Главная » Просмотр файлов » А.Н. Яковлев - Введение в вейвлет преобразования

А.Н. Яковлев - Введение в вейвлет преобразования (1275343), страница 2

Файл №1275343 А.Н. Яковлев - Введение в вейвлет преобразования (Яковлев А.Н. - Введение в вейвлет преобразования) 2 страницаА.Н. Яковлев - Введение в вейвлет преобразования (1275343) страница 22021-11-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ряд (1.2), в котором коэффициенты определяются по формуле (1.3), называется обобщенным рядом Фурье.

Произведение вида , входящее в ряд (1.2), представляет собой спектральную составляющую сигнала , а совокуп­ность коэффициентов назы­вается с п е к т р о м сигнала. Гра­фи­че­с­кое изображение в виде вер­ти­кальных отрезков, называемое спек­т­раль­ной диаграммой, дает наглядное пред­ставление о спектре сигнала (рис. 1.1).

С

Рис. 1.1

уть спектрального анализа сигнала состоит в определении коэффициентов (экспериментально или аналитически) в соответствии с (1.3).

На основе ряда (1.2) возможен синтез (аппроксимация) сигналов при фиксированном числе ряда

. (1.2’)

При этом обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным свойством: при заданной системе базисных функций и числе слагаемых он обеспечивает наилучший синтез (аппроксимацию), давая минимум среднеквадратической ошибки , под которой понимается величина

= = . (1.6)

Ортогональная система называется полной, если увеличением можно сделать сколь угодно малой. Ряд (1.2) называется в этом случае сходящимся в среднеквадратическом.

Относительная ошибка синтеза определяется по формуле

, (1.7)

где Э – энергия сигнала (на сопротивлении 1 Ом), численно равная квадрату нормы сигнала , т.е.

. (1.8)

Формула (1.8) с учетом ряда (1.2) может быть записана

, (1.9)

а при использовании ортонормированной системы функций

Э .

Очевидно, что средняя за период мощность сигнала

. (1.10)

Выражение вида (1.9) или (1.10) называется равенством Парсеваля.

О выборе рациональной системы ортогональных функций. Решение этого вопроса зависит от поставленной задачи.

Так при анализе и синтезе сигналов, воздействующих на линейные цепи, наибольшее распространение получила система гармонических функций. Во-первых, гармонические колебания в отличие от других сохраняют свою форму при прохождении через эти цепи; изменяются лишь амплитуда и начальная фаза. Во-вторых, широко используется хорошо разработанный в теории цепей символический метод. Представление сигналов в базисе гармонических функций традиционно рассматривается в радиотехнических курсах, например в [13, 14].

Из множества других задач наиболее важной является задача приближенного разложения сложных сигналов, при которой требуемая точность обеспечивается при минимуме членов ряда. Для представления непрерывных сигналов применяются полиномы и функции Лагерра, Лежандра, Чебышева, Эрмита и др. Для представления сигналов с точками разрыва используются кусочно-постоянные функции Уолша, Хаара, Радемахера [14]. Для дискретизации непрерывных сигналов во времени используется ортогональный ряд Котельникова [13, 14].

В последние годы широко используются базисные функции типа вейвлетов, которым и посвящено это учебное пособие.

1.2. Вейвлеты. Общие замечания

Английское слово wavelet (от французского «ondelette») дословно переводится как «короткая (маленькая) волна». В различных переводах зарубежных статей на русский язык встречаются еще термины: «всплеск», «всплесковая функция», «маловолновая функция», «волночка» и др.

Вейвлет-преобразование (ВП) одномерного сигнала – это его представление в виде обобщенного ряда или интеграла Фурье по системе базисных функций

, (1.11)

сконструированных из материнского (исходного) вейвлета , обладающего определенными свойствами за счет операций сдвига во времени ( ) и изменения временного масштаба ( ) (рис. 1.2). Множитель обеспечивает независимость нормы этих функций от масштабирующего числа .

Итак, для заданных значений параметров и функция и есть вейвлет, порождаемый материнским вейвлетом .

На рис. 1.2 в качестве примера приведены вейвлет «мекси­кан­ская шляпа» (а) и модуль его спектральной плотности (б).

Малые значения а соответствуют мелкому масштабу или высоким частотам ( ), большие параметры – крупному масштабу , т.е. растяжению материнского вейвлета и сжатию его спектра.

Т

а б

Рис. 1.2

аким образом, в частотной области спектры вейвлетов похожи на всплески (волночки) с пиком на частоте и полосой , т.е. имеют вид полосового фильтра; при этом и уменьшаются с ростом параметра .

Следовательно, вейвлеты локализованы как во временной, так и частотной областях.

Рис. 1.3

В соответствии с принципом неопределенности произведение эффективной длительности ( ) и эффективной ширины спектра ( ) функции (площадь прямоугольников на рис. 1.3) остается неизменным. Кроме того, из-за масштабирования и временного сдвига ( ) сохраняется относительная «плотность» расположения базисных функций по оси t.

Следует отметить, что спектральное представление (образ) вейвлетов аналогично заданию окна в оконном преобразовании Фурье. Но отличие состоит в том, что свойства окна (его ширина и перемещение по частоте) присущи самим вейвлетам. Это служит предпосылкой их адаптации к сигналам, представляемым совокупностью вейвлетов. Поэтому нетрудно понять, что с помощью вейвлетов можно осуществить анализ и синтез локальной особенности любого сигнала (функции ).

1.3. Главные признаки вейвлета

В качестве базисных функций, образующих орто­го­нальный базис, можно использовать широкий набор вейвлетов. Для практического применения важно знать признаки, которыми непременно должна обладать исходная функция, чтобы стать вейвлетом. Приведем здесь основные из них.

Ограниченность. Квадрат нормы функции должен быть конечным:

. (1.12)

Локализация. ВП в отличие от преобразования Фурье использует локализованную исходную функцию и во времени, и по частоте. Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:

и , при . (1.13)

Например, дельта-функция и гармоническая функция не удовлетворяют необходимому условию одновременной локализации во временной и частотной областях.

Нулевое среднее. График исходной функции должен осциллировать (быть знакопеременным) вокруг нуля на оси времени (см. рис. 1.2) и иметь нулевую площадь

. (1.14)

Из этого условия становится понятным выбор названия «вейвлет» – маленькая волна.

Равенство нулю площади функции , т.е. нулевого момента, приводит к тому, что фурье-преобразование этой функции равно нулю при и имеет вид полосового фильтра. При различных значениях это будет набор полосовых фильтров.

Часто для приложений бывает необходимо, чтобы не только нулевой, но и все первые моментов были равны нулю

. (1.15)

Вейвлеты -го порядка позволяют анализировать более тонкую (высокочастотную) структуру сигнала, подавляя медленно изменяющиеся его составляющие.

Автомодельность. Характерным признаком ВП является его самоподобие. Все вейвлеты конкретного семейства имеют то же число осцилляций, что и материнский вейвлет , поскольку получены из него посредством масштабных преобразований ( ) и сдвига ( ).

1.4. Примеры материнских вейвлетов

Основные вейвлетообразующие функции, или материнские вейвлеты, приведены в табл. 1.1.

Наиболее распространенные вещественные базисы конструируются на основе производных функции Гаусса ( . Это обусловлено тем обстоятельством, что функция Гаусса имеет наилучшие показатели локализации как во временной, так и в частотной областях.

На рис. 1.4 показаны вейвлеты первых четырех порядков и модули их спектральной плотности. При получаем вейвлет первого порядка, называемый WAVE-вейвлетом с равным нулю нулевым моментом. При получаем MHAT-вейвлет, называемый «мексиканская шляпа» (mexican hat – похож на сомбреро). У него нулевой и первый моменты равны нулю. Он имеет лучшее разрешение, чем WAVE-вейвлет.

Свойства гауссовых вейвлетов подробно описаны в [13]. В работе [30] показано, что совместное использование вейвлетов для ВП существенно повышает точность вейвлет-анализа.

Т а б л и ц а 1.1

Вейвлеты

Аналитическая запись

Спектральная плотность

Вещественные непрерывные базисы

Гауссовы:

– первого порядка, или WAVE-вейвлет,

– второго порядка, или MHAT-вейвлет «мексиканcкая шляпа» – mexican hat),

n-го порядка,

DOG – difference of gaussians

LP-Littlewood & Paley

Вещественные дискретные

HAAR-вейвлет

FHAT-вейвлет, или
«французская шляпа» (French hat – похож на цилиндр)

Комплексные

Морле (Morlet)

Пауля (Paul) (чем больше n, тем больше нулевых моментов имеет вейвлет)

Наиболее простой пример дискретного вейвлета – это HAAR-вейвлет. Недостатком его являются несимметричность формы и негладкость – резкие границы в t-области, вследствие

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
13,98 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее