1.1. Обобщенный ряд Фурье

Известно [13, 14], что произвольный сигнал , для которого выполняется условие

, (1.1)

может быть представлен ортогональной системой функций , т.е.

, (1.2)

коэффициенты которой определяются из соотношения

, (1.3)

где (1.4)

– квадрат нормы, или энергия базисной функции . При этом предполагается, что никакая из базисных функций не равна тождественно нулю и на интервале ортогональности выполняется условие

(1.5)

Базисная функция , для которой квадрат нормы равен единице ( ), называется нормированной (нормальной), а вся система функций – ортонормированной или ортонормальной. В этом случае говорят, что задан ортонормированный базис.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги