Главная » Просмотр файлов » Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977)

Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 47

Файл №1249285 Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977)) 47 страницаТопчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285) страница 472021-07-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

~т~~.ц 4.37. Повысить точность системы автоматического регулирования (рис. 4.8, а) путем увеличения порядка астатизма по управляющему и возмущающим воздействиям (! (г) и ~ (С) до 2-го за счет введения дополнительных корректирующих устройств 4'„, (з), (Г», (з), Я7зз (з), если устройства системы имеют передаточные функции, а Гг, .~-ц а+~г' 4.38. Повысить точность системы автоматического регулирования (рнс'.. 4.8, б) путем увеличения порядка астатизма по управляющему и возмущающим воздействиям г ! (!) и ~, (г) до 2-го за счет введения дополнительных корректирующих устройств 97„! (з), Ягзз (з) и Ягз, (з), если устройства системы имеют передаточнме функции ' !( ) !' з( ) (Т!~+ !) <Т1ь+1] (Тз!+ !! ' 4.39.

Повысить точность системы автоматического регулирования (рис. 4.8, з) путем увеличения порядка астатизма по управляющему и возмущающим воздействиям 1! (!) и ~, (!) до 2-го за счет введения дополнительных корректирующих устройств Я7„! (з), В'„, (з) и 9Г„, (з), если устройства системы имеют передаточные функции зз !т',з+ ! !т,*+!! ' йуз(з) = — ~ —; йуа(з)--у —., з зм з (Ту+ 1) Ь+! ° 295 4.3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ т„(() М 1Х «)1; я„ (г,, г,) = м [[х ((,)1 [х ((,)11; (4.20) (4.21) в[Х«)1- М [[Х(())ь) - ~.<со () [„„,); (4.22) о„(П= у В,Щ, где т, — математическое ожидание; )с„«„(,) — корреляционная функция; О [Х «)1 — дисперсия; о — среднеквадратическое отклонение; Х «) = Х (П вЂ” т, — центрированный случайный процесс.

При рассмотрении стационарных случайных процессов, вероятностные характеристики которых не зависят от' начала отсчета времени, имеем т,«) т,= сопл[; о,(г) о, сопз(; )ь*((ь () )ьь((а Гд )ь (т). У зргодических случайных процессов средние по времени характеристики определяют с помощью выражений ! У Нп1 — 1 х(1) йй т 2Т (4.23) г г й,(ч) иш — т 1 [х(г) — х)[х(1+т) — х[йй (4.24) они совпадают с соответатвующими характернатиками, средними по мно. жеству: Х М)Х(1)) т,; (4.25) )г, (ь) = М 1Х (г) Х «+е)1. (4.26) Спектральной плотностью стационарною случайного процесса называется преобразование Фурье его корреляционной функции о, (ьь) ° 1 е[, (т) е ~"' йч, где )(„(а) — 1 о', (ы) е~"' Йо.

(4.28) При прохождении стационарного влучайного сигнала Х (г) через уатойчивую линейную систему е передаточной функцией Ф ()ы) его спектральная плотность преобразуетая в соответствии с выражением ~,(ы)-!Ф(1 )[ьЗ.(ы) (4.29) Под случайным процессом понимают случайную функцию, зависящую от времени ( как от параметра. Если 1 может принимать значения из некоторого интервала [обычно (О, оо) или ( — оо, оо) ), то случайный процесс называют процессом с непрерывным временем; если же множество значений счетно (обычно Г = пТ, где и = О, 1, 2 ...), то — процессом с дискретным временем.

Наиболее широко применяют простые вероятностные характериетики случайных процессов: 4.40. Найти корреляционную функцию процесса Х (Г), если он может принимать только одно из двух значений; (-(-1) или ( —,1). Переход от одного из этих значений к другому происходит скачком в случайные моменты времени, причем число таких переходов за время т распределено по закону Пуассона, а среднее число переходов за единицу времени равно а, с 1.

Решение. Прежде всего заметим, что процесс является стационарным и симметричным, поэтому л!„= Х = О. Для определения корреляпионной функции рассмотрим выражение й„(т) = М (Х (!) Х (! + ч)). Произведение Х (1) Х (1 +а) может иметь также только два значения: (+1) и ( — 1) а вероятиоатью р+ и р еоответотвенно, поэтому )т, (я) М (Х(1)Х(1+ч)1= р+(1) +р ( — 1)* р,— р, Определим вероятности р, и р .

Указанное произведение принимает значение (-1-1) в том (и только том) случае, если на отрезке (1, ! -1- т) будет четное число перемен знака: О, 2, ..., 2й, ... Как известно, вероятность этого события для пуассоновского распределения будет Ю ч1 (ат) -д~ р+ ~ — е 2А! Вероятность наличия нечетного чиела перемен знака предетавим в виде (а с)~~~ ,ьл (з7+!) ! 3 0 В результате найдем е ~ ( — 1)" — = е '~, (е>0). а! Ввиду четноати корреляционной функции на интервале ( — оо, оо) имеем Й,(ч)* е 4.41.

Найти диаперсию первой н второй производных случайного процесса Х (1), вали Я (а) ° о е ' (1+ и ~ ч !). Решение. Для стационарного процесса формула, выражающая корреляционную функцию производной, имеет вид д~ ай Я; (%) ~ й; (гз — !!) ~ у.~!- Яа ((з — 1!) = —,!, Ра (ч). д1~ !в а!в Последняя формула справедлива в том случае, когда — не имеет й~„(т) ат разрыва при ч = О. В этом случае процесс Х (!) является дифференцнруемым. Это условие для Х (1) соблюдается, и )~1(ч) о~ае !')(1 — а!ч)), а 0; Яа(0) сЮ. Диаперсия же второй производной 0 у бесконечна, так как Р; (з) имеет разрыв производной в точке ° 0: ~~ 1Сй ( )[а „,+ -~- ' (т)~ па.(1) «ла ~(1).

ааа(1) "" ла (1)). Ж*(1а 1а))ц М М((1а) ~1(1а)). Найти математическое ожидание н корреляционную функцию скалярного произведения У = аУХ (1) вектора Х (1) на неслучайный числовой вектор И~ = (в,, в„..., в„). Показать, что корреляционная функция суммы некоррелированных (и тем более независимых слагаемых) равна сумме нх корреляционных функций. Решение. Имеем У (1) = %'Х (1), где Х (1) — а-мерный вектор а математическим ожиданием М (Х (1)) = па„(1) и корреляционной функцией— матрицей )~м(1м1) йм(1а.1)" )(в(1» 1а) г (1 ° 1а) М.(1,, 1,)- М(ХХ) = Раа (1» 1а) Для рассматриваемого случая М (У (1)) аУпа,(1) * )а (1а 1а) г,(1„1,) - М (У(1,) г (1,)) - М [Ж'.д (1а)) [)У'Х(1,)) [- - )У'М [Д(1) Х (1а)[ ИГ- ИГ' [)1. (1„1) „ИГ. и позтому второй производной процесс Х (1) не имеет.

4.42'. Найти корреляционную функцию )г (1,, 1а) процесса У (1), представляющего собой приращение за время г" от случайного пропеааа Х (1), т. е. У (1) Х (1 + Т) — Х (1), еелн его корреляционная функция Р, (1„1,). 4.43. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного про. песса' У (1) = а (1) Х (1) + Ь (1), где а (1) н Ь (1) — числовые (неслучайные) функции, а ла, (1) и Я, (1„1,) — извеатны. 4А4. Найти функцию корреляции случайного процеаса модулирован- ного по амплитуде: У (1) АХ (1) (з1п еа1+ ф), где Х (1) — стационарный случайный процесс с корреляционной функцией Я, (т); А, в, — постоянные величины; <р — равномерно распределенная на отрезке [ — и, и) случайная величина, не зависящая от Х (1).

Показать, что процесс У (1) является стационарным. 4.45. Доказать, что для дифференцируемого стационарного алучайного процесса его значения в любой момент времени некоррелнрованы со значе- нием его производной в тот же момент. 4.4б. Пусть заданы математическое ожидание и корреляциониая ма- трица случайного вектора' Х(1)- [Х,(1), Х,(1)...„Х„(1)[ в виде В частности, при ФУ [1, 1, ..., Ц, У(1) ~~~~~ Х,(Г) ,1 е п Ц Ц, 1,) - ',„",, Л„(1„1,).

~-1 ~-1 Для процесса с некоррелированными координатами Йп (1,, (а)1» .г = О корреляционная функция суммы координат равна сумме нх корреляционных функций )7и (Г, Га) Е 17м (Г ° Га) БР [ (7. (Г ° Гз)[. 1 4.47. Найти дисперсию случайного процесса Х (1). значения которого изменяются скачками на случайные величины Ь, з случайные моменты времени 1,. Число скачков, цронсходящих в течение отрезка времени ч, подчиняется закону Пуассона а параметром а с ', величины скачков Ь, взаимно независимы, имеют одинаковые дисперсии па н нулевое математическое ожидание, а Х (О) — неслучайная величина. Решение. Значение случайного процесса в произвольный момент вре мени г представим Х®-,", Л,+Х(О), у 1 и дисперсию [7[Х(г)[ П ~',» Л,.

М[ )т[ М(аз, 1у-1 где й1 — число скачков за промежуток времени [О, 1). Все Ь независимы и имеют одинаковую дисперсию пз, а Ф вЂ” также независимо от всех Ь,я, то проце6с Х (1) является нестапнонарным, с линейно растущей во времени дисперсией. Его можно рассматривать как допредельную модель винеровского процесса. 4.48. Случайный процесс может изменять свое значение только в тактовые моменты времени пТ (и = О, 1, 2, ...). Эти значения являются независимыми нормально распределенными случайными величинами со средними значениями, равными нулю, и одинаковыми дисперсиями о~. Найти корреляционную функцию описанного процесса.

Решение. Очевидно, что М [Х (8)! = О н 77, (т) = М [Х (Г) Х (Ф -[- т) ) М [Х (Г) ) М [Х (( -1- ч) ), если [ т [ ) Т, поскольку значения Х (1) на разных интервалах независимы и равны нулю. При [т~ < Т возможны два случая: либо оба конца интервала длиной т попадут в один тактовый интервал Т, либо в соседние. Вероятность второго события р, = [ т [7Т, так как начало интервала выбирают независимо от тактовых моментов Т„. Однако, как и в случае [ т [ ) Т, М [Х (г) Х.(1 + т)) = О из-за независимости значений процесса на соседних интервалах. Если же оба конца интервала длиной т попадут в один тактовый интервал, что возможно с вероятностью р (1 — ~ т ~!Т), то Х (1) = Х (Ю -[- т) и й, (т) = (1 — ! т [/Т) М [Ха) = оз (1 — [т[!Т).

Рассматриваемый процесс может служить допредельной моделью белого шума, имеющего нулевое время корреляции, который получается из него при Т- О и а'=с(Т- со, 4.49. Корреляционная функция угла крена самолета р (1) имеет вид )7, (т) = о,' ехр [ — и [ т~[ соз йт., В момент 1, угол крена у (1,) ° 5'. Определить вероятность того, что в момент вреМени 1, 1, +ч угол крена 299 Я„(т) = о~е ""'(соз()т+ — з1п~)т!)„ где а, = 2,3', а = 0,2 с ', () = 0,54 с '.

4.52. Стационарный случайный процесс Х (/) имеет корреляционную функцию Я„(1). Найти дисперсию его интеграла У (1), где У (1) = Х (я) сЦ, если М (Х (/) ) = О. 4.53. Определить корреляционную функцию и спектральную плотность производной случайного процесса Х (/), если Я (т) о,е~ ' '(1 + а ~ т ~). Показать, что этот процесс не является дважды дифференцируемым. 4.54. Найти спектральную плотность стационарного случайного процесса Х (1) с корреляционной функцией о,',(1 — ) т ~/Л) при т ~ Л; .

Я,(т) = 0 при т) Л., 4.55. Найти спектральную плотность процесса с корреляционной функцией при 0 ~ т ч- т„; при т„(т( т;, при т) т,. т тв — т о,— т~ — т„ Я,(т) = 4.56. Определить математическое ожидание и дисперсию установившегося процесса У (1) на выходе динамической системы, описываемой урав- нением , '„и +,) (/) = Ь, ++ Ь,Х (1), где Х (1) — случайный процесс на ее входе, имеющий следующие характеристики: математическое ожидание шк (О = хр з1п (10 корреляционную функцию К (11 оке 300 у (/,) -~ Ь 10', если у (/) нормальный случайный процесс и М (у(1)) = 0; ч 2 с; о,' = ()Г 30')', а = 0,12 с ', 5 '= 0,4 с '.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6358
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее