Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 50
Текст из файла (страница 50)
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ ДЛЯ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Метод фазовой плоскости прнменяют для анализа уетойчнвоатн процессов регулирования систем, описываемых нелннейнымн днфференцнальными уравнениями 2-го н вырожденными уравнениями 3-го порядков. Для построения траекторий движения изображающей точки на фазовой плосковтн нашли ярнмененне четыре способа: аналнтнческнй (решенне нелинейных уравнений по участкам), нзоклнн, Льенара н о помощью аналоговых н цифровых вычислительных машин а графнчеекнмн поатронтелямн.
5.1. Поетронть фазовые траектории методом решения днфференцнальных уравнений по участкам н переходные процеааы для релейной енстемы азтоматнческого регулирования температуры сушнльного шкафа (рно. 5.1, а) н оценить ее устойчнвоать прн трех типах релейных характерн- 313 ,еамт Фя' басббнн Рис. б.б Релейная система аетоматитсвот рееули.
роеаяия теетературм суитльяоео тлафа: с — пранпапиальвап сиена: 7 — сутвльнма акаев 7 тер. моеонроевалевпе; у — ватреннтельнма елемеат печи; Е мсач", б понпрвеоааввое реле; б — солеаовт 7 сик- реалпческва аолстнвк," Š— силонел пилиаар; Š— мекеаи- ческпе реярвтоР1 " 70 наслоака сутвльаото тиаае: 'О, ' е в е таим карактеритик ране стих (рие. 5.1, б — г), если установившаяся температура 67„50' С. Уравнения динамики элементов системы имеют следующий вйд: аушильного шкафа Т,ф+ О.(/)- й.
р(/), где Т, — постоянная времени сушильного шкафа; й, — коэффициент эффективности воздействия заслонки на температуру сушильного шкафа; реле ( йн ш Т,— „„+ — — яЯ,й Г(1). (5.6) Рассмотрим релейные херактеристики трех типов. 314 б Щ - йети. (/) (5.2) (О - Р(1). (5.3) где Й — коэффициент усиления измерительного элемента и моста; г (1)— статическая нелинейная характеристика реле (см. Риз. 5.1 ° б — г); электрогидравлического привода йт йийии (/) (5.4) где й, — передаточный коэффициент электрогидравлического привода; /еа — передаточный коэффициент механического редуктора; сравнивающего элемента б (/) = б. (Π— б (О. (5.5) Примем следующие параметры системы: Те = 10 а; Фо = 1О град/рад; й, 0,25 А/град; йв 2!О'радс/В; й, 1; В 100 В; С=0,5А.
Решение. Для удобства построения фазовых портретов будем считать, что д, (б) = 0; тогда Ф (/) †' дп((), и общее уравнение автоматической системы примет зид Фв ~э с, Тз — + ' йзй~В при О > — ' (5.8) Тз —, + — й йзВ при О < — —. ззе ле с (5.9) Уравненне фазовых траекторий по формуле (5.7) можно найти поаае подстановки ФФ Ф ки — у М лу То ~ У) Ф (5.10) так как Ф ° ~Ыу, то уравнение (5.10) можно переписать в виде Т,— -- 1. сз 0 лз (5.11) Реюение уравнения (6.11) будет у — — к+ Сз, 1 Т, (5.12) где С, — произвольная поатоянная интегрирования.
Лля построения фазовых траекторий подставим в уравнение (5.12) значения параметров аиатемы; тогда . получим к -10у + С,. (6.13) Из уравнения (5,13) следует, что фазовые траектории на учаатке — 2'<)6<2' представляют собой прямые с коэффициентом наклона 0,1 при различных значениях С,, На прямых поставим стрелки в соответствии со еледующим правилом (рпа. 5.2, а): в верхней половине плоскости, где у ) О, изображающая точна всегда движется'слева направо, а в нижней половине плоскости, где у < О, — справа налево.
По уравнению (5.8) можно построить фазовые траектории правее линии И вЂ” !!. Для этого преобразуем уравнение (5.8) к виду - — у — «,й,В, Ф (5.14) Т,у -й - — у — й,й,В, чк (5.15) откуда б - -т„--Я (5.18) 316 Релейная характеристика первого типа (рис. 5.1, б). В этом случае уравнения для трех участков релейной характеристики будут Фе йе с с. Тд ~~ + О при <О< 1 (5.7) 1 1 Рис.Ь.
2. Фазовьт иортретм деи висте. мм авптматичеаиио ресувироваиим теиоеравури сутавьиоео тиафа с рав. еивиоео тима ретйимми характера. Для интегрирования выражение (5,16) перепишем в виде (5.17) откуда х = Т, (йейьВ 1п ~ у -1- й,й,В ~ — у1 -1- Се. (5.18) Подетавляя в уравнение (5.18) аоответетвующие чналовые значения, получим (5.19] х *= — 10у + 221п( 2,2 + у1 -1- С,. Тву дх - у+ йейеВ ау (5.20) иля с(х Ть -у — -ев~ ~ у ау (5.21) откуда х = — Т, 1аехеВ)п(у — ле)с В! + у1 — Ст (5.22) 316 По уравнению (5.19) на рие.
5.2, а поетроены фааовые траектория в виде лоуарифмических кривых при х> 2'. Перейдем к уравнению (5.9), которое приведем к виду Подставляя в уравнение (5.22) соответствующее числовое значение, запишем х = — 10у — 221 и ~ 2,2 — у ~ — Се. (5.23) По уравнению (5.23) на рис. 5.2, а построены фазовые траектории в виде логарифмических кривых при х < — 2'. В результате получим семейство траекторий, представляющих собой фазовый портрет нелинейной системы автоматического регулирования. Выделим из этого семейства одну фазовую траекторию при ! = О, д = 5,8'С жирной сплошной линией.
Фазовая траектория из точки Р, будет проходить последовательно через точки Р,— Р, с уменьшающимися амплитудами колебаний. .Переходный процесс, соответствующий выделенной траектории, построим на рис. 5.3, а, где амплитуды колебаний обозначены через А,, А „ А,. Он заканчивается в точке Р,. При других начальных условиях переходйый процесс может закончиться в любой точке отрезка 0,0, — приведенной зоны нечувствительности. Отсюда следует вывод, что данная система автоматического регулирования температуры сушильного шкафа асимптотическн устойчива.
Релейная характеристика второго типа (см. рис. 5.1, а). В этом случае уравнения для двух участков будут: Т, — „, + — — ЙойеВ при д > — „и б( — —; (5.24) йее ив С С . е лев лв С с Т,—. + — йвйеВ при — — <а< —. же ае «е ае (5.25) Уравнение (5.24) совпадает с уравнением (5.8), а уравнение (5.25) с уравнением (5.9). Поэтому их решение можно представить соответственно в виде (5.18) и (5.22), а после подстановки чисел получим х — 10у + 221 п ~ 2,2 -1- у ~ -1- С; х — 10у — 22!п(2,2 — у( -1- С . Для построения фазовых траекторий на рис.
5.2, б проведем две линии переключений: при бб!е(! ) 0 — вира~(о от оси ординат на расстоянии С!йм и при е!б!е(! < 0 влево от оси ординат на расстоянии — С!й,. Переключение гидравлического привода происходит иа прямых 1 — 1 и 11 †!1. Семейство фазовых траекторий при различных начальных условиях построено на фазовой плоскости (см. рис. 5.2, б). Выделим одну фазовую траекторию при ! = О, бв = 5,8' С жирной сплошной линией.
Фазовая траектория будет последо. вательно проходить точки Рд †Р, образуя на выходе предельный цикл с пе- и о~елее -Юе Рис. о.З. Переходные прояееил иоме- ненип оимпераоеури в еуиеилоном вииа- фр е различного шипа релеанмми ларан- омриепиииеми 317 Тс — + — 0 при 0<0 < —; ссз вВ С, сшс ш а э (5.27) Т,—.+ — — йсй,В при б — и — >б > —, (5.28) всгс ие С С тС.
ст' ш ас ьс с Т,— + — 0 прн — <6< —; все вв — С тС. с Шс ьс (5.29) Т,— + — = йсй,В при д<: и — <б< —; (5.30) Всэ 'ве — С -С вЂ” тС . сшс ш ьс ас ас Тс — + — 0 при:<0<0. все «в — тС с ис ш ас (5.31) Уравнения (5.27) — (5.31) совпадают с уравнениями (5.7) — (5.9), поэтому их решение можно записать в виде х — 1Оу+ С,; х ° — 10у+ 22 1п ] 2,2 + у ] + С,; х — 10у — 221п]2,2 — у] — С,. (5.32) Фазовые траектории, построенные по этим формулам, приведены на рис. 5.2, в. Выделим одну из них при 1 = О, дс =' 5,8 С жирной линией. Как и в первом случае системы автоматического регулирования, температура сушильного шкафа асимптотически устойчива. Ее переходный процесс по.
строен на рис. 5.3, в, 5.2. Построить фазовые траектории нелинейной системы автоматического регулирования давления в ресивере с нелинейностью типа насыщения для начальных точек с координатами Р, (1, 2). Р, ( — 1, 1,2), Р, ( — 1, 1,2), иапользуя метод Льенара. Решение. Пользуясь принципиальной схемой системы, изображенной на рис.
5.4, а, запишем уравнения системы: ТР ш+Р(1)-йр(эс((), 1, (1) й,и (1); и,(1) = й,ар(1); «с (1) и, (1) — и, (1); и (1) 7 (и, (1)], (5.33) где Т, — постоянная времени ресивера; й„— передаточный коэффициент ресивера; й — коэффициент усиления электродвигателя; й, — коэффициент усилейия соленоида; й,э — коэффициент усиления сильфоиа; 7(и,) - й,Й«,): 318 рподом Т, = 2«(св, и амплитудой А, = А,. Если начальные условия 1 О, б, = 1,2' С, то траектория снова придет к предельному циклу. Переходный процесс, соответствующий образованию предельного пикла, построен иа рис. 5.3, б, откуда видно, что система автоматического регулирования входит в режим автоколебаиий при 1 ~ 7,1 с. Релейная характеристика третьего типа (см.
рис. 5.1, г). В этом случае уравнения для пяти участков будут йнр ° е ° аъ рввв ' (+! е,е Рис. а.4. с!Ринчиаиаввнеев схемы нвлинванеех систем автохатиевснсао Рссраираваниа. а деваевае в реввверт б — реаедааа еведатев евсеевы здесь й„— коэффициент усиления на линейном участке; С вЂ” ширина ли- нейной зоны, т. е. (5.34) Преобразуем систему (5.33) к виду (5.35) и, вводя безразмерные переменные х и е, х рlр„, т = ИТВ при значении коэффициента передачи системы й Арй й,й 10ВПа/с В; Ты 1 с; -я)~(~- 1; С ° 0,1 получим окончательное уравнение сйстемы в виде бех бх —,, + — +~(х) ° О, (5.36) где х — 1 к.:хам!; 1(х) = 1 хэ 1; — 1 х ый — 1.
На фазовой плоскости (х, — = у ) рис. 5.5 построим дае зависимости й ах у = 1 (х) (кривая 1) и х = у (кривая. 2); Далее необходимо определить наклон фазовой траектории в начальной и последующих точках. В качестве начальной точки выберем Р, (1, 2). Из точки Р, на оси х и у соответственно опускают перпендикуляры, пересекающие ось х в точке Я, а ось у в точке !1. Продолжая перпендикуляр из точки Р, до пересечения с кривой'2, получим точку Т. Перпендикуляр Р Д пересекает кривую 1 в точке 3. Затем от точки Я откладываем абсциссу точки Т (влево, если- она положительна, и вправо, если отрицательна) и последовательно с ней ординату точки 5 (влево, если она положительна, и вправо, если отрицательна).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
