2019 лекции 1-7 (1247448), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

1.4) и находится всостоянии постоянного движения из-за столкновений с молекулами. Из-за того, что он неспособен перемещаться в других направлениях, задача о его столкновениях с молекуламистановится одномерной и к ней применимы полученные выше формулы.Рис. 1.4Массу молекулы газа обозначим через m, массу поршня – через М, скорость вдольнаправления х некоторой выбранной молекулы обозначим через vx, скорость поршня –через V.

Скорости после соударения с некоторой выбранной молекулой, как и впредыдущем случае, будем обозначать соответствующими величинами со штрихами. В(1.25) заменим m1 на m, m2 на M, v1 на vx, v2 на V. Возведем обе части второго из уравнений(1.25) в квадрат и, перенеся знаменатель правой части в числитель левой, получим:(m  M ) V   4m vx  4m(M  m)vxV  (M  m) V .222 22 2(1.11)Усредним обе части равенства (1.11) по всем молекулам в системе.

Существенно, чтов условиях равновесия средние значения квадрата скорости поршня до соударения и последолжны быть одинаковы, V 2  V 2. Действительно, моменты времени до соударения снекоторой конкретной молекулой и после него ничем не выделены. Далее, так какдвижение поршня и движение налетающей на него молекулы не коррелируют междусобой, то среднее значение произведения vxV распадается на произведение среднихзначений, т.е. vxV  vx V . В равновесии средняя скорость поршня V равна нулю. С учетомвсего этого из (1.11) получаем:(m  M ) V  4m vx  (M  m) V .222 222Сокращая подобные члены, отсюда сразу получаем, что MV 2  mvx2.Этот результат означает равенство средней кинетической энергии поршня и частисредней кинетической энергии молекулы для ее движения вдоль оси х:712 12 1 mvM V  mvx 223 22(1.12)(с учетом здесь теоремы Пифагора v 2  vx2  v y2  vz2 ).Пусть теперь поршень разделяет смесь двух газов слева и справа, массы молекулодного и другого газа m1 и m2.

Для этой системы справедливы все проведенные вышерассуждения, но сделанные для каждого из типов молекул по отдельности. Тогда12m1v1  32MV2212 m2 v2 .2(1.13)Таким образом, средние энергии молекул обоих типов равны между собой.Пусть теперь слева и справа у нас разные газы. Для левой и правой частей сосудов поотдельности все проведенные выше рассуждения остаются опять справедливыми, иравенство (1.13) здесь также будет иметь место.Таким образом, макроскопическое тело, помещенное в среду с газом, ведет себя какодна гиганская «молекула». Причем в рассмотренной задаче использовались толькозаконы механики об упругом соударении тел и представления о молекулярном хаосе.

Оботсутствии взаимодействия между молекулами нигде не говорилось, то есть данный газ необязательно должна быть идеальным. Поэтому такое поведение макроскопических телдолжно иметь место и для среды из реальных газов, в том числе и достаточно плотных.Более того, такое поведение должно иметь место и для жидкой среды. Именно такимповедением гиганских «молекул» должны обладать взвешенные в газах и жидкостяхчастицы. О них пойдет речь в разделах, посвященных броуновскому движению.Здесь же важно отметить, что при контакте двух разных сред средние кинетическиеэнергии молекул оказываются одинаковыми. Из опыта известно, что при контакте телвыравнивается их температура. Поэтому введем температуру Т следующим образом:3mv 2kT ,22(1.14)где k = 1,38∙10−16 эрг/К – постоянная Больцмана. Температура измеряется в кельвинах(сокращенно К), а численное значение k выбрано таким, чтобы разница температурзамерзания и кипения воды равнялась 100 К.

Связанная с уравнением (1.14) шкалатемператур называется шкалой Кельвина. В известной шкале Цельсия температураизмеряется в градусах (сокращенно оС), связь между двумя шкалами даетсясоотношениемK  C  273,15.Полный нуль температуры в шкале Кельвина соответствует полному вымораживаниюдвижений.81.4. Распределение МаксвеллаПо аналогии с (1.3) напишем:dW (vx )  f (vx )dvx ,dW (v y )  f (v y )dvy ,(1.15)dW (vz )  f (vz )dvz.Здесь f(vх), f(vy) и f(vz) – соответствующие функции распределения. В силу хаотичностимолекулярного движения каждая из этих функций зависит только от «своей» компонентыскорости и не зависит от других. Кроме того, вид этих функций один и тот же независимоот выбора аргумента vx, vy или vz. Именно поэтому для функциональной зависимости отпроекций скоростей в (1.15) используется одно и то же обозначение f.

Причем f (v )dv  f (v )dv  f (v )dvxxyyzz 1.(1.16)Вероятность dW( v ) иметь определенное значение вектора скорости v , в декартовыхкоординатах пространства скоростей пропорциональна величине элемента объема d v =dvxdvydvz и функции распределения g( v ): dW( v ) = g( v ) d v .(1.17)Условие нормировки: dW (v )   g (v )d v  1(1.18)Из равновероятности направлений движения следует, что функция распределениядолжна быть функцией лишь абсолютного значения скорости:g( v )  g(v).(1.19)Движение относительно разных направлений системы координат в силу принципамолекулярного хаоса происходят независимо.

Тогда в соответствии с принципомумножения вероятностей для независимых событий имеем:dW( v ) = dW(vx)dW(vy)dW(vz).(1.20)Для f(vх), f(vy) и f(vz) тогда получается соотношениеg(v) = f(vх)∙f(vy)∙f(vz).(1.21)Возьмем логарифмы от обеих частей этого равенства и продифференцируем обе частиполученного нового равенства по vх. Функция g (v ) зависит только от одной переменной9v, которая, согласно теореме Пифагора в пространстве скоростей, v  vx2  v y2  vz2 ,зависит уже от трех переменных vx , vy , vz. То есть g (v )  g (v(vx , v y , vz )) являетсясложной функцией этих трех переменных.

По правилу дифференцирования сложныхфункций тогда имеемd ln( g (v )) v d ln( f (v x )).dvvxdv x(1.22)Далее, так как2v xvv 1 x,vx 2 v x2  v 2y  vz2vуравнение (1.22) может быть представлено в виде1 d ln( g (v )) 1 d ln( f (v x ))vdvvxdvx.Илиd ln g (v) d ln f (vx )dv 2dvx2Аналогичные выкладки приводят к аналогичным выражениям и для проекций vy и vz.Тогда получаем группу равенств:d ln f (vx ) d ln f (v y ) d ln f (vz ) d ln g (v)dvx2dv y2dvz2dv 2(1.23)Так как vx, vy, и vz меняются друг от друга совершенно независимо, равенство (1.23)может иметь место, только если все его члены равны некоторой одинаковой для всехконстанте, т.е.d ln f (v x ( y ,z ) )dv x2( y ,z )d ln g (v ) const .

Как сейчас станет понятно, этуdv 2константу удобно взять отрицательной. Обозначим ееприводит тогда к результатам:g (v ) 1exp( v 2 );Zf (v x ( y , z ) ) . Интегрирование (1.23)1exp( vx2( y , z ) ) ,Z0(1.24)где Z и Z0  постоянные интегрирования. Так как функции распределения должны сростом аргумента убывать, то отсюда видно, что  > 0.10Причем между Z и Z0 согласно соотношению (1.21) существует простая связьZ = Z03.(1.25)Постоянная Z0 может быть найдена, если воспользоваться условием нормировки(1.16):Z0  dvx( y,z )exp( vx2( y , z ) ) (1.26)Это так называемый интеграл Эйлера-Пуассона (или Гауссов интеграл).

Он вычисляется вприложении к настоящей главе. Окончательноexp(  vx2( y ,z ) )dvx ( y ,z )dW (vx ( y ,z ) )  f (vx ( y ,z ) )dvx ( y ,z ) (1.27)3  2dW (v )  g (v )d v    exp(  v 2 )d v (1.28)Отметим, что из (1.27) следует для среднеквадратичной скорости vx:v   v dW (vx ) 012x2xv2xexp( vx2 )dvx d  d 1exp( vx2 )dvx   . d  d  2(1.29)Далее, из (1.12) и (1.14) имеем:111kTmvx2  mv2y  mvz2  .2222(1.30)Сравнивая это выражение с ранее полученным выражением (1.19) для α, получаем:m2kT(1.31).Запишем теперь формулы для распределений (1.27) и (1.28) с учетом полученногозначения α. Для скоростей вдоль одной из координат2dW (vx ( y ,z ) )  f (vx ( y ,z ) )dvx ( y ,z )mvmexp(  x ( y ,z ) )dvx ( y ,z )2 kT2kT(1.32)Для вектора скорости:113mv 2 m 2dW (v )  g (v )d v  )d v , exp( 2kT 2 kT (1.33)Напомним, что в сферической системе координат элемент объема в прстранствескоростей dv  v dv sin  d d .

Если направление движения нас не интересует, по2углам здесь можно проинтегрировать. Тогда получаем функцию распределения повеличине абсолютного значения скорости:3 mv 2  2 m  2v dv . exp  dW (v )  4  2 kT  2kT (1.34)Распределения (1.32)(1.34) называются распределениями Максвелла. Онисхематически изображены для разных температур на рис. 1.5. При повышениитемпературы доля быстрых молекул возрастает.

В соответствии с условиями нормировки(1.7а,б) площадь под кривой остается постоянной и равной единице.Заметим, что распределение (1.33) разбивается на произведение распределения помодулю скорости dW (v) и по направлениям движения (1.5):sin dd.dW (v )  dW (v)dW ( , )  dW (v)4(1.35)1.5. Средняя, среднеквадратичная и наиболее вероятная скорости молекулИз (1.34) можно выделить функцию (v)  dW (v) / dv  4 g (v)v 2   (v) .Этафункция (см.

рис. 1.5б) имеет максимум. Положение максимума находится из условияd ( v ) 0 , откуда определяется наиболее вероятная скорость vm:dvvm 2kTmРис. 1.512С помощью распределения Максвелла можно найти средние значения разныхвеличин. Проведем расчет средней скорости молекул (для краткости опять воспользуемсяпараметром α = m/2kT). v   vdW (v )  4   013/ 2  320 v exp(v )dv   4      4   3/ 23/ 2dv exp( v 2 )dv d 0d 128kT. (1.36)d 2mТак как vx2  v2y  vz2  v2 / 3, то среднеквадратичная скорость с учетом результата (1.30)естьv 23kTm.(1.37)Эти результаты соберем в таблице:Наиболее вероятная скоростьvm2kTmСредняя скоростьv8kTmСреднеквадратичная скоростьv23kTmВсе эти скорости одного порядка и отличаются только близким к единицекоэффициентом.

Также они близки по порядку значений к скорости звука в газе (о нейречь пойдет дальше). Для кислорода при комнатной температуре v  4.4 104 см/c (скоростьзвука в кислороде 3.16 104 см/c).1.6. Приложение. Интеграл Эйлера-ПуассонаИнтегралом Эйлера-Пуассона называется определенный интеграл видаI ( )  exp( x )dx2Он рассчитывается с помощью следующего приема. Рассмотрим произведение двуходинаковых таких интегралов:[ I ( )]2 22 exp( x )dx  exp( y )dyПерепишем это произведение в виде двойного интеграла:[ I ( )]2   exp( x 2   y 2 )dxdy13С помощью замены переменныхx  r cos r  r sin этот двойной интеграл приводится к виду, который позволяет сразу получить ответ:[ I ( )]2 2002 d  exp( r )rdr  212Таким образом, интеграл Эйлера-Пуассона равенI ( ) 14Глава 2.

Характеристики

Список файлов лекций