Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ряд (1.2), в котором коэффициенты определяются по формуле (1.3), называется обобщенным рядом Фурье.

Произведение вида , входящее в ряд (1.2), представляет собой спектральную составляющую сигнала , а совокуп­ность коэффициентов назы­вается с п е к т р о м сигнала. Гра­фи­че­с­кое изображение в виде вер­ти­кальных отрезков, называемое спек­т­раль­ной диаграммой, дает наглядное пред­ставление о спектре сигнала (рис. 1.1).

С

Рис. 1.1

уть спектрального анализа сигнала состоит в определении коэффициентов (экспериментально или аналитически) в соответствии с (1.3).

На основе ряда (1.2) возможен синтез (аппроксимация) сигналов при фиксированном числе ряда

. (1.2’)

При этом обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным свойством: при заданной системе базисных функций и числе слагаемых он обеспечивает наилучший синтез (аппроксимацию), давая минимум среднеквадратической ошибки , под которой понимается величина

= = . (1.6)

Ортогональная система называется полной, если увеличением можно сделать сколь угодно малой. Ряд (1.2) называется в этом случае сходящимся в среднеквадратическом.

Относительная ошибка синтеза определяется по формуле

, (1.7)

где Э – энергия сигнала (на сопротивлении 1 Ом), численно равная квадрату нормы сигнала , т.е.

. (1.8)

Формула (1.8) с учетом ряда (1.2) может быть записана

, (1.9)

а при использовании ортонормированной системы функций

Э .

Очевидно, что средняя за период мощность сигнала

. (1.10)

Выражение вида (1.9) или (1.10) называется равенством Парсеваля.

О выборе рациональной системы ортогональных функций. Решение этого вопроса зависит от поставленной задачи.

Так при анализе и синтезе сигналов, воздействующих на линейные цепи, наибольшее распространение получила система гармонических функций. Во-первых, гармонические колебания в отличие от других сохраняют свою форму при прохождении через эти цепи; изменяются лишь амплитуда и начальная фаза. Во-вторых, широко используется хорошо разработанный в теории цепей символический метод. Представление сигналов в базисе гармонических функций традиционно рассматривается в радиотехнических курсах, например в [13, 14].

Из множества других задач наиболее важной является задача приближенного разложения сложных сигналов, при которой требуемая точность обеспечивается при минимуме членов ряда. Для представления непрерывных сигналов применяются полиномы и функции Лагерра, Лежандра, Чебышева, Эрмита и др. Для представления сигналов с точками разрыва используются кусочно-постоянные функции Уолша, Хаара, Радемахера [14]. Для дискретизации непрерывных сигналов во времени используется ортогональный ряд Котельникова [13, 14].

В последние годы широко используются базисные функции типа вейвлетов, которым и посвящено это учебное пособие.

1.2. Вейвлеты. Общие замечания

Английское слово wavelet (от французского «ondelette») дословно переводится как «короткая (маленькая) волна». В различных переводах зарубежных статей на русский язык встречаются еще термины: «всплеск», «всплесковая функция», «маловолновая функция», «волночка» и др.

Вейвлет-преобразование (ВП) одномерного сигнала – это его представление в виде обобщенного ряда или интеграла Фурье по системе базисных функций

, (1.11)

сконструированных из материнского (исходного) вейвлета , обладающего определенными свойствами за счет операций сдвига во времени ( ) и изменения временного масштаба ( ) (рис. 1.2). Множитель обеспечивает независимость нормы этих функций от масштабирующего числа .

Итак, для заданных значений параметров и функция и есть вейвлет, порождаемый материнским вейвлетом .

На рис. 1.2 в качестве примера приведены вейвлет «мекси­кан­ская шляпа» (а) и модуль его спектральной плотности (б).

Малые значения а соответствуют мелкому масштабу или высоким частотам ( ), большие параметры – крупному масштабу , т.е. растяжению материнского вейвлета и сжатию его спектра.

Т

а б

Рис. 1.2

аким образом, в частотной области спектры вейвлетов похожи на всплески (волночки) с пиком на частоте и полосой , т.е. имеют вид полосового фильтра; при этом и уменьшаются с ростом параметра .

Следовательно, вейвлеты локализованы как во временной, так и частотной областях.

Рис. 1.3

В соответствии с принципом неопределенности произведение эффективной длительности ( ) и эффективной ширины спектра ( ) функции (площадь прямоугольников на рис. 1.3) остается неизменным. Кроме того, из-за масштабирования и временного сдвига ( ) сохраняется относительная «плотность» расположения базисных функций по оси t.

Следует отметить, что спектральное представление (образ) вейвлетов аналогично заданию окна в оконном преобразовании Фурье. Но отличие состоит в том, что свойства окна (его ширина и перемещение по частоте) присущи самим вейвлетам. Это служит предпосылкой их адаптации к сигналам, представляемым совокупностью вейвлетов. Поэтому нетрудно понять, что с помощью вейвлетов можно осуществить анализ и синтез локальной особенности любого сигнала (функции ).

1.3. Главные признаки вейвлета

В качестве базисных функций, образующих орто­го­нальный базис, можно использовать широкий набор вейвлетов. Для практического применения важно знать признаки, которыми непременно должна обладать исходная функция, чтобы стать вейвлетом. Приведем здесь основные из них.

Ограниченность. Квадрат нормы функции должен быть конечным:

. (1.12)

Локализация. ВП в отличие от преобразования Фурье использует локализованную исходную функцию и во времени, и по частоте. Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:

и , при . (1.13)

Например, дельта-функция и гармоническая функция не удовлетворяют необходимому условию одновременной локализации во временной и частотной областях.

Нулевое среднее. График исходной функции должен осциллировать (быть знакопеременным) вокруг нуля на оси времени (см. рис. 1.2) и иметь нулевую площадь

. (1.14)

Из этого условия становится понятным выбор названия «вейвлет» – маленькая волна.

Равенство нулю площади функции , т.е. нулевого момента, приводит к тому, что фурье-преобразование этой функции равно нулю при и имеет вид полосового фильтра. При различных значениях это будет набор полосовых фильтров.

Часто для приложений бывает необходимо, чтобы не только нулевой, но и все первые моментов были равны нулю

. (1.15)

Вейвлеты -го порядка позволяют анализировать более тонкую (высокочастотную) структуру сигнала, подавляя медленно изменяющиеся его составляющие.

Автомодельность. Характерным признаком ВП является его самоподобие. Все вейвлеты конкретного семейства имеют то же число осцилляций, что и материнский вейвлет , поскольку получены из него посредством масштабных преобразований ( ) и сдвига ( ).

1.4. Примеры материнских вейвлетов

Основные вейвлетообразующие функции, или материнские вейвлеты, приведены в табл. 1.1.

Наиболее распространенные вещественные базисы конструируются на основе производных функции Гаусса ( . Это обусловлено тем обстоятельством, что функция Гаусса имеет наилучшие показатели локализации как во временной, так и в частотной областях.

На рис. 1.4 показаны вейвлеты первых четырех порядков и модули их спектральной плотности. При получаем вейвлет первого порядка, называемый WAVE-вейвлетом с равным нулю нулевым моментом. При получаем MHAT-вейвлет, называемый «мексиканская шляпа» (mexican hat – похож на сомбреро). У него нулевой и первый моменты равны нулю. Он имеет лучшее разрешение, чем WAVE-вейвлет.

Свойства гауссовых вейвлетов подробно описаны в [13]. В работе [30] показано, что совместное использование вейвлетов для ВП существенно повышает точность вейвлет-анализа.

Т а б л и ц а 1.1

Наиболее простой пример дискретного вейвлета – это HAAR-вейвлет. Недостатком его являются несимметричность формы и негладкость – резкие границы в t-области, вследствие

Характеристики

Список файлов книги