Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Следующий пример демонстрирует все эти тестовые сигналы (рис. П.12):

ind = linspace(0,1,2^8);

for i = 1:6

x = wnoise(i, 8);

subplot(6,1,i), plot(ind,x)

end

Рис. П.12

Приложение 3

Кратномасштабный анализ

Представление сигнала в виде (2.7) и создание соответствующих ортогональных вейвлетов могут быть пояснены на основе теории функциональных пространств.

Пусть исходная функция принадлежит пространству интегрируемых в квадрате функций. Обозначим подпространство функций, аппроксимирующих на масштабе как , а сами функции как (см. ф-лу (2.7)).

Кратномасштабный анализ (КМА), называемый также многомасштабным, базируется на следующих предпосылках теории функциональных пространств.

1. Пространство сигналов описывается через иерархически вложенные подпространства , объединение которых дает в пределе , т.е.

, = . (П.1)

1. Для функции ее сжатая версия принадлежит подпространству .

2. Существует такая функция , что ее сдвиги

. (П.2)

образуют ортонормированный базис пространства . Функция удовлетворяет условию

(П.3)

и называется масштабирующей (масштабной) или отцовским вейвлетом.

Р

Рис. П.13

ис. П.13 схематично поясняет вложенные пространства.

Так как функции образуют ортонормированный базис подпространства , то функции

(П.4)

образуют ортонормированный базис подпространства . Эти функции создают свои масштабированные версии в пространстве сигнала. Аппроксимация является ортогональной проекцией на :

(П.5)

Если масштабный коэффициент велик, то компонент есть грубая аппроксимация сигнала и детали отсутствуют. Чем меньше значение , тем аппроксимация будет точнее.

Итак, сигнал в пространстве может быть представлен множеством последовательных его приближений в :

. (П.6)

Из вложенности пространств и того, что – ортонормированный базис подпространства , вытекает следующее масштабирующее выражение:

, (П.7)

где

(П.8)

– коэффициенты масштабирующей функции (масштабный вектор или масштабный фильтр). Коэффициенты полностью характеризуют саму функцию , т.е. она может быть получена с любой точностью.

Из рассмотрения рис. П.13 очевидно, что пространство построено из множества «кольцевых» полос, представляющих разность двух соседних подпространств. Эти «кольцевые» подпространства обозначаются через и определяются как ортогональные дополнения подпространств и :

, , = . (П.9)

Рис. П.14 поясняет графическое представление КМА с разложением пространства на его подпространство и ортогональное дополнение , и то же самое повторяется на более низких уровнях.

Пусть есть базисная функция (материнский вейвлет) пространства .

Т

Рис. П.14

огда учитывая, что , для функции получим соотношение, аналогичное (П.7):

, (П.10)

где (П.11)

– некоторая последовательность, т.е. коэффициенты материнского вейвлета.

Базисные функции для подпространств образуются смещением и масштабированием функции :

. (П.12)

Функции идентичны полученным в разделе 2.1 [формула (2.1)].

Получим выражения, связывающие последовательности и . Так как есть ортогональное дополнение , то функции и должны быть ортогональными, и из (П.7) и (П.10) следует, что

(П.13)

и

. (П.14)

где , – порядок вейвлета.

Из (П.10) следует, что вейвлеты полностью определяются масштабирующей функцией , а последняя согласно (П.7) – своими коэффициентами .

Любой сигнал можно записать в виде суммы проекций на , :

. (П.15)

Построение пространства начинается практически с масштаба (т.е. ). Поскольку хорошо сосредоточена во временной области (быстро убывающая функция), это позволяет интерпретировать коэффициенты разложения

как дискретную выборку функции .

Если осуществить анализ сигнала вплоть до некоторого масштаба , т.е. в соответствии с выражением (П.15), то на основании изложенного можем записать:

= , (П.16)

где и (П.17)

– аппроксимирующие и детализирующие коэффициенты.

Оглавление

Введение 3

1. НЕПРЕРЫВНОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 6

1.1. Обобщенный ряд Фурье 6

1.2. Вейвлеты. Общие замечания 9

1.3. Главные признаки вейвлета 11

1.4. Примеры материнских вейвлетов 12

1.5. Непрерывное вейвлет-преобразование 15

1.6. Свойства вейвлет-анализа 16

1.7. Примеры непрерывных вейвлет-преобразований 18

1.8. Сопоставление с преобразованием Фурье 29

2. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ В РЯД ПО ВЕЙВЛЕТАМ 32

2.1. Диадное вейвлет-преобразование 32

2.2. Дискретное преобразование 35

2.3. Примеры дискретного вейвлет-преобразования (ДВП) 36

2.4. Быстое вейвлет-преобразование 45

2.5. О вейвлетах для БВП 49

2.6. Частотный подход к ВП 50

2.7. Пакетные вейвлеты и вейвлет-алгоритмы 54

2.8. Удаление шумов и компрессия сигналов и изображений 58

3. ДВУМЕРНОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ 65

3.1. Двумерные вейвлеты 65

3.2. Двумерное ДВП 66

3.3. Удаление шумов и компрессия изображений 69

3.4. Видеокодеки семейства ADV6XX 73

Заключение 75

Список литературы 78

Приложение 1. Графический интерфейс пользователя GUI Wavelet Toolbox MATLAB 81

Приложение 2. Команды и функции пакета Wavelet Toolbox 90

Приложение 3. Кратномасштабный анализ 100

Профессор

Альберт Николаевич Яковлев

введение в вейвлет-преобразования

Учебное пособие

Редактор И. Л. Кескевич

Компьютерная верстка В. Ф. Ноздрева

Подписано в печать 06.02.2003. Формат 60  84 1/16. Бумага офсетная.
Тираж 100 экз. Уч.-изд. л. 6,25. Печ. л. 6,5. Изд. № 5. Заказ № 64. Цена договорная.

О тпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

109

Характеристики

Список файлов книги