Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В результате получим отрезок 0Р. Наклон прямой Р,Г равен Р0 йВ ЯР /(хе)+ус ' (5.37) 319 Рис. 5.6. Фаттее траектории е нелиней- ной системе регулирования давления в ре- сивере с нелинейностью пиит вони неиув. спюияселвности Рис, Б.й. Фававие траектории в нели. нейной системе регулирования давления в ресивере с нелинейноспвю типа наааявния йу П(кг) -(- у. йя у, Он совпадает с наклоном фазовой траектории в точке Р„ поэтому из Р, как из центра, радиусом ГР, с помощью циркуля проводят дугу окружности 3, проходящую через точку Р,.
На дуге выбирают точку Р) и повторяют описанное построение (рис. 5.5, точки Р(, Я1, Т', В', Я' и Р'). Таким образом строится вся',фазовая траектория 1. Плавность фазовой траектории зависит от длины элемента окружности и может быть улучшена путем использования более коротких дуг. Аналогично, выбирая в качестве начальных точки Р, н Р„ получим решение задачи в виде траекторий П и 1П, изображенных на рис. 5.5. На основании выполненного построения можно сделать вывод о том, что все фазовые траектории скручиваются к началу координат, которое является особой точкой типа устойчивого фокуса. Последнее 'доказывает асимптотическую устойчивость данной нелинейной системы.
5.3. Построить фазовые траектории нелинейной системы автоматического регулирования давления в ресивере с иелииейностью типа зоны нечувствительности для начальных точек с координатами Р, (1, 2), Р, ( — 1, 1), используя метод Льенара (см. Рис. 5.4, а).
Решение. Сначала аналогично задаче 5.2 получим уравнение системы в безразмерном виде й, + — „+1(х)= О, (5.39) где Π— 1 сх~1; 1(х) х — 1 х~1; х+1 х< — 1. Затем строим на фазовой плоскости (х, у = — ) функции у = 1(х) йк ~ (кривая !) и х = у (кривая 2). Используя описанную в задаче 5.2 методику построения траекторий, получим фазовые траектории 1 и П (рис. 5.6).
320 где х, и у, — соответственно абсписса и ордината точки Р,. Следовательно, наклон прямой, проходящей через Р „перпендикулярно к Р,Р, определяют по выражению (5.40) где 6„ — угол поворота выходного вала; Т„ — постоянная времени электродвигателя; и — величина сигнала на вйходе релейного устройства; й— передаточный коэффициент электродвигателя и редуктора.
Уравнение (5.407 е приведем к безразмерному виду с помощью новых переменных х = —, лТяь ит — Тогда получим Т ' †, + †„, + 1(х) = О. (5.41) Строим на фазовой плоскости (х, у) функции у = Т (х) (кривая!) н х = у (кривая 2) и, используя описанную в задачах 5.1 и 5.2 методику построения, получим искомые фазовые траектории! и 77 (рис.
5.7). Как и в случае задачи 5.1, на фазовой плоскости имеется одна особая точка — устойчивый фокус (начало координат), что указывает на асимптотическую устойчивость данной системы. 5.5. Построить фазовые траектории для нелинейной следящей системы (рис. 5.8), имеющей люфт С = +.0,5 мм в механической передаче Р между потенциометром обратной связи и выходным валом, по методу Льенара для двух начальных точек Р, ( — 3; 0) и Р,, ( — 1,5; 0) (рис.
5.9). Решение. Запишем уравнения динамики следящей системы в виде 1„— +А,— „; -Моь(1), й ев ййь (5. 42) где Մ— приведенный к валу электродвигателя момент инерции; й, — коэф- фициент скоростного трения; Мяь (1) — двигательный момент. Рис. 5.7. Фамвьм траектории е ре- лейкой сходящей системе Рис. й.а. Приизилиоиькая схема келре.
риекой смдтеей состоим с мофтом е мь хакиееской лередаее 321 11 ю. и. гьиьььь На основании выполненного построения можно сделать выводы об асимптотической устойчивости системы. Однако в данном случае уже имеется не одна точка О, а целый отрезок ( — 1 ~ х ( 1) устойчивых состояний. 5.4. Построить фазовые траектории нелинейной системы автоматического регулирования — релейной следящей системы (рис. 5.4, б) с двухпозиционным релейным элементом без гистерезиса для начальных точек с координатами Р, (1, 2), Р, ( — 1, 1), используя метод Льенара.
Приведем, как и в предыдуших задачах, основное уравнение системы Рис. З.у. Фиесееи схесехиюэеи б нейяельяхся сеейФИИя сисемхе с ехр4шсм е мехахичесхса хеседаее Будем считать, что движущий момент Мх, (С) ~ ~~ Й„йр(, (С), (5.43) где Й„ — моментная постоянная электродвигателя; Й, — передаточный коэффициент механической передачи; С, — ток возбуждения. Тогда уравнение (5.42) примет вид ф— „' + Й, — „' /г„Сер(„(С). (5.44) Учитывая уравнение потенциометрической схемы и (С) Й, (8, (С) — 8' (С)1, электронного усилителя и механической передачи с, (С) = Йри (С) Ое (С) С (Ое (С)) илн при Ов (С) = О~ с1с ~ ~ее ЬберсеЕл Е,-кн С-— ех ее получим сех хс ех —, + — ' — +С(к) О. е хсее (5.
46) Принимая в уравнении (5.46) 7 = †' , получим Серь Кех Ех — „+ у д +С(к) О. (5.47) Введем переменную у = — „в уравнение (5.47): ех дй тх+ С (х) Их (5.48) С помощью полученного выражения на фазовой плоскости построим фазовые портреты по методу Льенара, имея в виду, что у 0,25.
На рис. 5.9 функция у С (к) показана линиями 1, а функция к = (1/у)у — линией 2. Прн этом видно, что в системе устанавливаются автоколебания с амплитудой в пределах 1,5б А.~2,5. 322 где 6; — угол поворота потенциометра прн отсутствии люфта в механичеакой передаче, выражение (5.44) приведем к виду ,С„ 'РЗ' + Й вЂ 'Зе Й Й„Й Й„ (9,(С) С(В, (С)1), 5.6. Построить фазовый портрет нелинейной системы автоматического регулирования, используя метод изоклин, если структурная схема системы имеет вид, показанный на рис. 5.10, а, Решение. На основании структурной схемы получим уравнение, описывающее свободные колебания системы в виде иех йх — +к — +х О.
иж йг (5.49) Вводя обозначения у = —, приводим уравнение (5.49) к виду йх у Д-+ ну+ к=О, (5.50) или в преобразованном виде уу ку+ х (5.51) Если — = Ф постоянная величина, то получим уравнения нзоклины— лу кривой, на которой-фазовые траектории имеют одинаковый угол наклона. Используя выражение (5.51), запишем уравнение изоклины для нашей си- стемы к р~ 1г+к ' Задаваясь различными значениями У, построим для нашей системы на фазовой плоскости семейство изоклин (рис. 5.11).
Построение начнем с начальной точки Р (О; 3,5), которая лежит на изоклине с Ф = О. Для отыскания следующей точки фазовой траектории проводим из точки Р две прямые с наклоном последующей и собственной изоклины до пересечения с соседней изоклиной. Конец отрезка этой изок(ганы, отсекаемый соответствующими прямыми, и берется за искомую точку„лежащую на данной фазовой траектории. Полученные точки соединяют плавной кривой. При этом заметим, что изоклины симметричны относительно У. Точность построения зависит от гусппы изоклин. 5.7. Построить фазовые траектории методом решения дифференциальных уравнений по участкам и переходные процессы для нелинейной системы автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рис. 5.10, б, если Т, = 20 с; й = 4 1/се.
5.8. Построить фазовые траектории методом решения дифференциальных уравнений по участкам а переходные процессы для нелинейной системы гг ег рис. е.10. Сарунаурние ехеми нееинеаних гикаем аеаомааинеакаго регухироеаник 11' 323 Рис. З.П. Фиииив иортрет иемитяиог система оетомаотче. сиоео ртреироеаиии с иоиетиииии ииисеииами автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рис. 5.10, в, если и = = 1В/град; йе =* 0,1 1/ое; С = 0,2 В; С =0,1 град/д.
5.9. Построить фазо. вые траектории по методу изоклин, если структурная схемы системы автоматического регулирова«в тче ния имеет вид, показан- ный на рис. 5.10, г. 5.10. Построить фазовые траектории по методу изоклин, если система автоматического регулирования описывается дифференциальным уравнением вида е —, + Н вЂ” ир (х +  — „" ), где ) = 2 г см с*; Н 2 г см.с; й 1 г.см; В = 0,02 а '. 5.11. Построить фазовые траектории и определить параметры автоколебаний для системы автоматического регулирования, имеющей структурную схему, изображенную на рис.
5.10, д, если Т, = 0,2 с; Т, = 0,4 с; й, = 101(аи й =4. 5.12. Построить фазовые траектории по методу ~изоклин для сиетемы, структурная схема которой изображена иа рис. 5.10, в (прн р = 0,2 е), и определить параметры предельного цикла. Указание. Представить систему уравнений по структурной схеме рис. 5.10, е в виде х, х,; хе- — р(4 — 1)~г- хи 5.13. Построить фазовые траектории по методу Льенара для систем автоматического регулирования, описываемых следующими нелинейными дифференциальными уравнениями: а) 5 асс + 20х~ — „~+20х 0: аех ах б) — ",+( — *) +х 0; вех ви в) — „, +0,2 — +хе 0; г) — „, +10(хе — 1) и +х О.
Все вс 5.14. Построить фазовые траектории по методу Льенара для сиатем автоматического регулирования, структурные схемы которых показаны на рис. 5.12, и — б, если й, = 10; Т, = 1 с; Т, = 0,5 с; В 2; С = 1. 324 рис. Б.И. Структурные схемы одноконтурных нелинейных систем автомаптчсаипо рту. лированип с типичными нелинейностлми Щ д) Рис. д.ез. Структурные схема двумеонтурных нвлинвйнып сиапвм автомапшчвскто ртулированип с типичными нвлинвйностлми 5.15. Построить фазовые траектории по методу Льенара для систем автоматического регулирования, структурные схемы которых показаны на рис.
5.13, а — б, если а, = 20; йх 10 с ', Т, = 0,2 с; Фв = 0,5 с. Определить амплитуды и частоты предельного цикла, а также время выхода на режим автоколебаний. 5.2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРИПАСОВЫВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА КАЧЕСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 5.16. Для релейной системы автоматического регулирования сушильного шкафа (задача 5.1) с нелинейностью (см. рис. 5.1, б) построить переходный процесс 0 = 6 (Г) при следующих начальных условиях 0 (0) = 50'С, Ь (0) = 0 и параметрах: Т, = 10е; помвВ = 2В; С = 0,5А; й, = 0,5 Ауград. Устанавливаемое задатчиком значение температуры примем О, = 45' С. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
