2019 лекции 1-7 (1247448), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

3.1).Рис. 3.1Разность сил, действующих снизу и сверху, определяется разностью величиндавления, которое является функцией z:F  ( p( z)  p( z  dz))S  Sdp( z).(3.1)Эта разность компенсирует вес G этого слоя. Введем плотность газа n(z), котораяможет зависеть от z. Если слой тонкий, можно пренебречь изменением n(z) в его пределах.ТогдаG  mn( z) gSdz(3.2)Приравнивая (3.1) и (3.2), получим:dp( z)  mn( z) gdz.(3.3)Если газ идеальный, то р(z) = n(z)kT, и (3.3) сводится кdn( z )mgdz .n( z )kT(3.4)Интегрируя, получим зависимость плотности от высоты:n( z )  n(0) exp( mgz).kT(3.5)Или (3.5) следует так называемая барометрическая формулаp(z) = p(0) exp ( – mgz / kT).(3.6)22Пусть газ находится внутри сосуда с постоянным сечением S и высотой h. Полноечисло молекул N в этом сосуде естьhN   n( z ) Sdz  n(0) S0kTmgmgh ) .1  exp( kT (3.7)Отсюда определяется n(0) какn(0) N mg1.S kT 1  exp(  mgh )kTПри mgh/kT >> 1 из (3.5) и (3.7) следует, что n( z ) (3.8)N mgmgzexp( ) , то естьS kTkTплотность молекул экспоненциально убывает с высотой.

При mgh/kT << 1 имеемN, и распределение молекул по высоте в сосуде близко к однородному – см.n( z )  n(0) Shрис. 3.2.Рис. 3.2.Равенство mgh = kT имеет место при высоте h0 = kT/ mg. Для комнатной температурыдля молекул воздуха h0  10 км. Это означает, что в обычных лабораторныхисследованиях эффектами зависимости плотности и давления газа от высотысодержащего его сосуда можно пренебречь.Необходимо подчеркнуть, что формула (3.5) применима только к изотермическимусловияме. В земной атмосфере с высотой температура сильно падает.

Далее, воздухпредставляет собой смесь газов, молекулы которых имеют различную массу. Всоответствии с формулой (3.5) состав атмосферы должен резко изменяться с высотой:относительная концентрация легких газов должна увеличиваться. Измерения состававоздуха на разных высотах однако показали, что относительные концентрации неменяются. Причиной этого является интенсивная конвекция, которая в пределахтропосферы приводит к выравниванию состава воздуха по высоте.3.2. Распределение БольцманаФормулу (3.5) представим в видеn( z )  n(0) exp( U ( z))kT(3.9)23гдеU(z) = mgz(3.10)есть потенциальная энергия молекулы в поле сил тяжести.Распределению (3.9) можно придать несколько иной вид.

Опять рассмотрим газ cчислом молекул N внутри вертикального сосуда с постоянным сечением S. Вероятностьобнаружить молекулу в слое толщиной dz на высоте z определяется долей dW(z) такихмолекул от общего числа:dW ( z ) n( z ) Sdz.N(3.11)Отсюда, используя (3.9), можно написать, чтоdW ( r ) n(0)U (r )1U (r )exp( )d r  exp( )d rNkTZkT(3.12)где d r = Sdz есть элемент объема, а 1/Z ≡ n(0)/N – нормировочный множитель.Формула (3.12) определяет вероятность нахождения молекул в точкепространства r в поле сил тяжести внутри малого объема d r . Ее можно обобщитьдля произвольного типа взаимодействия (т. е. не обязательно гравитационного) илюбого вида пространственной зависимости потенциальной энергии U (r ) (т.

е. необязательно приводящей к однородному внешнему полю). Действительно, дляиспользованного при выводе (3.9) условия механического равновесия характервзаимодействия не важен, а для любого неоднородного поля можно рассмотреть такоймалый объем газа, в котором это поле является однородным.Единственным ограничением здесь является консервативный характер действующихсил, т.

е. таких сил, для которых их работа при движению по замкнутому контуруравняется нулю. Только для них можно ввести потенциальную энергию, зависящую отположения в пространстве.Распределение (3.12) называется распределением Больцмана. Нормировочнаяпостоянная в (3.12) Z находится из условия, что полная вероятность обнаружитьмолекулу  dW (r ) равна единице, т. е.U (r ) Z   exp( )d r .kT(3.13)Величина Z называется статистической суммой (статсуммой).Напомним в заключение, как элемент объема d r выражается в разных системахкоординат. В декартовой системе координатr  ( x, y, z ) и элемент объемаd r  dxdydz24определяет параллельный осям малый параллелипидед, в котором х меняется от х до dx, yменяется от y до dy, z меняется от z до dz.В сферической системе положение точки в пространстве определяется радиусом r,полярным углом θ и азимутальным угло φ, их связь с декартовыми координатамиопределяются соотношенимиx  r sin  cos y  r sin  sin z  r cos ,и элемент объема, который можно получить из якобиана преобразования переменных илииз простого геометрического рассмотрения, естьd r  r 2dr sin  d d .Наконец, в цилиндрической системе координат положение точки в пространствеопределяется радиусом ρ, азимутальным угло φ и совпадающей с декартовой системойкоординатой z.

Связь с декартовой системой дается формуламиx   cos y   sin ,zzи элемент объема здесь естьd r   d  d dz .Отметим, что формулу (3.11) можно понимать и как «одномерное» распределениевероятностей, в котором используется только координата z (именно такую ситуацию мыимели, рассматривая вертикальный сосуд с постоянным сечением S). В такомраспределении малый элемент одномерного «объема» в (3.12) есть d r = dz, а величинастатсуммы Z΄ связана с величиной Z трехмерного распределения (3.12) соотношением Z΄= Z/S.3.3.

Вывод распределения Больцмана из распределения МаксвеллаРаспределение Больцмана (3.12) и Максвелла (1.33) имеют схожий вид – в обоихслучаях функция распределения экспоненциально зависит от отношения энергиимолекулы к kТ. Только в первом случае речь идет о потенциальной энергии, а во втором –о кинетической энергии. Из закона сохранения энергии следует, что одна форма энергииможет переходить в другую. Тогда можно предположить, что эти два распределениявзаимосвязаны и что из одного распределения можно вывести другое.Выведем из распределения Максвелла распределение Больцмана. Рассмотрим столбгаза, находящийся в поле силы тяжести с ускорением g, при постоянной температуре Т –см. рис. 3.3. Вертикальную координату обозначим за z.

Распределение молекул поскоростям, как мы видели выше, возникает из-за возникающего при столкновениях25молекулярного хаоса. Так как силы взаимодействий между молекулами при их2столкновении на много порядков больше силы тяжести ( e2 / ratommg ), наличиепоследней на скорости молекул после столкновений никак не влияет. Поэтому видфункции распределения по скоростям не должен зависеть от ускорения g, и эта функцияпри одинаковой температуре на разных высотах должна иметь одинаковый вид.Рис. 3.3Будем считать, что молекулы, стартующие с плоскости z = 0 вверх, летят до высоты z= h, не испытывая столкновений. (Это ограничение не находится в противоречии с тем,что распределение по скоростям устанавливается из-за столкновений – см. по этомуповоду замечание ниже). Однако до этой высоты смогут долететь не все молекулы, атолько те, у которых достаточен запас кинетической энергии, то есть скорости которых v zудовлетворяют условиюmvz2 mgh .

Обозначим за u минимальную такую скорость, она2mu 2 mgh . Через J (h )vz 0 обозначим поток молекул, летящих2через плоскость z = h вверх. Так как J (h)vz 0  J (0)vz u , то этот поток согласно (2.11) и сопределяется из условияучетом распределения Максвелла (1.32) естьJ (h )vz 0  J (0)vz ukTmu 2 n(0)  vz f (vz )dvz  n(0)exp( )2m2kTuОбратный же поток через эту плоскость вниз есть0J (h)vz 0  n(h)  vz f (vz )dvz  n(h)kT.2 mТогда из условия равенства в равновесии полного потока нулю,J (h)vz 0  J (h)vz 0  0 ,26Получаем связь между n(h) и n(0) в виде.n(h)  n(0) exp( mu 2mgh)  n(0) exp( ),2kTkT(3.14)что при замене h на z воспроизводит барометрическую формулу (3.5).Отметим, что сделанное предположение об отсутствии столкновений придвижении молекулы не имеет принципиального характера.

Действительно, мы моглирассматривать бесконечно малые высоты h, для которых это предположение выполнялосьбы наверняка. При этом экспоненциальный характер зависимости от h позволяетрассматривать задачу последовательно с малыми приращениями h, а все результатыперемножать.Данный вывод основан полностью на молекулярных представлениях, что позволяетлегко обобщить распределение Больцмана на случай смесей разных газов. Очевидно, чтораспределение каждого из них в силовом поле может описываться отдельно.Аналогичным образом проводится и обратный вывод распределения Максвелла израспределения Больцмана – см.

ниже п. 4.1.3.4. Центрифугирование, разделение изотоповЦентрифугирование нашло широкое применение в промышленности дляфракционирования жидкостей, разделения изотопов и др. Также оно используется внаучных исследованиях как эффективный способ разделения близких по молекулярномувесу или плотности веществ. Рассмотрим этот процесс количественно.Рис. 3.4.В системе отсчета, связанной с центрифугой, объект исследования находится вравновесии, и к нему можно применить распределение Больцмана. В этой системе отсчетана частицы действует направленная в сторону радиус-вектора r(см. рис.

3.4)центробежная сила F(r) = m 2 r , где  - угловая скорость вращения. Потенциальнаяэнергия частицы в поле действия этой силы равнаrr1U ( r )    F ( r )dr     m 2 r dr    m 2 r 2 .200Для цилиндрической симметрии элемент объема равен 2 rhdr , где h – высота барабанацентрифуги, и распределение Больцмана (3.12) имеет вид27dW ( r ) С другой стороны, так как1m 2 r 2exp()2 rhdr .Z2kTdW ( r ) (3.15)1n( r )2 rhdr , где n(r ) - плотностьN(концентрация) частиц на расстоянии r, то отсюда имеем:Nm 2 r 2m 2 r 2n( r )  exp()  n(0)exp().Z2kT2kT(3.16)Полученное соотношение (3.16) указывает на возможность использованияцентрифугирования для разделения смесей, состоящих из частиц с разной массой. Изэтого соотношения следует, что у боковой стенки центрифуги концентрация тяжелыхчастиц относительно выше, а в ее центре выше концентрация легких частиц.Центрифугирование было использовано для обогащения урана.

Характеристики

Список файлов лекций