Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 53
Текст из файла (страница 53)
5.16, д. 5.25. Исследовать нелинейную систему автоматического регулирования на устойчивость по 2-му методу Ляпунова, сали ее структурная схема имеет вид, изображенный на рис. 5.16, з. 5.26. Исследовать нелинейную систему, динамика которой описывается уравнениями вида 6.28. Исследовать узтойчивость нелинейной системы, динамика которой описывается уравнениями — — Зх,— Р(х,)х,; ~Ь~ Ж вЂ” — 2хз+ Р(хт)хт (5.87) „-Л,-Р( ).
В этом елучае градиент (5.92) ЧУ зу(дх (5.93) ЮУ ~ил*(х) 4 з 3 а~в 2ссмхз, Согласно формуле (5,81) получим функцию Ляпунова Л~ му -1; Ра$б$+1 о о Примем азз 6; тогда (5.94) (5.95) У-2~РВДД+34 (5.96) з Если х,Р (х,) = у находится в первом и третьем квадрантая, то функ- Ф' ция Ляпунова положительно определенна, а — отрицательно определенна, что указывает на устойчивость рассматриваемой системы.
Можно также показать, что эта сиетема асимптотически устойчива в целом. 5.29. Исследовать устойчивость нелинейной системы автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рнз. 5.17, а, е помощью 2-го метода Ляпунова. 333 по 2-му методу Ляпунова. Решение. Воспользуемся методом представления градиента функции Ляпунова в форме Д. Шульца в виде ЧУ Образуем производную от функции Ляпунова — ЧУ'х. (5.89) Подставляя в выражение (5.89) еоответетвующие значения из (5.88] и (5.87), получим ау — — х[ [апР (х~) — азтР (х~)) + хатха [ — Зссп — амР (х~) — йап+ + аезР (х~)[ — т [2атз+ Зсчз). (5.90) Положим адз азз = 0; тогда из выражения (5.90) найдем — — апР (х~) х[ — 2амхе+ хьтт [ — Зад+ амР (х~)), (5 9 1) Н~ зУ откуда видно, что -у- отрицательно, еали выражение в квадратных скобках равно нулю, или Решение.
Пользуясь структурной схемой (рие. 5.17, а), напишем уравнение в виде ф+АЯ+ — *+Е(х) О (5.97) или д. ое ю Ф вЂ” — АХ, — ВХз — Е (Хг) Х,. еез ш Градиент функции Ляпунова (5.98) а11х1+ агзхз+ а1зхз Ч7 птх,+а„хе+а .с а„х, + амхз + а„хз (5.99) Используя уравнения (5.80), (5.98) и (5.99), найдем 3 — — азгР (х1) хг + хгхг (ссп — Вазг — Р (хг) азг! + + хгхз (агг — Аазг — аззЕ (хг)! + хгг (ам — Ваза! + + хгхз (азз + агг — Аал — иззВ! + Хз !ам — аззг(! (5 100) ну Для того чтобы — было отрицательно, прнравняем нулю выражения в скобках при парных аоотношениях; тогда а„Вам + Р (хз) азз; сст Аазг+ Р (хз) азз' а„+ ам Аазз+ Ват.
(5.101) Полагая и„= азз —— 0 и а„= О, иа уравнений (5.101) найдем а„2Р (х,); сс а Р(х); а„* 2В+ Аа (5.102) Так как в выражение (5.100) при принятых условиях не входит хм то функцию можно предатавить аавиеящей от хг нли 4. Положив коэф. фипиент прн хзз равным нулю, имеем п„= 2А азт (5.103) Ф Ф Рнс.
6.17. Структурном стмм одноконтурнмн нееннеанме систем оетоматичеснозо речу. ещюеання Коэффипиент авв не постоянная величина н определяется из условия ЮВ д7 Г, дти (5.104) дхв Сх, Градиенты 7$'в и Ч~'а получаются из выражений (5.99) н (5.101)— (5.103) в виде с 7Я ~2АР(х,)х,+сс„х 7Ув.) ~ 2Р (хв) х, + 2 (Аа+ В) х, + 2Ах, ' (ВЛО5) Имея в виду соотношения (5.104) и (5.105), получим де~, — сава' дхв дх 2Р (хв) + 2хв -У вЂ”, дт Ив дл (хв) (5.106) (5.107) откуда (5.108) В результате выражение (5.99) примет вид 2АР (х,) х, + ~2Р(хв)+ 2х,дх — '«-] ха 2Р (хв) х + 2 (А'+ В) ха + 2Ахв 2Ах, + 2х, Пользуясь выражениями (5Л09), (5.80) н (5.89), найдем хв У 2А)в Р (аь) аьс(вь+ 2Р(хв)хвха+ (А + В) 4+ 2Ахахв+ хва1 (5.110) в — — 2ха [А — Р (хв))+ 24 [х,-~„-'~~.
(5.111) 1 Для несимметричных нелннейностей можно ввести упрощения: Вссаа; ссав Встав+ Р (ха) ссд, 1 (5.112) (5Л09) а при савв = авв ссав — — А ссв, — — В ааа. (5.113) В результате этого получим все сап постоянными за исключением савв. Прн условиях (5.112) и (5.113) имеем Решение. Уравнение (5.115) перепишем в виде следующей системы: х, х,; хв* — хат! хв(ха — х ° (5.116) — — — ссвахвв — 2Р (хв) хсхв — (2А — аав) хва1 (5 114) д Р(хв) В ш л др — — отрнпательио полуопределенна, если А.
В, Р (х,) > 0 и (АВ— — Р (х,) ) > О. Это соответствует условиям устойчивости Рауеа или Гурвипа. Асимптотическая усгойчивость обеспечивается для несимметричной однозначной нелинейности, если АВ > Р (хв) для любых х,. 6.30. Исследовать устойчивость нелянейиой системы, динамика которой описывается уравнением вида — ", +(1 — ~х~) — „+х(1) О. (5.115) С помощью метода градиента найдем — = х~хг (ип — ам+ам [х~[ — 2)+ха(ам — 2+ 2 [х1[) — и21хь (5.117) 3 2 Ж Рассмотрим выражение (5.117) как функцию от хт~., тогда и, 2 — 2[х,[; им 2 — [х,[; ап 4 — 3 [ х~ [+ х1~. (5.118) В этом случае — = — х[(2 — [х,[). (5.119) Из выражения (5.88) в соответствии с соотношениями (5.118) получим 4х~ — Зх~ [ х1 [+ х~1 + 2х2 — 2 [ х1 [ хм ЧУ= 2х, — [х,[хг+ 2хз (5.120) тогда — „+ А — + В (х, 1) х О.
Фх дх Решение. Из выражения (5.122) получим (5,122) — = хз' Ыл1 Ш вЂ” — Ах,— В(х, 1)х,. (5.123) Как и в ранее рассмотренных задачах 5.28 — 5.30, найдем ЧУ= (5.124) Принимая а„= 2, запишем — х1хт [ап — Аам — 2В (хь 1)) + хе (им — 2А) — из1В (хь 1)х1 + †. (5.125) НУ дк Так как В (хм 1) завиаит только от фазовой координаты х„то иы = А и,| + 2В (хм 1) (5.126) Аимх,+2В(хт, 1)х, +а1зх, ЧУ* а,х, + 2хз Сформируем функцию Ляпунова в виде х, У= — "х~1+2~ В($, 1)$д$+из1х~хт+хь з (5.127) (5.128) 336 У = 2х~1 — [х~ [ х[+ — '+ 2х1хз — [х~ [х~х~+ хм 4 (5.121) С помощью выражения (5,119) и (5.121) устанавливаем, что система устойчива по Ляпунову при — 2 (х, (2. Если пользоваться методом фазовой плоскости, то система устойчива прн — 1 ( х ( 1.
Это указывает на то, что применение 2-го метода Ляпунова позволяет получить более полное решение. 5.31. Исследовать устойчивость нелинейной динамической системы, динамика которой описывается нестационарным нелинейным уравнением вида откуда -~- — 4(2А — »»»») — »хз»В (хь 1) х»+ 2 ~ — В $, 1) $»(3. (5.129) ,»»Г д »» Примем »зз» = 2 (А — е); (5.130) тогда )» = (А — е) Ах»» + 2 (А — з) х»х» + хи» + 2 ) В ($, 1) $»1$ (5.
131) и о »» и, —— — 2(А — е)В(хь()х» — 2зх»+2~ з,' $»Ц. (5.132) о Если интеграл в выражении (5.!32) больше нуля и У больше положи. тельно определенной функции ()У»(х) — (А(А — з) х» -(- 2(А — е) х»ха+ха], (5.133) »и» то для того, чтобы — — было больше, чем зависящая от времени, положи. тельно определенная функция, необходимо в функции В (х», ») иметь линейный член малой величины, т. е. В (х, 1) = В»» -1- В» (х», (), где В» — как угодно мало; тогда х» — -~- 2В0(А — з) х»+ 2зх1+ 2(А — з) В» (хь 1) х» — 2 )» ' 5 с%. (5.134) з х» (А — з) В»(хь |)х» ~ ) 'з»' ь»(з 0 (5.135) »й/ для всех х, и 1, то — — больше, чем независящая от времени положительно определенная функция ЯГ» (х) = — 12Во(А — з) х»+ зх»~ (5.135) »»У и — < О. Если нелинейность не задана, то невозможно гарантировать устойчивость системы.
Так, например, если В (х„») = В, -)-е~хь то функция У не ограничена по х, и система будет неустойчива. 5.32. Исследовать устойчивость нелинейной системы автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рис. 5.17, б, с помощью 2-го метода Ляпунова. 5.33. Исследовать устойчивоать нелинейной системы автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рис. 5.17, в, с помощью 2-го метода Ляпунова. 5.34.
Исследовать устойчивость нелинейной системы автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рис. 5.17, г, с помощью 2-го метода Ляпунова. 5.35. Исследовать устойчивость нелинейной системы автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рис. 5.18. а, с помощью 2-го метода Ляпунова. Рис. о.ж. Структурные сеемы нелинеанык систем аотоматикескоео рееулироеаник 5.36. Исследовать устойчивость нелинейной системы автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рис. 5.18, б, с помощью 2-го метода Ляпунова.
5.37. Исследовать устойчивость нелинейной системы автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рис. 5.19, а, с помощью 2-го метода Ляпунова. 5.38. Исследовать устойчивость нелинейной системы автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рнс. 5.19, б, с помощью 2-го метода Ляпунова. 5.39. Найти условия абсолютной устойчивости нелинейной системы автоматического регулирования, структурная схема которой изображена иа рис. 5.20, а. На функцию нелинейного элемента накладываются условия Р(х,) х1 >О. решение. На основании структурной схемы запишем уравнение динамики системы в виде ак — + ах «т 9; ит д- ьР(,); Р (х1). еу ас (5.137) ( Или, исключая у, получим следующие уравнения системы: Ж +ах ЬР(х1); е — сх — рР (х1).
йл1 ол (5.138) Функпию Ляпунова для системы (5.138) ищем в виде е~ е' = ахе + ~ Р ($) Щ, а ~ О. о Из уравнений (5.138) имеем — — 2аахе+ 2 бР (хе) х — рРэ (х,), а'у ГДЕ б = ССЬ + -к- С. ! Рис. о.еу. Структурные схемы нелинеаныл систем аетоматикескоео рееулироеаник с неста- ционорными нелинейностлми 338 Рш. а.а1. Струнтурние сима нееинеании систем аетаматинмеиии рееуеирамиит Условия отрицательной определенности функции — запишем в вида Ф/ ае р >О и (мЬ++)' 2 ~<О.
(5.139) Лля того чтобы неравенство (5.!39) имело положительное решение се > > О, необходимо и достаточно выполнения неравенства ар > Ьа, которое обеспечивает положительность обоих корней уравнения иеЬе+ и(Ьс — 2мр) + — О. 4 т — „„+и —,„+ и-0; е лев ив — = Р (х,); х, = аф + Š—, + бе — —— ли е (5.140) где Те — инерционноеть объекта регулирования; У вЂ” естественное демпфирование; а, Е, 6ен 1 — цоетоянные рерулятора. Если ввести 1 л, ~ — — ~=~ — 1: еТе Упе т 1 р а; р =*(Š— — ~~г; 1 —; — Р (х,) = Р(хе); ф= 1)е1 т ~ ' У,-' 1У; аф — -~"че 9 — 19. 339 Таким образом, если ар > Ьс, то раиоматриваемая аистема автоматического регулирования абсолютно устойчива.
5.40. Найти условия абсолютной устойчивоати нелинейной системы автоматического регулирования, структурная сяема которой изображена на рис. 5.20, б. При этом функция нел(енейного элемента удовлетворяет следующим условиям: Р'(х) = 0 при ) х,.~ и=, х',; хеР (хе) > 0 при ~ х, ~ > х(, где х1 — некоторое фиксированное неотрицательное число, характеризующее зону нечувствительности регулятора к изменениям х . Для всех ) х, ~ > х( функция Р* (х,) является непрерывной; в точках х, ~хГ допускаетвя разрыв непрерйвности Р' (х,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
