А.Н. Яковлев - Введение в вейвлет преобразования (1275343), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Системы компьютерной математики Mathcad первыми использовали прямое и обратное дискретное ВП. В ядро систем (начиная с версии Mathcad 8) встроен единственный вейвлет – Добеши db4 (или DB4). При этом реализация ВП происходит с большой скоростью (т.е. эффективностью) и можно осуществлять практическое исследование различных сигналов и временных рядов на выявление как их свойств, так и свойств ВП.

Ядро систем Mathcad содержит две следующие функции ВП:

wave(x) – вектор прямого ВП;

iwave(w) – вектор обратного ВП.

Вектор данных и вектор вейвлет-спектра должны иметь ровно элементов ( – целое число). Результатом функции wave(x) является вектор, скомпонованный из коэффициентов двухпараметрического вейвлет-спектра .

Пример 2.1. Прямоугольный импульс с шумом

Исследуемый сигнал представляет собой аддитивную смесь

прямоугольного видеоимпульса и белого нормального шума (рис. 2.2):

(В), (мкс), (мкс)

.

Такая модель может характеризовать в первом приближении сигнал в видеотракте приемника радара (радиолокатора), сонара (гидролокатора) и оптического локатора.

Рис. 2.2

Представление сигнала и шума в дискретном виде:

, , , ,

,

Вейвлет-анализ, т.е. прямое ДВП:

Семейства коэффициентов вычисленного вейвлет-спектра показаны на рис. 2.3, а весь спектр – на рис. 2.4.

Примечание. У коэффициентов нижний индекс означает номер текущего отсчета времени и принимает N значений от 0 до N–1, а верхний имеет тот же смысл, что и у вейвлет-коэффициентов , определяемых по формуле (2.2). Напомним, что параметры и (которым соответствуют индексы вейвлет-коэффициентов) характеризуют дискретные изменения временного масштаба ( ) вейвлета и его сдвига ) во времени. Для текущего масштаба параметр имеет значений от 0 до . В частности, для ( ) вейвлет смещается N раз (включая нуль), т.е. индекс в и индекс в совпадают. При вейвлет расширяется по сравнению с вейвлетом в два раза и общее число сдвигов будет в два раза меньше; при этом значение будет изменяться через два отсчета . Для наибольшего временного масштаба, когда (в данном случае 7), и один вейвлет «накроет» весь временной интервал; при этом значение будет постоянным и равным при всех значениях от 0 до N – 1.

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Рис. 2.5

Вейвлет-синтез, т.е. обратное ДВП. Синтезируемый сигнал:

.

Осуществим синтезирование сигнала с подавлением коэффициентов при быстрых (высокочастотных) слагаемых обобщенного ряда (2.3):

.

Результаты представлены на рис. 2.5. Очевидно, что при синтез происходит без подавления составляющих и исследуемый и синтезируемый сигналы полностью совпадают.

С увеличением параметра расширяется полоса подавления составляющих в вейвлет-спектре, что эквивалентно пропусканию сигнала через фильтр низких частот с уменьшающейся полосой пропускания фильтра и, следовательно, росту подавления шума и относительно высокочастотных компонентов сигнала; последнее приводит к искажению (затягиванию) фронтов импульса.

Пример 2.2. Вейвлет-фильтрация бигармонического сигнала с шумом

На вход низкочастотного приемного тракта фазового параметрического гидролокатора [38] поступает сигнал

,

где – помеха в виде белого гауссова шума с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением ; – бигармонический (двухкомпонентный) сигнал

, ,

где – амплитуды компонентов эхосигнала на частотах и , – фазовые сдвиги, зависящие от акустической жесткости и структуры подводных объектов, и – время задержки и длительность эхоимпульса. Измеритель фазового сдвига приемника дает на своем выходе: во время действия сигнала напряжение, пропорциональное фазовому сдвигу , и равномерный шум вне интервала . Присутствие шума привносит случайную ошибку в измерения .

Задача ВП – это осуществление фильтрации из шума . Отфильт­рованный сигнал подается на измеритель фазового сдвига (ИФС на рис. 2.6).

Рис. 2.6

Моделирование сигнала , его ВП, алгоритма измерения фазового сдвига и оценки параметров входного и выходного сигналов осуществлено в пакете Mathcad (2001).

Дискретное ВП осуществлено на основе встроенной в пакет Mathcad базисной функции Добеши : wave(x) – вектор прямого ВП, iwave(w) – вектор обратного ВП. Сигнал был подвергнут (как и в примере 2.1) прямому ВП, и по найденному вектору коэффициентов осуществлено обратное ВП с подавлением коэффициентов при быстрых (высокочастотных) слагаемых ряда (2.3): , , .

На рис. 2.7 представлены входной сигнал и результат его вейвлет-фильтрации . Здесь В, кГц, , В, мс, мс, (z = 9), .

В ходе исследований изменялся параметр m и измерялись: среднеквадратическое значение шума после ВП, фазовый сдвиг , отклонение измеренного фазового сдвига от истинного и среднеквадратическое отклонение фазового сдвига . Результаты сведены в табл. 2.1.

При восстановление (синтез) сигнала происходит без подавления шума и синтезируемый и исследуемый полностью совпадают. С увеличением (на рис. 2.7 ) расширяется полоса подавления спектра, сужается полоса пропускания низкочастотной части спектра, что уменьшает уровень шума ( ).

Рис. 2.7

Т а б л и ц а 2.1

Установлено, что существует оптимальное , при котором отклонение , или среднеквадратическая ошибка , в измерении фазового сдвига эхосигнала минимально. При наряду с дальнейшим подавлением шума происходит искажение формы бигармонического импульсного сигнала, что приводит к росту и . Отметим, что при отсутствии шума ( ) измерение фазового сдвига происходит без ошибок (т.е. и ).

2.3.2. ДВП в Matlab

Изучение ДВП, как и непрерывного ВП, лучше осуществлять с помощью графического интерфейса GUI (прил.1). Для вызова меню следует исполнить команду wavemenu. В появившемся окне со списком разделов ВП активизировать позицию Wavelet 1-D, а далее установить и выбрать один из 32 примеров применения вейвлет-технологии.

Пакет расширения систем MATLAB 6.0/6.1 Wavelet Toolbox 2/2.1 содержит несколько функций нахождения вейвлет-коэффициентов (прил. 2, П.2.2), например,

coef = detcoef(C,L,M).

Эта функция возвращает коэффициенты на уровне М из структуры wavelet разложения [C, L]; при этом уровень М должен быть целым числом, таким, что , где .Функция [С, L] = wavedec(S, M, 'wname') возвращает векторы wavelet разложения сигнала Х на уровне М, используя выбранный вейвлет (с именем ‘wname’).

Пример 2.3. Бигармонический сигнал с шумом

Модель такого сигнала приведена в примере 2.2. Найдем его непрерывный и дискретный вейвлет-спектры:

function binar_rauch_wav_1

t = 0:0.000001:0.001; A1 = 1; A2 = 1; F1 = 10000; F2 = 2*F1; a1 = 0; a2 = 0;

s1(1:200) = 0; t2 = 0.0002:0.000001:0.0008;

s2 = A1*sin(2*pi*F1*t2 + a1) + A2*sin(2*pi*F2*t2+a2);

s3(1:200) = 0; s = [s1 s2 s3]; randn('state',0); g = 0.5; n = g*randn(size(t));

x = s + n; figure (1); subplot(311), plot(t,x,'k'); title('Сигнал x(t)'); grid on;

gtext('F=10кГц, А1=А2=1В, g=0.5 B');

subplot(312), c = cwt(x,1:64,'mexh','absglb',[0 400]);

Характеристики

Список файлов книги