Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 47
Текст из файла (страница 47)
~т~~.ц 4.37. Повысить точность системы автоматического регулирования (рис. 4.8, а) путем увеличения порядка астатизма по управляющему и возмущающим воздействиям (! (г) и ~ (С) до 2-го за счет введения дополнительных корректирующих устройств 4'„, (з), (Г», (з), Я7зз (з), если устройства системы имеют передаточные функции, а Гг, .~-ц а+~г' 4.38. Повысить точность системы автоматического регулирования (рнс'.. 4.8, б) путем увеличения порядка астатизма по управляющему и возмущающим воздействиям г ! (!) и ~, (г) до 2-го за счет введения дополнительных корректирующих устройств 97„! (з), Ягзз (з) и Ягз, (з), если устройства системы имеют передаточнме функции ' !( ) !' з( ) (Т!~+ !) <Т1ь+1] (Тз!+ !! ' 4.39.
Повысить точность системы автоматического регулирования (рис. 4.8, з) путем увеличения порядка астатизма по управляющему и возмущающим воздействиям 1! (!) и ~, (!) до 2-го за счет введения дополнительных корректирующих устройств Я7„! (з), В'„, (з) и 9Г„, (з), если устройства системы имеют передаточные функции зз !т',з+ ! !т,*+!! ' йуз(з) = — ~ —; йуа(з)--у —., з зм з (Ту+ 1) Ь+! ° 295 4.3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ т„(() М 1Х «)1; я„ (г,, г,) = м [[х ((,)1 [х ((,)11; (4.20) (4.21) в[Х«)1- М [[Х(())ь) - ~.<со () [„„,); (4.22) о„(П= у В,Щ, где т, — математическое ожидание; )с„«„(,) — корреляционная функция; О [Х «)1 — дисперсия; о — среднеквадратическое отклонение; Х «) = Х (П вЂ” т, — центрированный случайный процесс.
При рассмотрении стационарных случайных процессов, вероятностные характеристики которых не зависят от' начала отсчета времени, имеем т,«) т,= сопл[; о,(г) о, сопз(; )ь*((ь () )ьь((а Гд )ь (т). У зргодических случайных процессов средние по времени характеристики определяют с помощью выражений ! У Нп1 — 1 х(1) йй т 2Т (4.23) г г й,(ч) иш — т 1 [х(г) — х)[х(1+т) — х[йй (4.24) они совпадают с соответатвующими характернатиками, средними по мно. жеству: Х М)Х(1)) т,; (4.25) )г, (ь) = М 1Х (г) Х «+е)1. (4.26) Спектральной плотностью стационарною случайного процесса называется преобразование Фурье его корреляционной функции о, (ьь) ° 1 е[, (т) е ~"' йч, где )(„(а) — 1 о', (ы) е~"' Йо.
(4.28) При прохождении стационарного влучайного сигнала Х (г) через уатойчивую линейную систему е передаточной функцией Ф ()ы) его спектральная плотность преобразуетая в соответствии с выражением ~,(ы)-!Ф(1 )[ьЗ.(ы) (4.29) Под случайным процессом понимают случайную функцию, зависящую от времени ( как от параметра. Если 1 может принимать значения из некоторого интервала [обычно (О, оо) или ( — оо, оо) ), то случайный процесс называют процессом с непрерывным временем; если же множество значений счетно (обычно Г = пТ, где и = О, 1, 2 ...), то — процессом с дискретным временем.
Наиболее широко применяют простые вероятностные характериетики случайных процессов: 4.40. Найти корреляционную функцию процесса Х (Г), если он может принимать только одно из двух значений; (-(-1) или ( —,1). Переход от одного из этих значений к другому происходит скачком в случайные моменты времени, причем число таких переходов за время т распределено по закону Пуассона, а среднее число переходов за единицу времени равно а, с 1.
Решение. Прежде всего заметим, что процесс является стационарным и симметричным, поэтому л!„= Х = О. Для определения корреляпионной функции рассмотрим выражение й„(т) = М (Х (!) Х (! + ч)). Произведение Х (1) Х (1 +а) может иметь также только два значения: (+1) и ( — 1) а вероятиоатью р+ и р еоответотвенно, поэтому )т, (я) М (Х(1)Х(1+ч)1= р+(1) +р ( — 1)* р,— р, Определим вероятности р, и р .
Указанное произведение принимает значение (-1-1) в том (и только том) случае, если на отрезке (1, ! -1- т) будет четное число перемен знака: О, 2, ..., 2й, ... Как известно, вероятность этого события для пуассоновского распределения будет Ю ч1 (ат) -д~ р+ ~ — е 2А! Вероятность наличия нечетного чиела перемен знака предетавим в виде (а с)~~~ ,ьл (з7+!) ! 3 0 В результате найдем е ~ ( — 1)" — = е '~, (е>0). а! Ввиду четноати корреляционной функции на интервале ( — оо, оо) имеем Й,(ч)* е 4.41.
Найти диаперсию первой н второй производных случайного процесса Х (1), вали Я (а) ° о е ' (1+ и ~ ч !). Решение. Для стационарного процесса формула, выражающая корреляционную функцию производной, имеет вид д~ ай Я; (%) ~ й; (гз — !!) ~ у.~!- Яа ((з — 1!) = —,!, Ра (ч). д1~ !в а!в Последняя формула справедлива в том случае, когда — не имеет й~„(т) ат разрыва при ч = О. В этом случае процесс Х (!) является дифференцнруемым. Это условие для Х (1) соблюдается, и )~1(ч) о~ае !')(1 — а!ч)), а 0; Яа(0) сЮ. Диаперсия же второй производной 0 у бесконечна, так как Р; (з) имеет разрыв производной в точке ° 0: ~~ 1Сй ( )[а „,+ -~- ' (т)~ па.(1) «ла ~(1).
ааа(1) "" ла (1)). Ж*(1а 1а))ц М М((1а) ~1(1а)). Найти математическое ожидание н корреляционную функцию скалярного произведения У = аУХ (1) вектора Х (1) на неслучайный числовой вектор И~ = (в,, в„..., в„). Показать, что корреляционная функция суммы некоррелированных (и тем более независимых слагаемых) равна сумме нх корреляционных функций. Решение. Имеем У (1) = %'Х (1), где Х (1) — а-мерный вектор а математическим ожиданием М (Х (1)) = па„(1) и корреляционной функцией— матрицей )~м(1м1) йм(1а.1)" )(в(1» 1а) г (1 ° 1а) М.(1,, 1,)- М(ХХ) = Раа (1» 1а) Для рассматриваемого случая М (У (1)) аУпа,(1) * )а (1а 1а) г,(1„1,) - М (У(1,) г (1,)) - М [Ж'.д (1а)) [)У'Х(1,)) [- - )У'М [Д(1) Х (1а)[ ИГ- ИГ' [)1. (1„1) „ИГ. и позтому второй производной процесс Х (1) не имеет.
4.42'. Найти корреляционную функцию )г (1,, 1а) процесса У (1), представляющего собой приращение за время г" от случайного пропеааа Х (1), т. е. У (1) Х (1 + Т) — Х (1), еелн его корреляционная функция Р, (1„1,). 4.43. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного про. песса' У (1) = а (1) Х (1) + Ь (1), где а (1) н Ь (1) — числовые (неслучайные) функции, а ла, (1) и Я, (1„1,) — извеатны. 4А4. Найти функцию корреляции случайного процеаса модулирован- ного по амплитуде: У (1) АХ (1) (з1п еа1+ ф), где Х (1) — стационарный случайный процесс с корреляционной функцией Я, (т); А, в, — постоянные величины; <р — равномерно распределенная на отрезке [ — и, и) случайная величина, не зависящая от Х (1).
Показать, что процесс У (1) является стационарным. 4.45. Доказать, что для дифференцируемого стационарного алучайного процесса его значения в любой момент времени некоррелнрованы со значе- нием его производной в тот же момент. 4.4б. Пусть заданы математическое ожидание и корреляциониая ма- трица случайного вектора' Х(1)- [Х,(1), Х,(1)...„Х„(1)[ в виде В частности, при ФУ [1, 1, ..., Ц, У(1) ~~~~~ Х,(Г) ,1 е п Ц Ц, 1,) - ',„",, Л„(1„1,).
~-1 ~-1 Для процесса с некоррелированными координатами Йп (1,, (а)1» .г = О корреляционная функция суммы координат равна сумме нх корреляционных функций )7и (Г, Га) Е 17м (Г ° Га) БР [ (7. (Г ° Гз)[. 1 4.47. Найти дисперсию случайного процесса Х (1). значения которого изменяются скачками на случайные величины Ь, з случайные моменты времени 1,. Число скачков, цронсходящих в течение отрезка времени ч, подчиняется закону Пуассона а параметром а с ', величины скачков Ь, взаимно независимы, имеют одинаковые дисперсии па н нулевое математическое ожидание, а Х (О) — неслучайная величина. Решение. Значение случайного процесса в произвольный момент вре мени г представим Х®-,", Л,+Х(О), у 1 и дисперсию [7[Х(г)[ П ~',» Л,.
М[ )т[ М(аз, 1у-1 где й1 — число скачков за промежуток времени [О, 1). Все Ь независимы и имеют одинаковую дисперсию пз, а Ф вЂ” также независимо от всех Ь,я, то проце6с Х (1) является нестапнонарным, с линейно растущей во времени дисперсией. Его можно рассматривать как допредельную модель винеровского процесса. 4.48. Случайный процесс может изменять свое значение только в тактовые моменты времени пТ (и = О, 1, 2, ...). Эти значения являются независимыми нормально распределенными случайными величинами со средними значениями, равными нулю, и одинаковыми дисперсиями о~. Найти корреляционную функцию описанного процесса.
Решение. Очевидно, что М [Х (8)! = О н 77, (т) = М [Х (Г) Х (Ф -[- т) ) М [Х (Г) ) М [Х (( -1- ч) ), если [ т [ ) Т, поскольку значения Х (1) на разных интервалах независимы и равны нулю. При [т~ < Т возможны два случая: либо оба конца интервала длиной т попадут в один тактовый интервал Т, либо в соседние. Вероятность второго события р, = [ т [7Т, так как начало интервала выбирают независимо от тактовых моментов Т„. Однако, как и в случае [ т [ ) Т, М [Х (г) Х.(1 + т)) = О из-за независимости значений процесса на соседних интервалах. Если же оба конца интервала длиной т попадут в один тактовый интервал, что возможно с вероятностью р (1 — ~ т ~!Т), то Х (1) = Х (Ю -[- т) и й, (т) = (1 — ! т [/Т) М [Ха) = оз (1 — [т[!Т).
Рассматриваемый процесс может служить допредельной моделью белого шума, имеющего нулевое время корреляции, который получается из него при Т- О и а'=с(Т- со, 4.49. Корреляционная функция угла крена самолета р (1) имеет вид )7, (т) = о,' ехр [ — и [ т~[ соз йт., В момент 1, угол крена у (1,) ° 5'. Определить вероятность того, что в момент вреМени 1, 1, +ч угол крена 299 Я„(т) = о~е ""'(соз()т+ — з1п~)т!)„ где а, = 2,3', а = 0,2 с ', () = 0,54 с '.
4.52. Стационарный случайный процесс Х (/) имеет корреляционную функцию Я„(1). Найти дисперсию его интеграла У (1), где У (1) = Х (я) сЦ, если М (Х (/) ) = О. 4.53. Определить корреляционную функцию и спектральную плотность производной случайного процесса Х (/), если Я (т) о,е~ ' '(1 + а ~ т ~). Показать, что этот процесс не является дважды дифференцируемым. 4.54. Найти спектральную плотность стационарного случайного процесса Х (1) с корреляционной функцией о,',(1 — ) т ~/Л) при т ~ Л; .
Я,(т) = 0 при т) Л., 4.55. Найти спектральную плотность процесса с корреляционной функцией при 0 ~ т ч- т„; при т„(т( т;, при т) т,. т тв — т о,— т~ — т„ Я,(т) = 4.56. Определить математическое ожидание и дисперсию установившегося процесса У (1) на выходе динамической системы, описываемой урав- нением , '„и +,) (/) = Ь, ++ Ь,Х (1), где Х (1) — случайный процесс на ее входе, имеющий следующие характеристики: математическое ожидание шк (О = хр з1п (10 корреляционную функцию К (11 оке 300 у (/,) -~ Ь 10', если у (/) нормальный случайный процесс и М (у(1)) = 0; ч 2 с; о,' = ()Г 30')', а = 0,12 с ', 5 '= 0,4 с '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
