П-Аксенов-01-(год) (1268320)
Текст из файла
ПРИЛОЖЕНИЕ
-
УКРУПНЕННОЕ НАЗВАНИЕ СПЕЦКУРСА. См. Рабочую программу дисциплины (модуля)
Название спецкурса: Групповой анализ дифференциальных уравнений (с приложениями в МСС)
-
Преподаватель (преподаватели): проф. Аксенов А.В.
-
Аннотация курса: Излагаются подходы и методы группового анализа дифференциальных уравнений. Рассматриваются приложения методов группового анализа в механике сплошной среды, в частности при поиске точных решений.
-
Тематическое содержание курса:
Тема 1 | Однопараметрические непрерывные группы преобразований. Определение и примеры. Уравнения Ли. |
Тема 2 | Инварианты группы. Инфинитезимальный оператор. |
Тема 3 | Инвариантные многообразия. Группы преобразований и пи-теорема. |
Тема 4 | Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями. Группы точечных преобразований. |
Тема 5 | Формулы продолжения. Определяющие уравнения. |
Тема 6 | Алгебра Ли операторов симметрии. |
Тема 7 | Размножение решений с помощью симметрий. Размножение решений линейных уравнений. |
Тема 8 | Групповая классификация дифференциальных уравнений. |
Тема 9 | Группы, допускаемые системами дифференциальных уравнений. |
Тема 10 | Групповая природа замены Флорина–Хопфа–Коула. |
Тема 11 | Инвариантно-групповые решения. |
Тема 12 | Два подхода к построению инвариантных решений. Автомодельные решения, бегущие волны. |
Тема 13 | Прямой метод Кларксона–Крускала построения редукций и его обобщение. |
Тема 14 | Групповой критерий возможности линеаризации нелинейных уравнений. |
Тема 15 | Классификация инвариантных решений дифференциальных уравнений. |
Тема 16 | Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу. |
Тема 17 | Метод интегрирующего множителя. Метод дифференциальных инвариантов. |
Тема 18 | Нахождение фундаментальных решений уравнений математической физики с помощью симметрий. |
Тема 19 | Нелинейный принцип суперпозиции. Теорема Гульдберга–Вессио–Ли. |
Тема 20 | Контактные преобразования Ли. Инфинитезимальные контактные преобразования. |
Тема 21 | Группы Ли–Беклунда. Основные представления. |
Тема 22 | Полная группа Ли–Беклунда для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. |
Тема 23 | Условные симметрии дифференциальных уравнений. |
Тема 24 | Нелокальные симметрии. |
Тема 25 | Потенциальные симметрии. |
Тема 26 | Симметрии и законы сохранения. Вариационные симметрии. |
Тема 27 | Теорема Э. Нетер. Симметрии и первые интегралы. |
Тема 28 | Приближенные непрерывные группы преобразований. |
Тема 29 | Приближенные инвариантные решения. |
Тема 30 | Линейные дифференциальные соотношения первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера–Пуассона–Дарбу. |
-
Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки результатов обучения, характеризующих этапы формирования компетенций.
Вопросы к экзамену
-
Однопараметрические непрерывные группы преобразований. Определение и примеры. Уравнения Ли. Инварианты группы. Инфинитезимальный оператор. Инвариантные многообразия. Группы преобразований и пи-теорема.
-
Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями. Группы точечных преобразований. Формулы продолжения. Определяющие уравнения. Алгебра Ли операторов симметрии.
-
Размножение решений с помощью симметрий. Размножение решений линейных уравнений.
-
Групповая классификация дифференциальных уравнений.
-
Группы, допускаемые системами дифференциальных уравнений.
-
Групповая природа замены Флорина–Хопфа–Коула.
-
Инвариантно-групповые решения. Два подхода к построению инвариантных решений. Автомодельные решения, бегущие волны.
-
Прямой метод Кларксона–Крускала построения редукций и его обобщение.
-
Групповой критерий возможности линеаризации нелинейных уравнений.
-
Классификация инвариантных решений дифференциальных уравнений.
-
Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группу. Метод интегрирующего множителя. Метод дифференциальных инвариантов.
-
Нахождение фундаментальных решений уравнений математической физики с помощью симметрий.
-
Нелинейный принцип суперпозиции. Теорема Гульдберга–Вессио–Ли.
-
Контактные преобразования Ли. Инфинитезимальные контактные преобразования.
-
Группы Ли–Беклунда. Основные представления. Полная группа Ли–Беклунда для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
-
Условные симметрии дифференциальных уравнений.
-
Нелокальные симметрии. Потенциальные симметрии.
-
Симметрии и законы сохранения. Вариационные симметрии. Теорема Э. Нетер. Симметрии и первые интегралы.
-
Приближенные непрерывные группы преобразований. Приближенные инвариантные решения.
-
Линейные дифференциальные соотношения первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера–Пуассона–Дарбу.
-
Перечень дополнительной учебной литературы
-
Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962. 240 с.
-
Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1966. 132 с.
-
Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1978. 400 с.
-
Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1983. 280 с.
-
Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. Пер. с англ. М.: Мир. 1989. 639 с.
-
Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and Differential Equations. Springer–Verlag New York Inc. 1989. 412 p. (Applied Mathematical Sciences. Vol. 81)
-
Полищук Е.М. Софус Ли (1842–899). Л.: Наука. 1983. 214 с.
-
Clarkson P.A., Kruskal M.D. New similarity reductions of the Boussinesq equation // J. Math. Phys. 1989. V. 30. № 10. Pp. 2201–2213.
-
Аксенов А.В., Козырев А.А. Редукции уравнения стационарного пограничного слоя с градиентом давления // Доклады АН. 2013. Т. 449. № 5. С. 516–520.
-
Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Доклады АН. 1995. Т. 342. № 2. С. 151–153.
-
Аксенов А.В. Симметрии и соотношения между решениями класса уравнений Эйлера–Пуассона–Дарбу // Доклады АН. 2001. Т. 381. № 2. С. 176–179.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.