2019 лекции 1-7 (1247448), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Здесь 1dW (r , p)  exp( mgz / kT ) Sdz exp(  p 2 / 2mkT)dp ,Zи статистическая сумма равнаhmghkTZ   exp(  p / 2mkT )dp  exp( mgz / kT ) Sdz  (2 mkT ) S(1  e kT ).mg0322Для средней энергии:5mghE  kT  mgh .2e kT  1При высоких температурах, когда mgh/kT << 1, имеемE3kT , что опять2воспроизводит известный нам результат. Газ в этом случае равномерно распределен пообъему сосуда и потенциальная энергия значения не имеет.

При низких температурах5параметр показатель экспоненты mgh/kT >> 1 и тогда E  kT . Дополнительное2слагаемое kT появляется из-за потенциальной энергии молекул в поле силы тяжести,которое теперь оказывает существенное влияние на распределение молекул по объемусосуда (см. рис. 3.2).38Глава 5. Равнораспределение энергии по степеням свободы5.1. Степени свободы молекулы, движение центра массСтепенями свободы механической системы называется совокупность независимыхкоординат перемещений, описывающих движение системы.

Например, движениеодноатомной молекулы происходит независимо вдоль трех координатных осей – говорят,что такое движение характеризуется тремя поступательными степенями свободы. Если вмолекуле атомов два или больше, появляется возможность вращений и колебаний. Длямолекулы из N атомов имеется всего 3N степеней свободы, из них 3 поступательных, 3вращательных (2 для линейной молекулы), 3N – 6 колебательных (3N – 5 для линейноймолекулы).Ранее мы установили, что на каждую поступательную степень свободы в среднемприходится одинаковая энергия kТ/2 – см.

(1.30). Возникает вопрос, каковы равновесныезначения энергий движений для других степеней свободы.Для многоатомных молекул важным является рассмотрение движения центра масс.Напомним, что центром масс системы точечных тел с массами mi и находящимися вточках пространства с радиус-векторами ri называется векторR   mi ri .iДля второй производной по времени для этого вектора имеемd 2 rid2R  mi 2   Fi ,dt 2dtiiгде Fi – действующая на данную массу сила.

Отсюда следует, что если на системувнешние силы не действуют (все силы Fi только внутренние), то тогда вектор скоростицентра масс V является постоянной величиной.Рассмотрим газ из двухатомных молекул a…b. Выделим произвольную молекулу.Скорость движения ее центра масс:m v  mb vbV a a.ma  mbИли, в покомпонентной записиVx ( y , z ) ma vax ( y , z )  mb vbx ( y , z )ma  mbДля среднего значения квадрата этих компонент:2x( y,z )Vma2 vax2 ( y , z )  2ma mb vax ( y , z ) vbx ( y , z )  mb2 vbx2 (y,z)(ma  mb )2(5.1)39Снова, как и в 1.3, рассмотрим газ, помещенный в сосуд с подвижным поршнем – см.рис. 5.1.

Поршень может без трения перемещаться вдоль оси х. Соударения молекулпроисходят на очень малом временном масштабе (порядка 10-15 с), что намного меньше,чем характерные времена движения атомов в молекуле друг относительно друга (порядка10-13 с). Из этого факта, а также из геометрических соображений вероятность того, что обаатома данной молекулы одновременно сталкиваются с другой молекулой, можно считатьмалой. Поэтому будем считать, что при упругом отражении от массивного поршняпроекция скорости vax столкнувшегося атома а изменяет знак, проекция же скорости vbxдля атома b сразу после столкновения остается неизменной. Если рассматривать моментывремени непосредственно до и сразу после столкновения, то тогда при усреднении в этоминтервале времен получим, что vax (y, z )vbx ( y , z )  0 .zbxaРис.

5.1. Сосуд с подвижным поршнем,некая двухатомная молекула в газе,лабораторная система координатyДля каждого же из атомов по отдельности усреднение должно привести, так же как и вп. 1.3 для газа одноатомных молекул к результату:113ma va2  mb vb2  kT .222С учетом этого из (5.1) тогда получаем, чтоVx2 ma kT  mb kTkT2(ma  mb )ma  mbВажно теперь отметить, что, так как скорость движения центра масс междустолкновениями не изменяется, данный результат будет справедлив и для всех остальныхмоментов времени (не только до и сразу после столкновения).Так как ось х ничем не выделена (можно в сосуд поместить поршень, двигающийсявдоль осей у или z), то аналогичный результат будет иметь место и для Vy2 и Vz2 . Тогда витоге получим, что40222(ma  mb )V 2 (ma  mb )(Vx  Vy  Vz ) 3 kT .222(5.2)То есть движение центра масс молекулы происходит таким образом, как будто этопоступательное движение единой молекулы массы ma  mb .5.2.

Равнораспределение энергииТеперь будем рассматривать некую одну молекул, и для нее будем использоватьмгновенную систему координат, связанную с ее центром масс молекулы и с осью z,направленной вдоль оси молекулы – как это показано на рис. 5.2. В системе центра массполученные в результате столкновения импульсы у двух атомов одинаковы по величине ипротивоположно направлены. Выделим движение двух атоов вдоль оси х используемойсистемы координат, что означает вращение молекулы относительно оси y этой системы(система координат выбрана только для одного момента времени).xubxbazyРис. 5.2. Некоторая выбранная молекула исвязанная с ней «мгновенная» системакоординат с центром в центре масс.uaxВ системе центра масс скорости двух атомов в молекуле естьua  va  V  mb(va  vb ),ma  mbmaub  vb  V (va  vb ).ma  mb(5.3)Отметим, что суммарный импульс в системе центра масс maua  mbub  0 .Теперь в первом из уравнений (5.3), взятом только для проекции всех векторов на осьx, возведем обе части в квадрат и усредненим по всем молекулам.

Так как в лабораторнойсистемекоординатсразупослестолкновенияиз(1.30)следует,чтоma vax2 mb vbx2 1 kT , а усреднение vax vbx , так же, как это было отмечено выше для222лабораторной системы координат, даст нуль, то процедура усреднения будет выглядетьследующим образом:41uax2 mb2 (vax2  2vax vbx  vbx2 ) mb2 (kT / ma  kT / mb )mbkT .22(ma  mb )(ma  mb )ma (ma  mb )(5.4)Путем такого же рассмотрения затем получим, что2ubxmakT.mb (ma  mb )Отсюда и из (5.4) тогда следуетma uax2 mb ubx2 1 kT .222(5.5)Это выражение есть средняя кинетическая энергия вращения вокруг оси у, она оказаласьравной1kT .2Вращение вокруг оси x должно дать такой же результат.

Таким образом, на каждуювращательную степень свободы так же, как и в случае поступательного движения,приходится средняя энергия1kT .2Колебания двухатомной молекулы в системе центра масс происходят вдоль оси z.Скорость атома а в системе центра масс в некоторый момент времени есть uaz. Здесь такжеможно применять формулу вида (5.4), в которой индекс х надо только заменить на z. Витоге получим аналогичное (5.5) соотношениеma uaz2 mb ubz2 1 kT .222Стоящая слева сумма есть не что иное, как кинетическая энергия колеблющейсямолекулы. То есть для кинетической энергии колебаний вдоль оси молекулы такжеполучается1kT .

Однако столько же должен составить вклад средней потенциальной2энергии колебаний – при колебаниях кинетическая и потенциальная энергии постоянномежду собой обмениваются, средние их значения равны друг другу.Данный умозрительный эксперимент с упруго отражающим поршнем позволяетполучить правильный результат для средних значений энергии для степеней свободымолекулы. При этом, если газ изначально находился в неравновесном состоянии(например, после быстрого объемного повышения температуры микроволновымнагревом), для установления равновесия в таком эксперименте достаточно, чтобы каждаямолекула испытала всего одно-два столкновения с массивным поршнем.

В реальнойситуации, когда столкновения происходят главным образом между самими молекулами(столкновения со стенками для неразреженных газов происходят относительно редко),оказывается, что для установления равновесия по вращательным степеням свободынеобходимы десятки таких столкновений. И значительно больше требуется столкновенийдля установления равновесия по степеням колебательного движения молекул.42Среднюю энергию, приходящуюся на внутренние степени свободы в равновесномсостоянии, можно получить также методом статсумм. Этот метод позволяет получатьрезультаты также и для многоатомных молекул.5.3.

Равнораспределение из метода статсуммДля описания вращений и колебаний многоатомных молекул необходимоиспользование таких координат, для которых имеет место независимость разныхдвижений друг от друга. Это так называемые обобщенные координаты и импульсы,которые вводятся в курсе аналитической механики. Для каждого из этих движенийстатсумму можно рассматривать отдельно, полной же статсуммой будет их произведениедля разных движений.Энергию вращения вокруг оси у можно представить через импульс рx = mauax = -mbubxатома а или b:22mauaxmbubxpx2Erot ,222где   mamb /(ma  mb ) есть приведенная масса.

Характеристики

Список файлов лекций