Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Функции, удовлетворяющие этим уаловиям, будем относить к класау разрывных. Решение. Запишем уравнения сиетемы в вледующем виде: то уравнения (5.140) можно привести к безразмерной форме: — -О.; — -Ь П,+У; ач1 Ф~~ ат ' ~и (5.141) а г (хт)~ хт * Р1Ч1 + Рч'Ъ вЂ” У. ив Установившиеся состояния в данной системе определим, решая урав- нения В,-О; ум~, + а~у О; (Р1Ч1 + РФЪ вЂ” у!:- х(. (5.142) Поэтому, еаяи г (х ) ееть такая функция, для которой х) ) О, то получим континуум решений (Х 0 ..~() +5„); 0" (Ц = 21, + Ь„. Уравнение 0 (Х) = 0 имеет корни Х, 0; Х, = — Ь„.
Выбирая чнело( = 1, соатавим строку миноров 0м и по формулам Ф (У,)-Ъ 0ъ (йа) ((В, 3*:~ 1 ° ..., ФИ) строки величин д(ь. Тогда для данной задачи получим 0.„-1 + 5,„0„= -1; Ф,=- - 1, Фз — --Х. Согласно формуле С)о — уп:.— '0 ~(Х,) (й, з 1..., т) (5.144) получим коэффициенты прямого преобразованяя С1*'- — Х,(2,+Ь ); СЗн-Х, я еамо преобразование х~ зав ур хааа Х~т(2+ у.
(5.145) Поскольку первая строка преобразования является вырожденной, то коэффициенты обратного преобразования находим лишь для координаты и,. В результате этого имеем 0ра Р~ (Х~) ( 01 и Ж1 ($~) ! — Ьа (2ха+Ьм1 Х~ ' 340 ~ 11,'1 к: —; — О; у"' О. гт Ичт (5.143) Для поетроения каноничеакого преобразования составим определитель 0 (Х) и его производную: В соответствии с полученными выражениями находим у ° хь (х,' х',). ! 1 ° (5.146) га Дифференцируя х„из уравнений (5.141) получим а., Р|ЧЭ+ Рз(амЧв+пту) — Р(х1).
4т~ Если теперь воепользоваться формулами (5.146) и обозначить Рч . р ~ — ха~.~ хэ ' то окончательно имеем й~, — *Р(х,), — — Ьгхз + Р (х1), 1Ьз (5.147) — ()юх~ + 5зхя — Р (хю). Дх1 — = — (атхз+Р(хД) +х([А+(ЦР(х1)+хзР(х1)~йз+2аг+ — ). (5.150) сУ 2 41 Производную — противоположного знака функции У можно полупу чить, если потребовать выполнения соотношений А+(3 О; 4 (5.151) Уз+ 2а + —, О. Поскольку 5, = — ф( О, то первое выражение в аоотношениях (5.151) всегда может быть удовлетворено; из второго выражения находим , — — 1, УЦ:Ж. Но Х, = — Ье1 — вещественное число; следовательно, а, будет вещественным, если параметры системы удовлетворяют неравенатву ()в ~ ьв. Или, иначе, — ( — ) > — —, (е — —,).
При Х, О функция Ляпунова имеет вид М1 — А (х,)~ -1- — (х~) + ) Р ($) гф, (5.148) о где А — положительное вещественное число; а,— вещественное число; тогда — Ах(Р(х1) — аяз(х~) + ау ' 3 + — Р(х1) + Р(хз)(й1х1+Щ) — (Р(хю))з. т4 (5.149) Добавляя к правой части выражения (5.149) 2Р (х,) а,х1 — 2Р (х,)а,ха, получим После преобразования получим (5.152) Неравенство (5.152) и дает единственное условие абсолютной устойчивости регулируемой системы.
5.41. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования с помощью 2-го метода Ляпунова, если ее уравнения имеют вид аа — = (Зт — 1)х'- (т — 1)у'- (л- 1)г'+(Зл — 1)уг — 2тгх — 2Ьху; — = — у + х+ (х — у + 2г) (у+ г — х); ад — — г+х-(х+2у — г)(у+г-х), а'а где т и л — постоянные параметры систем. 5.42. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования с помощью 2-го метода Ляпунова цри различных значениях параметров и, 6, с, Й, 1, т, л, если уравнения системы имеют вид — = ага+ Ьху+ су~ + — у+ах+ 1ха+ тху+ луа. 5,43. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования в целом с помощью 2-го метода Ляпунова, если ее уравнения имеют вид -~- х+ д+ Р (х); аа — — х+у, где Р(х)=*е "(1+е *) ' при х)1; Р(х) е '(1+е ') ' при х<1. 5.44. Исследовать уетойчивость положения равновесия системы автоматического регулирования с помощью 2-го метода Ляпунова, если уравнение систем имеет внд аа — х+ Хд(х, у, г); — = — у — г+ Х,(х, у, г); Фз аа д — г — х+ Х, (х, у, г).
Указание. Х, — непрерывные функции; их разложения в ряды ие со- держат членов ниже второй степени. 5.45. Исследовать уетойчивость системы автоматического регулирования с помощью 2-го метода Ляпунова, если системы имеют внд ис 0,5х'+ хд+0,1г', да — = — у+ Ха(х, у, г); ля аа — — г+ Ха(х, у, г), где функции Х„Х, — непрерывные функции х, у, г, не содержащие членов ниже второго порядка для соответствующих церемеиных. 542 Указание. Использовать функцию Ляпунова У в виде х+и +Вг, где У н Ф' — соответствующие линейные и квадратичные формы от (у, г). 5.46. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования, если ее структурная схема имеет вид, показанный на рис.
5.20, в, с помощью 2-го метода Ляпунова. 5.4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЭАЦИИ ДЛЯ АНАЛИЭА УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЪ|Х СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ где А=2, 3, .... Для определения устойчивости системы обычно применяют критерии А. В. Михайлова и Михайлова — Найквиста в обычной или логарифмической форме.
С помощью способа структурных преобразований (см. п. 5, гл. 1) приведем нелинейную систему к такому виду, чтобы условие ее устойчивости можно было записать в виде Ь (1в) ° 1 + Ю Цв),l (А) = О, или Е(|а, А) 1+(У(в)+/У(а)) )а(А) + (.(~а, А) = Х (а, А) + )У (а, А). Условия устойчивости нелинейных систем ло А. В. Михайлову (30) можно записать в виде откуда (5.153) при А=А, и а=в,. В нелинейной системе существуют незатухающие колебания, когда выполняется условие (5.153), а годограф Е (~а), проходя через начало координат, удовлетворяют критерию Михайлова.
Последнее условие следует проверять лишь для систем пятого и более высоких порядков, так как для систем'третьего и четвертого порядков оно сводится к требованию положительности всех коэффициентов выражения 1 -1- 1У (з) = О. Условие устойчивости нелинейных систем по Михайлову — Найквисту в обычной форме запишем в виде 1 — — - Ф'()а) Л (А) или в логарифмической форме 2015 Н (а) = 20 1д в(А) — и — 5(в) Р( А ). (5.154) 343 Устойчивость нелинейных систем можно анализировать по методу гармонической линеаризации лишь для таких систем автоматического регулирования, у которых обеспечивается свойство обобшенноео фильтра для линейной, части, т.
е, ( йг ()йв) ~ ((( У'„()в) ~, 5,47. Исследовать устойчивость состояния равновесия следящей системы, структурная схема которой изображена на рис. 5.21, а, если ее параметры В = 1 В; йдйе = 10 с ', Т, = 10 с", Тд = 1 с. Решение. По структурной схеме рнс. 5.21, а запишем уравнение линейной части системы в виде ТдТ,— „, + (Тд+ Те) —, + — = — йдйеид(!). йеи йди йи (5.155) Для нелинейного элемента имеем и, (!) = д (А)и (!), (5.156) где д (А) - -„'-~-. (5.157) Подставляя выражения (5.156) и (5.157) в уравнение (5.!55), получим ТдТе йдз- + (Тд+ 7 е) е + и — „„° (5.158) аеи аи 4йдйааи (д) Применяя к уравнению (5.158) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, запишем (Т,Т,У + (Т, + Те) з'+ з + — ~л — ~ У (з) О.
(5.159) Из уравнений (5.159) найдем характеристическое уравнение Е. (з, А) Т,Т,У + (Тд+ Те) У+ з+ д '- = О. (5.160) Возможность существования периодического решения уравнения проана. лизируем с помощью критерия устойчивости Михайлова. Для этого в уравнение (5.160) подставим з = )од; тогда найдем Ь ()од, А) = — '' — (Т + Т,) оде + !ад (1 — Т Туда) = О, (5.161) откуда Х(е, А)= д ' — (Тд+Те)аде=О, )'(од, А) = 1 — ТдТесае О. (5.162) 344 Рис.
З.зд Сднрунодурнем схема сисамм аеодомааиднесиоео рееулироеаниа с одноименной нели нейносаве Из системы уравнений (5.162) определим параметры периодического движения: частоту — = ~/ — = 0 314с в г' тт,— У)0— и амплитуду 4адавВ 4 )О и (т, + т,),, — з,)4.)!.о ! — 11»6 В Для исследования устойчивости найденного периодического решения будем использовать формулу (5.153), т. е. ( аА ) = — — в, ( — ) = — 2 (Тв+ Тв) ива! а ( — „„) =-ЗТвТм;! ( — ) =0 ( аХ )а( Л ) ( аХ ). ( а ) )2ававитвты'а Ш )О.Ю.О,! Коэффициенты характеристического уравнения третьей степени положительны и условие (5.153) удовлетворяется; следовательно, найденное периодическое решение является устойчивым. 5.48.
Исследовать устойчивость состояния равновесия в одноконтурной системе автоматического регулирования (см. рис. 5.21, б) и определить па. раметры периодических решений, если Т, 1О с; Т, = 0,1 с; В = 25 В; С = 0,0! В; йвй, = 0,01 с '. Решение. Подставляя в уравнение (5.155) вместо и, (1) выражение ив(1) ° — „4 у 1 1, при А~Св 4Ви(!) .в Г Св получим Из выражения (5.163) найдем характеристическое уравнение Е(з, А) = ТвТвУ+(Та+ Та)за+ з+ — ь — ~/1 — —,= О. (5.164) Анализ устойчивости системы автоматического регулирования выполним тремя способами. Первый способ.
Подставим в уравнение (5.164) з = /вв; тогда получим Х(в, А) — '' 1 — -йв — (Т + Т,)иР: (5.165) У(ав, А) = 1 — ТвТ,ав, откуда 1 в 4а ав — Г Св Тв + Тв 1 в илв Ав твтв а или после подстановки числовых значений 4 0,0! 20 Г 0,0)в 1 — — Ав Решая это уравнение, получим А; = 3.10 ' рад и А; = 1,07.10 ' рад. Исследуем, какие же из двух решений соответствуют устойчивым периодическим колебаниям. Для этого из выражений (5.165) определим дХ ' 4йаа~В 2С вЂ” Аа м'4а ~Г А — Св ( ВУ ) = 1 ЗТ1тввь! ( — ) = — 2(Т, + Тв)е!и! — ) -О.
Пользуясь условием устойчивости (5.153), найдем 4Ь1ввВ (2СС Аа) в (! — ЗТ!Тъиа) )О. (5.166) иАа )/ Аа Са а Подставляя в последнее выражение значения А; = 3 ° 10 ' рад или А," = 1,07 10 ' рад, соответственно имеем (2 10 а — 9.10 а) (1 — 3) 3,14 27 10"а У 9 !О"а — 10 а >О (2 1О"а — 1,!4 10 а) (1 — 3) 3,4 1,2~ ° 10 $ 1,~4Ю вЂ” а <О! отсюда следует, что лишь при А,' = 3 !О ' рад возможны устойчивые периодические решения (автоколебаиия). Амплитуда автоколебаний иа выходе будет Аа 3. 10-в Ав = а о 3 Рад = ДЬ, ОО) Второй способ. Уравнение (5.163) перепишем в виде ата ДДЬВ атв ЬЬВ ~ ~Я Т' 1,4а (5 !67 или после применения преобразования Лапласа — — и — — 1 — а — — и = — у 1 — —,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
