Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Так как нелинейная функция г (х) имеет три значения: В, О, — В, то решение уравнений (5.7) — (5.9) запишем в виде 0 С,+Се ге — й,й,В1 прн 0~ — =1'С; 0 Со+ Сзе г, +йой Вг при 0~ — —, — 1'С; (5.53) с (5.52) 0 = С, + Све г пРи ~ 0 ( с —, = 1'С. "1 (5.54) Из уравнений (5.52) — (5.54) получим 1 С ол — — С,е * — йойвВ при 6 ы — 1'С; тв йв (5.55) 1 с С Ь вЂ” — Све ге+йвйпВ пРи 0 к — — 1'С; О 1 Ф С 6 — — С е г цри 10) < — 1'С. т, в уп (5.56) Первый участок переходного процесса рассчитывают с учетом заданных начальных условий по уравнениям (5.52) н (5.55).
При этом нз уравнения (5.55) определим Се = — йвйеВТв = — 20. Подставляя полученное значение в уравнение (5.52), найдем г с +0(0) — (с, 7 +и» 81), или С, 50 -1- 20 = 70. Вводя значения С, н С, в выражения (5.52) н (5.55), получим 6 70 — 20е — а и — 21 при 6 ~ 45+ 1 =* 46', (5.58) ()= 2е-а" — 2 при 0~ 45+1 46'. (5.59) Время протекания переходного процесса 1„соответствующее 6 = 46' С, найдем из уравнения (5.58), т.
е. 46 70 — 20е-'" — 2(м или' 10е оле' 12 — 1 (5.60) Уравнение (5.60) решим графически. Из риа. 5.14, и, где зг' 10е-а'" и зе = 12 — г„получим г, 7 е. Значение 6 (1х) определим е помощью уравнения (5.59), т. е. 0(1г) 2е ог — 2 — 1. Начальные значения функций 6 (г) и Ь (7) для второго учаатка переход- ного процесса будут равны конечным значениям для 1-го участка. Лля простоты расчетов на 2-и участке отсчет времени будем снова вести от нуля, Имея зто в виду, из уравнения (5.57) найдем С, - — т Ь (1,) - 10. 4.
гг гй ы о й и 74 гв зг йо ге ев х г, 7с и ог г ° 4. гг 7й Рис. й.гв. Переходный арацесс ивменгнил темлератзрм в рееейной системе автоматического рггувированил. лаиргтилгй ло мелтд7г лриласовемалил ! Е-77сей 47 Определим произвольную постоянну»о из уравнения (5З47: С, =Ф(1,) — С»=46 — 10=36.
Соответственно с этим уравнения (5.55) и (5.57) примут вид 1~о.и (5.61) ь (5.62) Определим теперь момент времени 1» (соответствующий границе 2-ге и 3-го участков). Для 11 = 44' С нз уравнения (5.61) найдем 44 = 36 + 10е-э н», или е»п» 08, откуда 1» 2,25 с. Эначение 6 (1») определяется из уравнения (5.62) в виде д (1») — е-л" » м = — 0,798.
Начальные значения функций б (1) и б (1) для 3-го участка будут равны конечным значениям для 2-го участка. На 3-м участке снова будем вести отсчет времени от нуля; тогда из уравнения (5.56) получим С» Т (й»й»8 б (1») 1 27е98 и из уравнения (5.53) найдем С» б (1») — С» * 44 — 27,98. Уравнения для 6 и б дия 3-го участка после подстановки соответствую. щих числовых значений будут 6 1602+2798е-он+28 Ь вЂ” 2,798е-эгм + 2. Подставив в уравнения (5.63) 6 44'С, определим момент времени который соответствует границе 3-го и 4-го участков 44 ° 16,02+ 27,98е-~"е+ 21, или 27,98е-».»ц 27,98 21», (5.65) Уравнение (5,65) решаем графическим способом. Из рис.
5.14,'б, где г, = 27,98е "' и г» 27,98 — 21», определяем 1» = 7,1 с и 0(1») — 2,7Я8е ' '+ 2 0,625. Экстремальное значение Ь (1) на 3-м участке, соответствуюшее при котором Ь (1) = О, находим из уравнения (5.62), т. е. 0 — 2,798е-о.м„+ 2 откуда 1„= 3,25 с. Имея это в виду из уравнения (5.63) найдем б (1»») 16 02+ 27,98е-'»м+ 2 3,25 = 42,7. Аналогично производят вычисление б (1) и б (1). Соответствующие числовые значения этих величин приведены в табл. 5.1. На рис. 5.14, в по данным табл.
5.1 построен переходный процесс Ф = б (1) в нелинейной системе регулирования. 327 5.17. В системе автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рис. 5.10, б, построить переходный процесс по методу припасовывания. Параметры системы взять из задачи 5.7. Начальные условия х (0) = 10; х (0) О.
5.18. В системе автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рис. 5.12, а, построить переходный процесс по методу припасовывання при следующих начальных условиях хв (0) 0; х, (0) = = 10. Рис. д.гд. Структурние асемм нееинедных систем автоматического регуеированик с двухвначннми нееинейиостями 5.19. Построить переходные процессы хЩ по методу припасовывания и определить частоты и амплитуды автоколебаний в системах автоматического регулирования, имеющих следующие параметры и структурные схемы: а) й = 2 1/с; В = 5; С = 0,5; х, (0) = 0; х (0) = 2 (рис.
5.15, а); б) й = = 0,5 с; Т, = 0,1 с; В = 20; С = 1; х, (0) = 10; х, (О) = 0 (рис. 5.15, 6). 5.3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ 2-го МЕТОДА ЛЯПУНОВА С помощью 2-го метода Ляпунова можно анализировать устойчивость нелинейных систем автоматического регулирования в малом, в большом и в целом. Сущность этого метода заключается в том, что сведения об устойчивости можно получить, анализируя знак производной от некоторой функции У (з). Данный метод дает лишь достаточные условия устойчивости для стационарных и нестационарных систем регулирования и не определяет 328 общих принципов формирования функции У (х) и способов выбора знака производной при нескольких переменных х (х„х„..., х„).
Поэтому в этом параграфе рассматривается применение 2-го метода Ляйунова в формах, предложенных А. И. Лурье, Г. Сеге, Д. Шульцем [30, 36, 39) для определенных классов задач. 5.20. Исследовать нелинейную систему автоматического регулирования на устойчивость по 2-му методу Ляпунова, ерли ее структурная схема имеет вид, изображенный на рис. 5,16, а. Решение.
С помощью структурной схемы составим дифференциальное уравнение ~Рн ~Ь з — + — +х =О. вР й (5.66) Уравнение (5.65) приведем к виду х, х,; з х,= — зэ- хь ~ (5.67) Первый способ. Воспользуемся методом Г. Сете. Для этого запишем функцию Ляпунова У = ап (х1) х(+ 2ам (х1) хатха + аэ2хзз. (5.68) Уравнение (5.66) 2-го порядка, поэтому а„1; тогда у" = ац (х1) х1 + 2ам (х1) хатха+ хз. (5.69) Рии Б.ХВ, Сырунтурнив схимы ненинганын виевмн аввмнииииввного рвгувирвванин 329 откуда получим —,~- -~ -'- х[х~+ 2ац (х~) х1+ 2ф- х1хтх~+ + 2ац (х,) хвх, + 2а„(х,) х,х, + 2х,х,.
Подставляя в полученное выражение значения производных нз уравнений (5.57), найдем — ц х[хт+ 2а, (х~) х1х~+ 2-="и- хД+ Щ + 2ац (х1) х[ — 2ац (хД яхт — 2ац (х1) х41 — 2л4 — 2хтхзц В выражение'(5.70) введем следующие обозначения: — и- х1 + 2ац (х1) 2ац (х1); ЙУ ~ Ихд (5.70) — -'И- х~ + ац (х1) а1т (хд; Их1 тогда получим ИУ з — кв [2ац (х1) — 2] + хв [2ац (хз) х~ — 2ац (х1) х~ — 2хД— ф(х) Ах1+ Вхв+ С, (5.73) где А 2ац(х1) — 2; в.
В 2ац (х1) х1 — 2ац (хз) х~ — 2х1,' С ° — 2ац (х1) хц (5.74) Для получения устойчивости во всей области (х„х,) необходимо, чтобы уравнение ф (х) = 0 имело кратные корни., Соответствейно атому дискриминант уравнения должен быть равен нулю, т. е. В' — 4АС = О. Согласно методу Г.
Сеге возьмем А В 0; тогда получим а1т(х1) 1; ац (х1) 1 + хц (5.75) Значения козффициентов а„(х,) и а„(х,) получим из решения уравнений — 'х~+2ац(х~) 2(1+х1); ях1 ьц х +а (х) ! — 2ам (х~) хц (5.71) Пользуясь выражением (5.71), образуем функцию ф (х) х3 [2ац (х1) — 21+ хв [2ац (х1) х1 — 2ац (х1) х~ — 2х[!— — 2ац (х1) хц (5.72) Функции Г и ф (.е) можно представить в виде полинома 2-го порядка ау относительно х„т.
е. В этом случае решение для а„(х,) наем в ваде ан (хг) ссхг+ )), т. е. 2ах(+2ах1+25 2+2хц Приравняв коэффициенты прн одинаковых сгеценяя х,, найдем 1 а -2-, р 1. Решением второго уравнения является ага(х,) у я у 1. Для найденных нами значений а„н атз запишем функцию Ляпунова согласно выражению (5.69) в ваде У ах~~+ 5х(+ 2ух,ха+ хазе (5.76) где п, 6 н у — произвольные постоянные.
Подставляя сг = -й-, 5 1 н т 1 в выражение (5.76), найдем 1 У вЂ” - 4+ х~+ 2хгхз+ хзз (5.77) ар з — — 2хь Ю ' (5.78) отгх~+©тзхз+ '' + овхв омхг + оихз + ' ' '+ пзлхл а„,х,+и х,+ "+а„„х„ (5.79) Найдем производную от функпни Ляпунова: НУ вЂ” 7У'х, а (5.80) где Ррт — транспоннрованный столбец (~У). Функция Ляпунова будет (5.81) Для системы уравнений (5,67) имеем омхх + пззха (5.82) Ж1 Из последнего выражения следует, что прн любых значениях х, — < О. зУ аг Это н указывает на устойчивость рассматриваемой снстемы автоматического регулирования по Ляпунову.
' Второй способ. Используя метод Д. Шульца, граднент функции У для' системы уравнений и-го порядка запишем в анде тогда Н1/ ~г«~ — (ап«, + амх,) —,' + (амх, + пах,) — ' (амхт + имх,) х~ + + (амх~ + амхз) ( — хт — х~). (5.83) Подставляя значения производныя и зчитая, что а„= а„зопз1, получим Ж' ч 3 — — апх~ + (ап — ам — счз4 «Рз — (а,а — ита) хз (5.84) Ж ДУ Примем и„= п„= 2; тогда для выполнения узловня — < О необ. Ш ходимо иметь а„2 и и„= 2 -1-2х', и градиент ~ 2«~+ 2х~+ 2«т 1 2х, +2х, (5.85) Ф= ~+ь4 ах~ з — — с«~+ бхь на устойчивость по 2-му методу Ляпунова, если а > О; Ь > О; с > Ои б > О.
5.27. Исследовать нелинейную систему, динамика которой описывается уравнениями вида ~~1 «з ( х,Я ( ~4). — ~ — х1 + «2 (х! + «2), на устойчивость по 2-му методу Ляпунова. 332 Подставляя выражение (5.85) в формулу (5.81), получим к ха Р ~ (2~~+ 2~ь) й~~ + ~ (2«~ + 2Ь) 04т = х(+ —, х~ + 2«~ха + 4 (5 86) н зУ ч — — 2хп Ф Последнее выражение совпадает в ранее полученной формулой (5.78). 5.21. Исследовать нелинейную систему автоматического регулирования на устойчивость по 2-му методу Ляпунова.
езли ее структурная ахема имеет вид, изображенный на риз. 5.16, б. 5.22. Исследовать нелинейную систему автоматического регулирования иа устойчивость по 2-му методу Ляпунова, еали ее структурная схема имеет вид, изображенный на рис. 5.16, в. 5.23. Исследовать нелинейную систему автоматического регулирования на устойчивость по 2-му методу Ляпунова, езли ее структурная ахема имеет внд, изображенный на рис. 5.16, г. 5.24. Исследовать нелинейную сиатему автоматического регулирования на устойчивость по 2-му методу Ляпунова, вали ее структурная схема имеет внд, изображенный на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
