2019 лекции 1-7 (1247448)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Часть I. Идеальный газГлава 1. Идеальный газ и функции распределения по скоростям. Молекулярнокинетическая теория, понятие идеального газа (2). Пространство скоростей, функциираспределения, средние значения (2). Температура и кинетическая энергия (5).Распределение Максвелла (9). Средняя, среднеквадратичная и наиболее вероятнаяскорости молекул (12). Приложение: Интеграл Эйлера-Пуассона (13).Глава 2. Молекулярные потоки, давление и уравнение состояния. Молекулярныепотоки (пучки) (15). Давление идеального газа (17).

Уравнение состояния идеального газа(20).Глава 3. Распределение Больцмана. Барометрическая формула (22). РаспределениеБольцмана (23). Вывод распределения Больцмана из распределения Максвелла (25).Центрифугирование, разделение изотопов (27). Диэлектрическая поляризация (28). ОпытыПеррена по определению константы Авогадро (31).Глава 4. Распределение Максвелла-Больцмана.

Вывод распределения Максвелла израспределения Больцмана (34). Распределение Максвелла–Больцмана (36). Нахождениесредней энергии с помощью статсуммы (37).Глава 5. Равнораспределение энергии по степеням свободы. Степени свободымолекулы, движение центра масс (39). Равнораспределение энергии (41). Равнораспределение изметода статсумм (43). Теплоемкость, вымораживание степеней свободы (44).Глава 6. Столкновения молекул. Относительное движение (47). Частотастолкновений, длина свободного пробега, эффективное сечение (48). Распределение подлинам пробега (50).Глава 7. Химические реакции в газе. Столкновения и химические реакции (53).Константа скорости, энергия активации, стерический фактор, закон действующих масс(53).

Активированный коплекс (55). Химическая кинетика (57).1Глава 1. Идеальный газ и функции распределения по скоростям1.1.Молекулярно-кинетическая теория, понятие идеального газаВ настоящее время считается установленным, что газ состоит из молекул,находящихся в состоянии непрерывного хаотического движения. Все молекулы одного итого же вещества абсолютно тождественны. Хаотичность движения движения возникаетиз-за столкновений молекул газа между собой и со стенками сосуда, в котором газзаключен.

Все столкновения являются абсолютно упругими. Все направления движениямолекул в отсутствие внешнего поля (или при его малости) равновероятны. Количествомолекул газа очень велико, что позволяет применять для его описания вероятностностатистический подход. При этом однако взаимодействия между молекулами между ихстолкновениями являются слабыми по сравнению с кинетической энергией их движения.Изложенные положения являтся основой возникшей в середине XIX века так называемоймолекулярно-кинетической теории (или кинетической теории газа).Идеальный газ – теоретическая модель газа, в которой полностью пренебрегаетсявзаимодействием между молекулами в газе, за исключением кратких моментовстолкновений.

Молекулы идеального газа между столкновениями находятся в состоянииравномерного и прямолинейного движения. Общий объем молекул пренебрежимо мал посравнению с объемом сосуда – или, другими словами, среднее расстояние междумолекулами намного больше размера молекул. Хорошим приближением к моделиидеального газа является разреженный в достаточной степени любой реальный газ.Плотность газа – это число молекул в единице объема.

Пусть полное количествомолекул в сосуде объема V пусть будет N; тогда плотность естьnN.V(1.1)Единицей измерения n является 1/см3 (в СГС). Наряду с (1.1) вводится еще плотность ввиде массы газа в единице объема:(1.2)  nm ,где m – масса молекулы. Эта величина измеряется в г/см3.Количество молекул в макроскопическом объеме газа огромное (n порядка 3∙1019 см-3при обычных условиях). В отсутствие внешних сил плотность газа является одинаковойдля всех точек пространства внутри исследуемого сосуда.1.2. Пространство скоростей, функции распределения, средние значенияЛабораторная декартовая система координат в пространстве определяется тремяосями – х, у, и z.

Вектор скорости v некоторой молекулы имеет три проекции vx vy, vz.Движение молекул удобнее рассматривать в пространстве скоростей, оси системыкоординат которой направлены так же, как и в пространственной системе, но вдоль этихосей отложены не значения коордирнат, а значения этих проекций скорости – см. рис. 1.1.2Малый элемент объема в этой системе по аналогии с dxdydz в обычной декартовойсистеме пространственных координат естьпроизведение d v = dvxdvydvz (см.

рис. 1.1).vzdvvРис. 1.1.vyvxНаряду с декартовой системой координат удобно в пространстве скоростейиспользовать также сферическую систему. Здесь вектор скорости v задается абсолютнымзначением скорости v и двумя углами – полярным θ и азимутальным φ – см. рис. 1.1.Связь с декартовой системой определяется сотношениями:vx  v sin  cos v y  v sin  sin vz  v cos Элемент объема в сферической системе естьd v  v 2dv sin  d d .Рассмотрим движение некоторой молекулы вдоль оси х. Для большого ансамблямолекул (ассамблем называется рассматриваемая совокупность молекул – например, всемолекулы в данном сосуде) вводится понятие вероятности иметь ту или иную скорость vх.Заметим, что ставить вопрос о вероятности иметь некоторое конкретное значениескорости смысла не имеет, так как эта вероятность строго равна нулю.

Действительно,хотя молекул очень много, конкретное числовое значение vх заключено в интерваленулевой длины. Поэтому надо говорить о вероятности dW(vх) иметь проекцию vх скоростина ось х в интервале от vх до vх + dvх. Однако для краткости можно говорить о вероятностииметь скорость vx (т.

е. опуская упоминание об интервале от vх до vх + dvх). Часть молекул,обладающих какими-то близкими характеристиками, называется подансамблем. В данномслучае у нас подансамбль с близкими скоростями vх. Так как при малом интервале dvхвероятность dW(vх) пропорциональна величине этого интервала, то можно написатьdW (vx )  f (vx )dvx ,(1.3)3где функция f (vx ) означает плотность распределения вероятности найти молекулу соскоростью vх во всем интервале доступных ей значений, она называется функциейраспределения.Так как полная вероятность иметь хоть какую-нибудь скорость равна единице, dW (v )  1 , функцияf (vx ) нормирована:x f (v )dvxx 1.0,6f(vx)0,50,4dW(vx)=f(vx)dvx0,3Рис.

1.2.0,2dvx0,1Положительные и отрицательные направлениядвижения в газе равновероятны, поэтому f (vx )0,0-3-2-10123vxявляется четной, f (vx )  f (vx ) . Очевидным является свойство стремления f (vx ) к нулюпри стремлении v x к   . Исходя из этих общих свойств f (vx ) , на рис. 1.1 схематическипредставлен ее график (точный ее вид пока нам неизвестен). На рис. 1.2 площадьзаштрихованной области соответствует dW(vх), а вся площадь под кривой равна единице.Скорость vx молекул меняется случайным образом от молекулы к молекуле. Какизвестно, для некоторой случайной величины Аi, i = 1, 2, 3 …N, средней величинойназывается сумма нескольких измерений, деленная на количество N этих измерений:A1 N AiN i 1(1.4)Если надо найти среднюю скорость vx, надо также вычислять сумму типа (1.4), вкоторой величиной Ai будет являться скорость i-й молекулы vxi.

Но можно поступить ииначе – разбить сначала все молекулы на подансамбли с близкими скоростями движенияvx (области типа заштрихованной на рис. 1.2), а затем просуммировать скорости с учетомдоли молекул f (vx ) в каждом подсансамбле. Разбиение на подансамбли позволяетрассматривать vx как непрерывную переменную и перейти при очень мелком разбиении отсуммирования к интегрированию:vx   vx dW (vx )   vx f (vx )dvx( 0) .(Этот интеграл равен нулю из-за четности f (vx ) ). Аналогично для среднего значенияквадрата скоростиvx 2   vx 2 f (vx )dvx .4Здесь равенства нулю уже быть не должно.Аналогично можно говорить о вероятности dW(vу) иметь скорость vy вдольнаправления у и о вероятности dW(vz) иметь скорость vz вдоль направления z.

Вдальнейшем будет также рассмотрен вопрос о вероятности для молекулы иметь значениеполной скорости v  vx2  v y2  vz2 .Также можно ставить вопрос и о распределении по направлениям движения. Выберемнекоторое направление, характеризуемое углами θ и φ сферической системы координат(рис. 1.1). Пусть нас интересует доля молекул, движущихся именно в этом направлении.Вообще говоря, несмотря на огромное количество молекул, вероятность найти молекулу,движущуюся строго в данном направлении, равна нулю, так как направление задаетсябесконечно узкой линией, а число молекул все-таки конечно.

Можно говорить только овероятности иметь направление в малых интервалах углов от θ до θ + dθ, и от φ до φ + dφ.На единичной сфере задаваемые этими направлениями граничные линии определяютвершины криволинейного четырехугольника малой площади dS = sinθdθdφ = dΩ, где dΩ –элемент так называемого телесного угла. Вероятность dW ( ,  ) попадания единичноговектора, направленного вдоль движения молекулы, именно в данный элемент поверхностиесть отношение этой площади к полной площади поверхности единичной сферы (равной4π):dW ( , ) dS sin dd1d.444(1.5)Роль функции распределения направлений в пространстве играет здесь множитель1/ 4 .

Тот факт, что он не зависит от направления и означает равновероятность этихнаправлений. Отметим, что для краткости здесь также можно говорить о вероятностииметь направление, характеризуемое углами θ и φ (т. е. опуская упоминание обинтервалах от θ до θ + dθ и от φ до φ + dφ). Заметим, что в данном рассмотрении мы извсех молекул в газе мы выдели подансамбль, в котором близки направления вектораскорости движения молекул.При интегрировании (1.5) по всей единичной сфере суммарная вероятность иметь всевозможные направления равна единице:21 dW ( , )  4 0 sin d 0 d  1.1.3. Температура и кинетическая энергияВспомним результат классической механики об упругом центральном столкновениидвух шаров массами m1 и m2, движущихся вдоль одной прямой со скоростями v1 и v2 (рис.1.3) (v1 > v2).5Рис.

1.3Нас интересуют скорости после столкновения v1 и v2 . Эта задача решается с помощьюзаконов сохранения энергии и импульса:m1v1  m2v2  m1v1  m2v2 ,(1.6)1111m1v12  m2v22  m1v12  m2v22.2222Напомним, что для решения этой системы уравнений удобно перейти в системукоординат, связанную с движением центра масс. Скорость центра масс равнаVцм m1v1  m2v2m1  m2.Вводим скорости u1, u2, u1, u2 движения молекул в системе центра массv1  Vцм  u1,v1  Vцм  u1(1.7)v2  Vцм  u2 .v2  Vцм  u2В результате вместо (1.6) получим уравненияm1u1  m2u2  0,(1.8)m1m22 122m1u1  m2u2 (v1  v2 ) .222(m1  m2 )1Решение этой системы имеет видu1  m2(v1  v2 ),m1  m2m1u2 (v1  v2 ).m1  m2(1.9)Перейдем обратно в лабораторную систему.

Из (1.7) получим:6v1 (m1  m2 )v1  2m2 v2,m1  m2(1.10)2m v  (m1  m2 )v2v2  1 1.m1  m2Теперь рассмотрим сосуд с газом, разделенный подвижной перегородкой (поршнем).Поршень способен без трения перемещаться в направлении х (рис.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций