Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Указание. Использовать формулу для определения условной плотности вероятности /(у./у,) = """' 6 (т~) и выражения для плотностей нормального процесса. 4.50. Найти взаимную корреляционную функцию значения случайного процесса, предсказываемого на время Т > О, Х (1 -1- Т), и значения его производной в текущий момент Х (1), если корреляционная функция процесса Х (/) имеет вид К,(т) = о,е "(1+а< т!), 4,51. Показать, что вероятность производной гауссовского случайного процесса будет иметь значение, не превышающее по абсолютной величине Ь 1,5'/с, если 4Л7. Найти дисперсию ошибки У (Г) гнроинерпионной системы через 1 1 ч после ее включения, если У (1) определяется уравнением %+у У(Е) Х(1), где т = 1,24 1О ' 'с ' — частота маятника Шулера; Х (1) — стационарный случайный процесс, Ла(т) = о,~~ и определить взаимные епектральнже плотности Ясй(со) н Я;, (со) 4.60.
Определить спектральную плотность произведения Е(1) двух независимых случайных пропессов Х (с) и У (1), если известно, что ле, = О; те=О,а з -«в,1е! з -ао1е! Яс(т) = о„е *; ((о(ч) = о„е 4.01. Построить зависимость Я„(в) стационарного случайного процесса, если Я, (с) (рис. 4.9, а). Решение. Из формулы (4.27) прн четности (т„(ч) получим В, (со) ) я,(т) е уи' с(е = 4 М 2 ~ 1((т) сов сот с(ю(4.30) 46 Для вычисления интеграла по параметру воспользуемся приближенным графоаналитическим методом (17 1. Для этого йг Рис. 4.у.
Корреснционнаи функ. цин Й» (т), раедесеннан на осра- оеция а) сп„О; Я„(т) о„е е -а!ез о, 001 мс', а= 01 се. 4Л8. Найти среднюю квадратическую ошибку в определении скорости самолета через 10 ч полета, если последняя определяется гироскопическим интегратором, который дает ошибку нз-за ошибки стабилизации оси интегратора 0 (1), являющейся случайным пропессом с нулевым математическим ожиданием и корреляпионной функцией Ошибку в скорости находят а помощью выражения е Ло(1)=й зш0(1,)с(1;, д 9,81 м с '. 4,00.
Найти спектральную плотность процееса о корреляционной функцией Рис. 4.10. Графин эависииости ге (т) разложим плошадь под кривой )с, (т) на трапеции. Представим Я, (т) ввиде Й,(т) Х г (т). (4 31) б . се-бе се сеобе 1 е 1 где г, (с) (рис. 4.9, 6). Подставляя выражение (4.31) в формулу (4.30), получим 5,(со) ~ 21 ге(т)созеотс(т. (4.32) е-е Выражение (4.32) показывает, что определение спектральной плотности сводится к вычислению интегралов вида Яе (ео) 2 «, (т) соз ест е(т. (4.33) Из рие. 4.10 следует, что го, сопи( О< и< ие — Ье ее+де г~н — зд —,— те — йч ~ ее ~ те + де 0 Л, +тес.,ч г, (т) (4.34) Принимая во внимание соотношения (4.34), яооле интеррироваиия получим 8е(ео) ',2гоете ( — ) ~-у — ) ° , Подставляя выражение (4.35) в формулу (4.32), запишем л 3е(ео)' ~~ 2гоете ( с, ) ~ д ) ' (4.36) ! Для рис.
4.9, 6 получим три трапеции. Соответствующие им Яе (ео) найдем, воспользовавшись таблицами —. Результаты вычислений сведем в табл. 4.1. График 8, (ео) строим по данным табл. 4 1 (рио. 4.!1). (4.35) р бр бр ие а) 4 рис. 1.11. Снененралонан неоне- Рис. 4.11. Корреляционном Франции слрооання симеиз. юсаео имнала Зя (ое) нарнии ироцессоо 302 Таблица 4.1 Рис. 4.18. Взаимно-корреляционная функция 4.62. Построить зависимость 8, (ео) для стационарного случайного процесса, .имеющего )г, (т) (рис. 4.12, а).
Указание. Использовать графоаналитический метод, 0 е г д рассмотренный в задаче 4.61. 4.63. Построить зависимость 3, (оо) для стационарного случайного процесса имеющего )г,(т) (рис. 4.12, б). Указание. Использовать графоаиалитнческий метод, рассмотренный в задаче 4.61, 4.64. Определить й (1) — импульсную переходную характеристику устойчивого динамического элемента, если е(я(т) е-1'! — корреляционная функция входного воздействия, а Д, (т) — взаимно-корреляционная функция, заданная графически на 'рис.
4.13. 4 65. Определить й (() — импульсную переходную характеристику устойчивого динамического элемента, если )с (т) е-1'~соз0,1т — корреляционная функция входного воздействия, а )с, (т) — взаимно-корреляционная функция, заданная графически на рис. 4.!3. 4.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ТОЧНОСТИ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ 4.66.
Найти величину средней квадратической ошибки в замкнутой следящей системе, на вход которой поступает полезный случайный сигнал со спектральной плотностью Яа(ео) = з~г —, если К = 140 с ', Т, =* ео +1' = 1,0 с; Т, 0,15с; Т, 0,02 с; Т = †' 0,714 1О ' с;'а * 3,2 град/рад, 1. а т = 0,5 с.
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии имеет вид К~т +и Решение."Восцользуемся выражением средней квадратической ошибки ез(Й -Б- ~ Зе (еа) е(ев, Яо (е) ° ~ Ф, ()о)) (о Яа (оо); ! здесь Ф, ()в) =, — передаточная функция по ошибке е (1); 34 (в) — спектральная йлотность входного сигнала. Подставляя эти выражения в формулу для средней квадратической ошибки, получим — И ! э а ео(1) =— 2а 1 К авто+ !) е~Р+ ! Й». --~ '+ (м()ет,+!)((ето+!) Приведенный интеграл можно вычислить двумя способами: аналитическим и графоаналитическнм. А на л и т и че с к и й способ основан на использовании таблиц интегралов. Искомый интеграл следует преобразовать к табличному виду, т. е. 7!Т Т,Тоом + Т (Т!+ То)а~+Т~ог1 Ив (ттт~то ((м) + (Ла) (тт (Т1 + То) + Тт~то) + -"+0м)'(т(Т +То)+Т(Т +То)1+(м(т+Т+ То)+ !)' По таблицам интегралов (см.
приложение Х11) для и = 4 находим аоьо Ьо ( — а,а4+ аоао) — аоаоЬ! + аоа,Ь, + — (а,а, — а,ао) а )а 3 1 2ао (азу + ~!ао — а~огао) Т = —, = 7,1428; Ьо= Т Т1Т4=2,05 10 Ь! = Т'~Т!+Т4 =0,51 ° 10~; Ь,= Т'=0,51 10-', Ь 0. Подставляя эти значения в приведенную выше формулу, получим 205 !О о ( — 378 !О о+ 859 !О"о 0657) — 7,!4. !О 4.0657.05! )( )( !О-о+ 7 !4, !О-в.З 78. !О-о.О 5! „(О-о 2 7,!4 !О 4 (7,! ° !О - 0,6 7о+3,78о !О о — 3,78 !О о Х 4 8 59.
!О.-о.О 657 2! 65. !0-4) Среднее квадратическое отклонение ошибки составляет 1/ е' =0,283'= 17'. Г р а ф о а н а л и т и ч е с к и й с п о с о б удобно использовать, если предварительно проводился анализ устойчивости и качества динамических процессов методом логарифмических частотных характеристик. При этом исходной характеристикой является ЛАХ разомкнутой еистемы 304 где коэффициенты ао а, ао оо о4 а„Ь, в нашей задаче имеют следующие значения: = тТТ,То = 7,143 ° 10 о; = (тТ (Т, -(- То) -(- ТТ,Т,) = 3,78 10 ', = (т (Т -1- Т,) -1- Т (Т, -1- Т,) ) = 8,59 10 ', = т + Т -1- Т, = 0,857; =1 \ Р 4.14.
л Р сд ""' атж ение амнлитидние. анотнем яарантеристини сидящей система 66 -мо -бо ЮО щс ~ йг ((со) ~, построенная для рассматриваемой системы на рис. 4.14 (кривая 1). Пользуясь номограммой замыкания, находим логарифмическую характе ристику передаточной функции для ошибки ~Ф,(1со)~ ~ + г(,1 ~ ° ~ „. ), которую изобразим в виде кривой 3 (рис. 4.!4).
Далее определим передаточную функцию фильтра, формирующего входной случайный процесс из белого шума единичной интенсивности. Для этого спектральную плотность процесса необходимо представить в виде Яе (со) = Ч' ((со) Ч'е (1со), где Ч' ()со) имеет особенности только в левой полу- плоскости переменной а =)а. Для рассматриваемой задачи имеем т. е. Ч'(асс) =,+. (см. кривую 2 на рис. 4.14).
1~а Из выраженйя для средней квадратической ошибки з (() = —,'„~! Фе((го) Г~е( Мв- —,'„~! Фе((ы) Ч ((ыП й видно, что для ее вычисления достаточно перемножить частотные функции фильтра и системы и возвести результат в квадрат, т. е. сложить соответствующие логарифмические амплитудные характеристики и удвоить их сумму (кривая 4, рнс. 4.14).
Перестроив полученную кривую в равномерном масштабе по осям, получим график подыитегральиого выражения как функ. цию частоты (рис. 4.15). Вычисляя пло4ее щадь под этим графиком, находим е (() е 0,27', что близко к аналитическому решению. у и се Рис. К15. Снеитральная нлотнссто 5 (т) е линейном масионабе з'(Г) — ) [Фв()во) [в Яв (в) в(о». (4.37) При условии, что Вв (в) является рациональией функцией от «о, ее ме)кно представить в виде (4.33) Учитывая, что [Фв ()то) [' Фв (Гво) Фв ( — !Го) и заменяя Гв иа з, представим интеграл l правой части уравнения (4.37) в следующем виде: 1 Г В(в) В( — в) (4.39) В (в) В' (а) = Фа (з) А (а) А (а) В( — в) В' ( — в) Фв( з)А ( а ° В формуле (4.39) функции А и В являются полииомами с рациональными козффициентами А(з) 'а,з" +а»в' "+ ° ° +а„вз+'а„( 1 (4.40) В(з)-Ь1 +" +Ь.-з+ЬВведем в рассмотрение полиномы А»(з) и В„(з), степени которых не превышают л, т.
е. А»(з) аов»+а[в»+'+ ° +а»' 1 Ва(з) =Ь~вз~ ~+ Ьаз~ а+ ° ° + Ь»» )( коэффициенты которых определяются из рекуррентных уравнений А„,(з) = А»(з) — а»зА„(з); (4.4з) В», (з) В»(з) — р»А» (з), (4.41) где и» а« [а»] [)» = Ь1 [а»1 А»(з) -~~-[А»(з) — ( — 1) А( — з)); (4. 43) .(4.44) Ав (з) А (з); В„ (з) ' В (з); (4.45) 4.97. Составить программу для вычисления средней квадратической ошибки линейной системы прн действии стационарного случайного воздействия на языке «ФОРТРАН». Решение.
Воспользуемся основным уравнением для вычисления средней квадратической ошибки: Введем в рассмотрение также С 1 Г В»(») В»(») %7 3 сит'т=б -1- (4.48) где А„н В, определяютая формулами (4А1). Тогда, при условии, что все корни полинома А лежат в левой полуплоскостн, справедливы рекуррентные соотношения '. ЬЗ Т» 1и.»+ — „', Ь 1. 2, ..., а; 1.-О. Чтобы найти значение интеграла 1„ необходимо вычислить коэффициенты А, (и) и В» (а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
