А.Н. Яковлев - Введение в вейвлет преобразования (1275343), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

ч

Рис. 1.4

t

его возникает бесконечное чередование «лепестков» в частотной области, хотя и убывающих как .

вейвлет, имеющий, наоборот, резкие границы в -об­лас­ти, можно считать другим предельным случаем.

Среди комплексных вейвлетов наиболее часто используется базис, основанный на хорошо локализованном и во временной и в частотной областях вейвлете Морле. Характерный параметр позволяет изменять избирательность базиса. Ве­щест­венная и мнимая части – это амплитудно-моду­ли­ро­ван­ные колебания.

Выше был представлен небольшой перечень типов вейвлетов, описываемых аналитически в явном виде. Однако большинство типов вейвлетов не имеют аналитического описания в виде одной формулы, а задаются итерационными выражениями, легко вычисляемыми компьютерами. Примером таких вейвлетов являются функции Добеши (Daubechies), одна из которых (db4) используется в качестве встроенной для ВП в Mathcad.

В настоящее время выбор вейвлетов довольно обширен.

Только в пакете Wavelet Toolbox 2.0/2.1 (MATLAB 6) представлено полтора десятка материнских вейвлетов; при этом для ряда из них дано ещё множество вариантов. Для получения справки по какому-либо типу вейвлета при работе в командном режиме MATLAB достаточно исполнить команду waveinfo (‘type’), указав тип вейвлета. Для просмотра же вейвлетов доста­точ­но исполнить команду wavemenu и в появившемся окне со списком разделов ВП нажать кнопку Wavelet Display. Нажатие этой кнопки выводит окно просмотра вейвлетов, в котором имеется возможность просмотра: общей информации о вейвлетах, выбранного вейвлета (с именем ‘Name’) и информации о нем. На рис. П.1 дано окно просмотра Wavelet Display с данными о вейвлете Добеши db4.

Сведения по сравнению вейвлетов различного типа приведены в [8, разд. 2.9].

Выбор конкретного материнского вейвлета (будь то непрерывный или дискретный) целиком зависит от характера поставленной задачи и от конкретного анализируемого сигнала. Разные сигналы удается анализировать тем или иным способом, и критерием успеха обычно служит простота получаемого разложения. При этом решающим фактором оказываются интуиция и практический опыт исследователя.

1.5. Непрерывное
вейвлет-преобразование

Непрерывное (интегральное) вейвлет-преобразование (НВП или СWT – continuous wavelet transform).

Сконструируем базис с помощью непрерывных масштабных преобразований ( ) и переносов ( ) материнского вейвлета с произвольными значениями базисных параметров и в формуле (1.11).

Тогда по определению прямое (анализ) и обратное (синтез) HВП (т.е. ПНВП и ОНВП) сигнала запишутся:

, (1.16)

, (1.17)

где – нормирующий коэффициент

,

– скалярное произведение соответствующих сомножителей, – фурье-преобразование вейвлета . Для ортонормированных вейвлетов = 1.

Из (1.16) следует, что вейвлет-спектр (wavelet spectrum, или time-scale-spectrum – масштабно-временной спектр) в отличие от фурье-спектра (single spectrum) является функцией двух аргументов: первый аргумент а (временной масштаб) аналогичен периоду осцилляций, т.е. обратен частоте, а второй – аналогичен смещению сигнала по оси времени.

Следует отметить, что характеризует временную зависимость (при ), тогда как зависимости можно поставить в соответствие частотную зависимость (при ).

Если исследуемый сигнал представляет собой одиночный импульс длительностью , сосредоточенный в окрестности , то его вейвлет-спектр будет иметь наибольшее значение в окрестности точки с координатами , .

Способы представления (визуализации) могут быть различными. Спектр является поверхностью в трехмерном пространстве (см. рис. 1.5). Однако часто вместо изображения поверхности представляют её проекцию на плоскость с изоуровнями (рис. 1.6), позволяющими проследить изменение интенсивности амплитуд ВП на разных масштабах (а) и во времени ( ). Кроме того, изображают картины линий локальных экстремумов этих поверхностей, так называемый скелетон (sceleton), который выявляет структуру анализируемого сигнала.

1.6. Свойства вейвлет-анализа

Прямое ВП содержит комбинированную информацию об анализируемом сигнале и анализирующем вейвлете. Несмотря на это, ВП позволяет получить объективную информацию о сигнале, потому что некоторые свойства ВП не зависят от выбора анализирующего вейвлета. Независимость от вейвлета делает эти простые свойства очень важными.

Линейность. Она следует из скалярного произведения (1.16):

.

Сдвиг. Смещение сигнала во временной области на ведет к сдвигу вейвлет-образа также на :

.

Масштабирование. Растяжение (сжатие) сигнала приводит также к растяжению (сжатию) его в области :

.

Дифференцирование:

,

где , . Из этого свойства следует, что проигнорировать, например, крупномасштабные составляющие и проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала можно дифференцированием нужное число раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Если учесть, что часто сигнал задан цифровым рядом, а анализирующий вейвлет–формулой, то это свойство весьма полезное.

Масштабно-временная локализация. Она обусловлена тем, что элементы базиса ВП хорошо локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном.

За счет изменения масштаба (увеличение приводит к сужению фурье-спектра функции ) вейвлеты способны выявлять различие в характеристиках на разных шкалах (частотах), а за счет сдвига проанализировать свойства сигнала в разных точках на всем исследуемом интервале. Поэтому при анализе нестационарных сигналов за счет свойства локальности вейвлетов получают существенное преимущество перед преобразованием Фурье, которое дает только глобальные сведения о частотах (масштабах) анализируемого сигнала, так как используемая при этом система функций (комплексная экспонента или синусы и косинусы) определена на бесконечном интервале.

Поэтому неслучайно многие исследователи называют вейвлет-анализ «математическим микроскопом». Это название хорошо отражает замечательные свойства метода сохранять хорошее разрешение на разных масштабах. Параметр сдвига фиксирует точку фокусировки микроскопа, масштабный коэффициент – увеличение, и, наконец, выбором мате­ринского вейвлета определяют оптические качества микроскопа. Способность этого микроскопа обнаруживать внутреннюю структуру существенно неоднородного процесса и изучать его локальные свойства продемонстрирована на многих примерах (см., например, [1]).

1.7. Примеры непрерывных
вейвлет-преобразований

Непрерывное ВП нашло широкое применение в обработке сигналов. В частности, вейвлет-анализ (ВА) дает уникальные возможности распознавать локальные и «тонкие» особенности сигналов (функций), что важно во многих областях радиотехники, связи, радиоэлектроники, геофизики и других отраслях науки и техники.

Рассмотрим эту возможность на некоторых простейших примерах.

1.7.1. Определение вейвлет-спектра
на основе «мексиканской шляпы»
в системе Mathcad

Программирование ВП базируется на соотношениях (1.11), (1.16), (1.17).

Хорошо известная распространенная у нас система компьютерной математики Mathcad очень удобна для ознакомления с техникой ВП. Общение пользователя с этой системой осуществляется с помощью простого математически ориентированного языка. Вычисление интегралов выполняется стандартным оператором интегрирования.

Следует отметить, что на практике невозможно проводить вычисления с непрерывными значениями и ; так или иначе приходится задавать их дискретные значения и, в частности, для графического представления результата вычислений, что и сделано в приводимых ниже примерах. Выбор значений и сделан таким, чтобы вейвлет-спектрограммы выглядели детально и наглядно.

Пример 1.1. Гармоническое колебание

,

г
де В, , .

Вейвлетобразующая функция:

, .

Вейвлеты: .

Вейвлет-спектр:

, , ,

Г
рафик двухпараметрического спектра выведен на рис. 1.5 в виде поверхности в трехмерном пространстве, а на рис. 1.6 – в виде привычных для ВП изоуровней на плоскости (a,b). Следует отметить, что сечение для временного масштаба характеризует исходное колебание ; при этом амплитуда его максимальна при . Зависимости можно поставить в соответствие текущий спектр колебания при .

Рис. 1.5

Рис. 1.6

Пример 1.2. Сумма двух гармонических колебаний

С
игнал имеет вид: ,

где В, , , с, с.

Характеристики

Список файлов книги