А.Н. Яковлев - Введение в вейвлет преобразования (1275343), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

title('Вейвлет-спектр'); xlabel('Временной сдвиг, b');

ylabel('Временной масштаб,a'); set(gca,'Xlim',[0 1000]);

[c,l] = wavedec(s,6,'db4');

for m = 1:6

d = detcoef(c,l,m); d = d(ones(1,2^m),:);

cfd(m,:) = wkeep(d(:)',1000);

end

cfd = cfd(:); I = find(abs(cfd)<sqrt(eps));

cfd(I) = zeros(size(I)); cfd = reshape(cfd,6,1000);

subplot(313), colormap(pink(16));

img = image(flipud(wcodemat(cfd,64,'row')));

set(get(img,'parent'), 'YtickLabel',[]);

title('Дискретное преобразование');

ylabel('Уровень, m'); xlabel('Временной сдвиг, b'); end

Рис. 2.8

На рис. 2.8 приведены диаграмма сигнала и его спектрограммы. Особенности спектрограммы непрерывного ВП этого сигнала обсуждены в примере 1.6. Очевидно, что детали сигнала просматриваются и на спектрограмме дискретного ВП, но с худшим разрешением.

Пример 2.4. Звуковой сигнал

Загрузим звуковой сигнал из файла mtlb с выборкой в 200 отсчетов (см. пример 1.7) и построим его график и две спектрограммы – непрерывного и дискретного ВП:

function ss_cd

load mtlb; v = mtlb(1:200)', lv = length(v);

subplot(311), plot(v); title('Звуковой сигнал');

set(gca, 'Xlim',[0 200]); [c,l] = wavedec(v,6,'sym2');

cfd = zeros(6,lv); subplot(312), ccfs = cwt(v,4:127,'sym2','plot');

title('Непрерывное преобразование'), colormap(pink(32));

ylabel('Временной масштаб,a'); xlabel('Временной сдвиг, b');

for m = 1:6

d = detcoef(c,l,m); d = d(ones(1,2^m),:);

cfd(m,:) = wkeep(d(:)',lv);

end

cfd=cfd(:); I = find(abs(cfd)<sqrt(eps));

cfd(I) = zeros(size(I)); cfd = reshape(cfd,6,lv);

subplot(313), colormap(pink(32));

img = image(flipud(wcodemat(cfd,64,'row')));

set(get(img,'parent'), 'YtickLabel',[]);

title('Дискретное преобразование');

ylabel('Уровень'); xlabel('Временной сдвиг, b');

end

Полученные в результате выполнения программы графики приведены на рис. 2.9.

Рис. 2.9

Очевидно, что все мельчайшие детали сложной временной зависимости отчетливо просматриваются на спектрограмме как непрерывного, так и дискретного ВП. Однако последнее выполняется значительно быстрее, хотя по детальности представления уступает непрерывному ВП.

Примечание. Обычное дискретное ВП (DWT) осуществляется исходя из предположения нестационарности сигнала. Если сигнал стационарный, то в этом частном случае можно использовать стационарное ВП [8]. Это преобразование, применяемое для очистки сигнала от шума, имеет ряд форм записи (см. прил. 2.6).

2.4. Быстрое вейвлет-преобразование

При исследовании сигналов полезно их представление в виде совокупности последовательных приближений грубой (аппроксимирующей) и уточненной (де­та­лизирующей) составляющих

, (2.7)

с последующим их уточнением итерационным методом. Каждый шаг уточнения соответствует определенному масштабу (т.е. уровню ) анализа (декомпозиции) и синтеза (реконструкции) сигнала. Такое представление каждой составляющей сигнала вейвлетами можно рассматривать как во временной, так и в частотной областях. В этом суть кратномасштабного анализа (КМА). В прил. 3 описан КМА для непрерывных сигналов.

Как уже отмечалось в разд. 2.3, в практике ВП в большинстве случаев мы имеем дело с дискретными сигналами. Однако формулы для ВП дискретных сигналов не могут быть получены простой дискретизацией формул диадного ВП для непрерывного сигнала. Найдем их из предпосылок КМА.

Пусть имеется непрерывный сигнал . Дискретный сигнал интерпретируем как последовательность коэффициентов , полученную в ходе КМА сигнала при масштабирующих функциях :

, (2.8)

где

– коэффициенты аппроксимации на уровне .

По концепции КМА сигнал декомпозируется на две составляющие (принадлежащие подпространствам и ):

. (2.9)

Следовательно, получены две новые последовательности и . Отметим, что последовательности и имеют половинную длину по сравнению с . Далее процесс декомпозиции может быть продолжен по (подпространства и ). Сигнал на уровне декомпозиции будет представлен совокупностью коэффициентов и .

Однако вычисления и по-прежнему зависят от непрерывных базисных функций и . Как показано в прил. 3, эти функции однозначно определяются коэффициентами :

, (2.10)

, (2.11)

, (2.12)

, (2.13)

где , – порядок вейвлета. Вейвлеты n-го порядка существуют только на интервале длиной и имеют отличающихся от нуля коэффициентов .

Из (2.10) и (2.11) можно получить следующие соотношения:

,

(2.14)

.

(2.15)

Итерационная процедура быстрого вейвлет-анализа получила название анализа от «тонкого» к «грубому» масштабу.

На практике наименьший возможный масштаб (наибольший уровень разрешения ) определяется числом дискретных значений сигнала ( ). На самом «тонком» значении масштаба ( , ) за аппроксимирующие коэффициенты принимаются сами отсчеты сигнала , т.е. , , . При переходе от текущего масштаба к следующему число вейвлет-коэффициентов уменьшается в два раза и они определяются по рекуррентным соотношениям:

, . (2.16)

Процесс останавливается после конечного числа уровней , которое зависит от протяженности сигнала ( ) и порядка ( ) фильтра .

При восстановлении (реконструкции) сигнала по его вейвлет-коэффициентам процесс идет от крупных масштабов к мелким и на каждом шаге описывается выражением

, (2.17)

которое получается из соотношений (2.10) и (2.11).

Число операций умножения при прямом быстром ВП (БВП) будет , где [29]. Столько же операций необходимо и для реконструкции сигнала. Таким образом, для анализа-синтеза сигнала в базисе вейвлетов необходимо выполнить операций, что не превышает ( и даже меньше) числа операций для быстрого преобразования Фурье ( ).

Таким образом, в практических приложениях с применением БВП используются только коэффициенты , сами же вейвлеты не вычисляются и в расчетах не используются.

Пакет Wavelet Toolbox позволяет осуществлять КМА с использованием БВП. При этом порядок следования коэффициентов – «дерево» коэффициентов приведено на рис. 2.10: декомпозиция сигнала – сверху-вниз и реконструкция – снизу-вверх.

Рис. 2.10

На рис. 2.11 приведен пример КМА, взятый из раздела демонстрационных примеров «wavedemo ». Слева под сигналом представлены аппроксимирующие коэффициенты , а справа – детализирующие ( от 1 до 5). Очевидно, что коэффициенты аппроксимации являются грубыми копиями сигнала, а детализирующие коэффициенты выделяют локальные особенности и свойства сигнала. Справа сверху приведен также вейвлет-спектр сигнала – cfs.

Функции для нахождения этих коэффициентов имеют ряд форм и, в частности:

, (2.18)

– возвращают аппроксимирующие и детализирующие коэффициенты из структуры вейвлет-разложения , – строка, содержащая имя вейвлета, уровень должен быть
целым числом, таким, что , где .

Рис. 2.11

Структура вейвлет-разложения

(2.19)

возвращает векторы вейвлет-разложения сигнала X на уровне ; выходная структура разложения содержит векторы и .

Реконструкцию (восстановление) сигнала с многоуровневой структурой разложения осуществляет функция waverec:

. (2.20)

2.5. О вейвлетах для БВП

Большинство используемых вейвлетов не имеют, к сожалению, аналитического выражения. Однако из предыдущего рассмотрения следует, что для практических расчетов используются не сами вейвлеты, а их коэффициенты .

Эти коэффициенты, однозначно определяющие отцовский и материнский вейвлеты, могут быть найдены из решения уравнения (2.11).

Следует отметить, что процесс определения коэффициентов , т.е. конструирования вейвлетов, достаточно сложен для пользователя. Да в этом и нет особой необходимости, так как уже создано большое число вейвлетов, в том числе входящих в пакет расширения Wavelet Toolbox, например, вейвлеты Добеши (dbN), Симплета (sumN), Койфлета (coifN), Хаара (haar) и др.; их подробное описание приведено в [7, 8].

Особо следует отметить вейвлеты Добеши. Это один из самых известных и используемых во многих практических приложениях типов. Вейвлеты порядка N (dbN) отличны от нуля лишь на интервале длиной 2N–1 и имеют 2N отличных от нуля коэффициентов фильтров и . Исключая случай N = 1 (а это есть базис Хаара, который не регулярен), функции и непрерывны и дифференцируемы.

Решение уравнения (2.11) для этих вейвлетов дает [5, 8]:

для (четырехточечный фильтр Добеши):

0.482963, 0.836516,

0.224144, – 0.129409,

, , , ;

для (шеститочечный фильтр):

0.332670, 0.806891, 0.459877,

– 0.135011, – 0.085441, 0.035227.

для (восьмиточечный фильтр):

0.230377, 0.714847, 0.630881,

– 0.027984, – 0.187035, 0.030841,

0.032883, – 0.010597.

На рис. 2.12 приведены отцовский (сплошной линией) и материнский вейвлеты второго, третьего и четвертого порядков, которые задаются приведенными выше коэффициентами фильтров.

Рис. 2.12

Очевидно, что вейвлеты высокого порядка ( и 4) более гладкие по сравнению с ; все функции и несимметричны. Порядок вейвлета определяет число нулевых моментов. В п.1.3 отмечалось, что чем большее число нулевых моментов содержит вейвлет (т.е. чем выше его порядок), тем более тонкую структуру сигнала он позволяет анализировать.

В вейвлет-преобразованиях, осуществляемых системой Mathcad, используется вейвлет .

2.6. Частотный подход к ВП

До сих пор рассмотрение ВП базировалось на временном подходе. Однако также плодотворна трактовка ВП в частотной области на базе частотной фильтрации. В этом случае КМА сигнала рассматривается как поэтапная процедура фильтрации. При этом частотный образ вейвлета можно разбить на низкочастотную и высокочастотную составляющие с частотой раздела, равной , т.е. представить реализацией двух фильтров.

Обратимся к схеме рис. 2.13. Сигнал подается на низкочастотный (нижняя часть схемы) и высокочастотный фильтры декомпозиции и . В них вычисляется свертка (цифровая фильтрация) по формуле:

Характеристики

Список файлов книги