2019 лекции 1-7 (1247448), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Одновременно можно было видеть только частицы в слоеглубиной порядка микрона. Фокусируя микроскоп на разные глубины, можно былососчитать число видимых частиц в разных слоях и определить отношение концентрацийэтих частиц. Разность высот измерялась микрометрическим винтом микроскопа.Найденное Перреном распределение по высотам хорошо согласовывалось с формулой(3.5)mgzn( z )  n(0) exp( ),kTв которой роль массы m играла масса частицы, которая была определена исходя изразмера частицы и ее плотности. Из составления концентраций на разных высотах былатаким образом найдена константа Больцмана k.

и, соответственно, константа Авогадро NA.32Зная же константу Авогадро и молекулярный вес в граммах, можно определить и массумолекул. Таким образом было проведено впервые «взвешивание» молекулы.В заключие отметим, что выбор подходящих частиц зажат в очень узких пределах.Очень большие частицы использовать нельзя, так как характерная высота вБольцмановсом распределении h0 = kT/mg может оказаться настолько малой, чтонаблюдать изменения плотности частиц с высотой не удастся. Здесь существуетестественное ограничение h0 >> d, где d – размер частицы.

Это условие означает, чтовизуально можно наблюдать, что частица «летает» как молекула. В противном случае онапребывает на дне сосуда, как обычное макроскопическое тело. Для сферической частицыдиаметра d ее масса m  d 3 , где  – плотность. Будем считать, что как минимум6h0  10d . Тогда получаем, чтоkTh0  10d( / 6) d 3 gилиkTd   (5 / 3) g 14 5 ∙10-5 см (0.5 микрона).(для Т = 300 К и  = 1 г/см3).

Плотность  можно эффективно уменьшить, еслииспользовать взвешенные в жидкости частицы. Из-за выталкивающей силы вместо  тогданадо использовать разность  – 0, где 0 – плотность растворителя. Тогда указаннуюоценку максимальной величины d можно повысить до ~ 1 микрона.Таким образом, частицы размером более 1 микрона будут уже слишком большие.Минимальный же размер доступных для исследования частиц определяется физическимразрешением оптического микроскопа – полупериодом волны видимого света. А этодиапазон длин волн 0,2—0,7 микрон. Близость данных оценок максимальной иминимальной величин d является счастливой случайностью.33Глава 4.

Распределение Максвелла-Больцмана, равнораспределение энергии постепеням свободы4.1. Вывод распределения Максвелла из распределения БольцманаВыше, в п. 3.3, мы вывели распределение Больцмана из распределения Максвелла.Теперь поступим наоборот – из распределения Больцмана выведем распределениеМаксвелла. Схема расчета будет при этом точно такая же, что и в п. 3.3 (см. там рис.

3.3).Обозначим пока неизвестную функцию распределения по скоростям движений vzвдоль оси z как f (vz ) . Как и прежде, произведение f (vz )dvz  dW (vz ) означает долюмолекул, имеющих скорость от vz до vz  dvz . Интеграл от этой функцииf (vz )dvz  1(условие нормировки).Обозначим опять за u минимальную скорость, с которой молекулы могут достичьmu 2 mgh . Поток таких молекул через плоскостьвысоты h, она определяется из условия2z = 0 вверхJ (0)vz u  n(0)  vz f (vz )dvz ,uпричем поток через плоскость z = h вверх J (h)vz 0  J (0)vz u .

Поток же через этуплоскость вниз есть00J (h)vz 0  n(h)  vz f (vz )dvz  n(h)  vz f (vz )dvz(про f (vz ) известно также, что эта функция четная). Из условия равенства полногопотока нулю, J (h)vz 0  J (h)vz 0  0 , получаем:n(h)  n(0)vzf (vz )dvzuv(4.1)zf (vz )dvz0С другой стороны, из распределения Больцмана для отношения плотностей на высотахz = 0 и z = h имеемn(h)  n(0) exp(mghmu 2)  n(0) exp().kT2kT(4.2)Сравнивая с предыдущим равенством, получаем34mu 2vf(v)dvexp() vz f (vz )dvzu z z z2kT 0Дифференцируя обе части этого уравнения по u и сокращая сомножители слева и справа,получаемf (u ) mmu 2exp() vz f (vz )dvz ,kT2kT 0(4.3)что имеет вид функциональной зависимости, совпадающий с (1.32) для распределенияМаксвелла.Для определения неизвестного пока множителяvzf (vz )dvz проинтегрируем обе0части последнего равенства по переменной u от 0 до ∞.

Слева из условия нормировки ичетности функции получится ½. В правой части возникнет известный нам интегралЭйлера-Пуассона (точнее, ½ его значения). В результате имеемvzf (vz )dvz 0kT.2 mОтсюда вместо (4.3) имеемf (u ) mmu 2exp().2 kT2kTИли, записывая это для вероятности иметь скорость в интервале от vz до vz + d vz :dW (vz )  f (vz )dvz mv 2mexp( z )dvz ,2 kT2kT(4.4)что совпадает с полученным ранее из других соображений распределением Максвелла(1.32).Полезно убедиться в том, что полученная функция распределения f (vz )dvz поскоростям движения на высоте h действительно трансформируется в подобную себе.Будем исходить из того, что из закона сохранения энергии между скоростями молекул v zпри z = 0 и vz при z = h существует связь вида vz2  vz 2  u 2 .

Поток молекул dJ (vz ) z 0, v 0 ,zпроходящий со скоростью v z через горизонтальную площадку при z = 0, равныйdJ (vz ) z 0, v 0  n(0)vz f (vz )dvz z1mmv 2n(0)exp(  z )dvz2 ,22kT2kTна высоте h трансформируется в35mu 21mmv21mmv2exp(  z ) exp( )dvz2  n(h)exp(  z )dvz2dJ (vz ) z 0, v u = n(0)z22kT2kT2kT22kT2kT dJ (vz ) z h, v 0 ,zгде vz меняется от 0 до ∞. Последнее выражение есть не что иное, как поток на высоте h.Отсюда можно заключить, что распределение по скоростям движения имеет одинаковыйвид для разных высот.

То есть распределения молекул по координатам и скоростям независят друг от друга.Данный вывод выглядит несколько искусственным – нам потребовалось наличие полясил тяжести. Очевидно, что распределение скоростей существует и без него. Но здесьважно отметить, что ускорение g в окончательный ответ не входит. Это означает, чтоналичие силового поля, вообще говоря, непринципиально – например, оно может бытьсколь угодно слабым.

Этот факт позволяет утверждать, что и вдоль перпендикулярных коси z осей x и у распределение скоростей молекул будет аналогичным.4.2. Распределение Максвелла – БольцманаВыше мы уже использовали, что распределения молекул по координатам и скоростямне зависят друг от друга. Этот принцип, вообще говоря, является следствием того, что привыводе распределения Максвелла в гл. 1 мы использовали лишь представления омолекулярном хаосе, который устанавливается в результате столкновений молекул, аналичие внешних силовых полей на этот процесс не влияет. Поэтому вероятность dW (r , v ) того, что молекула находится в данном положении впространстве r и одновременно имеет данную скорость v , определяется умножениемвероятностей, определяемых соответственно распределениями Больцмана и Максвелла.Обозначим первую вероятность как dWB (r ) , вторую как dWM (v ) , тогда 1U (r )  1mv2 dW (r , v )  dWB (r )dWM (v ) exp( )d rexp( )d v .ZBkTZM2kTЭто распределение называется распределением Максвелла-Больцмана.

Встатистической физике принято записывать его не для пространства скоростей, а дляp2 U (r ) .2mТогда записанное через импульсы распределение Максвелла-Больцмана будет иметь видпространства импульсов, p  mv . Введем полную энергию молекулы E  1E  dW (r , p)  exp(  )d r d p,ZkT(4.5)где Z  m Z B Z M , и3Z   exp( U ( r ) / kT )d r  exp(  p 2 / 2mkT )d p.36Распределением (4.6) полностью определяется вероятность данного состояниямолекулы, т. е.

вероятность ее положения в шестимерном пространстве координат искоростей.Если речь идет о двух- и многоатомных молекулах, то необходимы распределения,которые учитывали бы наличие также вращений и колебаний молекулы. Как будетпоказано в курсе статистической физики, более общее распределение, применимое и кдругим движениям молекулярной системы, имеет такой же, как и (4.6) вид:dW  1 / Z exp(E / kT )d,(4.6)где d есть т.н. элемент фазового пространства обобщенных координат и импульсов,которые вводятся в аналитической механике.

(Ниже будут рассмотрены примеры такихкоординат). В частном случае одноатомной молекулы, когда имеются толькопоступательные степени свободыd  dxdydzdpx dp y dpz .Статсумма Z находится, как обычно, из условия, что полная вероятность равна dW 1,откуда следуетZ   exp(E / kT )d .(4.7)4.3. Нахождение средней энергии с помощью статсуммыСредняя энергия системы определяется выражениемE11Eexp(E/kT)dE exp(   E )d ZZЗдесь для удобства дальнейших вычислений введен параметр β ≡ 1 / kT .

Придифференцировании по этому параметру это выражение для средней энергии можнопреобразуется следующим образом:E1 1 Z ln Z2  ln Z.exp(E)dГkTZ  Z T(4.8)(Частные производные потому, что постоянными остаются неявно фигурирующие в этомрассмотрении объем V и полное число частиц N).

Таким образом, зная зависимостьстатсуммы Z от температуры, можно найти среднюю энергию.В качестве простого примера приведем расчет средней кинетической энергиимолекулы.ЗдесьдостаточновоспользоватьсяраспределениемМаксвелла.37(Потенциальную энергию принимаем везде равной нулю). Записанное в пространствеимпульсов, оно имеет вид31  2p2 dW ( p )  exp  d p2mkT2mkTТо есть3Z M  (2 kTm) 2 .По формуле (4.8) тогда находим3E  kT ,2что совпадает с известным нам результатом.В качестве еще одного примера рассмотрим энергию одноатомного газа в сосудевысотой h, находящемся в поле тяжести.

Характеристики

Список файлов лекций