2019 лекции 1-7 (1247448), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Молекулярные потоки, давление и уравнение состояния2.1. Молекулярные потоки (пучки)Рассчитаем количество молекул, падающих на стенку сосуда, на некоторый ее элементплощадью S. Ось х используемой системы координат пусть перпендикулярна этомуэлементу. Выберем только те молекулы, которые имеют близкие вектора скорости v – см.рис.

2.1; вероятность найти таковые есть dW (v ) . На выделеменный элемент S в течениевремени T упадут молекулы c величиной проекции скорости v x , то есть из показанного нарис. 2.1 наклонногопараллелепипеда, объемом STvx . Количество молекул данногоподансамбля, падающих на элемент площади S за время Т есть произведениеdN (v , S , T )  STvx ndW (v ) .(2.1)ySvxzv T (высота параллелипипеда)xРис. 2.1. Молекулы, падающие со скоростью v на показанный элемент поверхностиплощади S за время Т.Если dN (v , S , T ) разделить на S и T, получится количество dJ (v ) молекул, падающихв единицу времени на единицу площади:dJ (v )  dN (v , S , T ) / S / T  vx ndW (v )(2.2)В декартовой системе координат:dJ (v )  vx ndW (vx )dW (v y )dW (vz )Если движение вдоль осей y и z нас не интересует, то можно проинтегрировать этовыражение по v y и v z , тогда вместо dJ (v ) появится dJ (vx ) :dJ (vx )  nvx dW (vx )  dW (v y )  dW (vz )  nvx dW (vx )(2.3)15Потоком молекул называется их количество, падающее за единицу времени наединицу площади.

Эта величина получается после интегрирования (2.3) поположительным значениям v x :J nv x 0v x dW (v x ) n  v x f (v x )dv x n0kT1 nv ,2 m 4(2.4)где использовано распределение Максвелла в виде (1.32), а v определяется (1.36).Определяемая равенством (2.2) величина dJ (v ) называется дифференциальнойплотностью потока молекул.Молекулярный поток при истечении газа из малого отверстия в сосуде в вакуумназывается молекулярным пучком. Малые размеры отверстия означают, чтомолекулярный пучок не нарушает состояния равновесия в сосуде и что проходящие вотверстие молекулы не сталкиваются между собой (то есть сохраняют скорости инаправления движения молекул в сосуде).В физических экспериментах с молекулярными пучками детектор молекул часторасполагается под некоторым углом к оси х.

Тогда возникает вопрос о вероятностиdWJ (v ) найти в этом пучке молекулу, летящую с данной скоростью и в данномнаправлении. Обозначим за  угол между направлениями вектора v и оси х, за  - уголмежду проекцией v на ось уz и осью у (это сферическая система координат, в которойполярный угол  отсчитывается от оси х, а азимутальный угол  отсчитывается от оси у).sin ddУчитывая, что vx  v cos  , и используя dW (v )  dW (v)(см.

(1.35)), вместо (2.3)4тогда имеемcos  sin  dddJ (v )  v n dW (v).(2.5)4Отметим, что при интегрировании (2.5) по углам в пределах полусферы (угол θ от 0 доπ/2) получается плотность потока молекул с данной величиной скорости в интервале отv до v + dv:1dJ (v)  nvdW(v).4(2.6)Полная плотность потока получается после усреднения (2.6) по всем скоростямчастиц, она совпадает с (2.4).Для нахождения вероятности dWJ (v ) необходимо дифференциальную плотностьпотока, определяемую формулой (2.5), разделить на полную плотность потока (2.4):dWJ (v ) dJ (v ) vcos  sin  d d dW (v )Jv(2.7)16Полученное выражение можно представить в виде двух сомножителей, один изкоторых зависит только от абсолютной скорости v, а другой – от углов  и  :dWJ (v )  dWJ (v)dWJ () ,где2 mv2 1 m v3dvdWJ (v)  dW (v)    exp v2  kT  2kT 1dWJ ()  cos  sin  d d .v(2.8)(2.9)Причем каждое из распределений нормировано на единицу, т.

е.  dWJ (v) 1 и dW ()  1 (напомним, что в этой задаче Jменяется от нуля до π/2).Распределение (2.8) отличается от максвелловского распределения (1.34),дополнительным множителем v (и нормировочным множителем). Его происхождениесвязано с тем, что быстрые молекулы вылетают чаще.

Поэтому и средняя скорость, исредняя энергия молекул в пучке больше средних в сосуде:vJ   vdWJ (v)  3kT8m31v ,  J  m v 2 dWJ (v)  2kT.82(2.10)Разница средних значений энергии молекулы в пучке и сосуде составляет kT/2. При этомпоток энергии q (энергия, падающая на единицу времени за единицу площади) будетq  J2.2.(2.11)Давление идеального газаДавление в сосуде с газом создается ударами молекул о его стенку. На молекулярномуровне надо говорить о взаимодействии молекулы газа с молекулой (атомом) стенки –той, с которой непосредственно происходит столкновение. Заметим, что в механикеимеются всего лишь два типа фундаментальных взаимодействий в атомах, молекулах имакроскопических объектах (внутриядерные силы мы здесь не рассматриваем) –гравитационные и электромагнитные. Нефундаментальными взаимодействиями вмеханике являются реакция опоры, взаимодействие с натянутой нитью или со сжатой(растянутой пружиной), трение, указанное взаимодействие молекул со стенкой.

Намолекулярном уровне все они сводятся к электромагнитным взаимодействиям. Вчастности, в случае удара молекулы о стенку происходит отталкивание электронныхоболочек взаимодействующих частиц.Будем считать удары молекул о стенку абсолютно упругими. Ось, перпендикулярнуюстенке, обозначим за х. Сначала рассмотрим удар одной молекулы, налетающей на стенкупод углом  со скоростью v (рис. 2.2).17Рис. 2.2Стенка при ударе о нее молекулы испытывает в направлении оси х зависящую отвремени силу fх(t) (для силы используется то же обозначение, что и для функциираспределения, что, однако, не должно привести к путанице), которая изменяется от нулядо некоторой максимальной величины в момент наиболее сильного контакта молекулы состенкой и спадает опять до нуля после столкновения (рис.

2.3). Выберем некоторыйинтервал времени Т, который превышает длительность столкновения, и рассчитаемсреднюю действующую на данную молекулу в интервале от 0 до Т силу. Если разбитьинтервал Т на N малых отрезков времени t = T/N, в каждом из которых силу можносчитать постоянной, то средняя сила будет определяться суммой типа (1.4), переходящейпри бесконечном разбиении в интегралT f x (t ) 1 N1 N1f(t)f x (tk )t   f x (t )dtx kN k 1Nt k 1T0Здесь вычисляется среднее по времени для одной конкретной молекулы – и онообозначено угловыми скобками, – в этом отличие от усреднения вида (1.4), в которомвычислялось среднее по всем молекулам (там использовалось обозначение в виде верхнейвертикальной черты).

Записав второй закон Ньютона в виде mdvx (t )   f x (t )dt(импульс изменяется из-за силы противодействия со стороны стенки на молекулу, равной f x (t ) ), для среднего значения  f x (t )  получим тогда выражениеv (T )2mv x1 x, f x (t )   m  dv x T vx (0)Tтак как при упругом ударе vx (T )  vx (0) . Здесь и в дальнейшем vx (0) будем обозначатьпросто как v x .18fx(t)fx(tk)t0tTtkРис. 2.3Выберем теперь на стенке сосуда некоторый элемент площади S.

Согласно (2.3), нанего за время Т падают молекулы из подансамбля с данной скоростью vx в количестве,равномdJ (vx )ST  STnvx dW (vx )Подансамбль этих молекул действует на данный элемент поверхности с силойdFx (vx )  f x (t )  dJ (vx )ST  2mvx2 SndW (vx ) .Полная действующая на стенку сила получается путем суммирования по всемподансамблям:F   dFx (v x )  2mnS  v x2 dW (v x )  mnv x2 S .0(коэффициент 2 исчезает, потому что интегрирование по проекциям скоростипроизводится не от, а от нуля). Отсюда давление равноp  F / S  mnvx2Далее, по теореме Пифагора в пространстве скоростей(2.12)v  vx  vy  vz ,2222и изравновероятности разных направлений следует, чтоvx  v y  vz 222v23.(2.13)Поэтому для давления можно написать1922 mvp n.3 2(2.14)Таким образом, давление пропорционально плотности газа и средней кинетическойэнергии молекул.2.3.Уравнение состояния идеального газаВспомним (1.14)3mv 2kT 22и подставим в уравнение для давления (2.12).

Получим:p  nkT.(2.15)Это уравнение называется уравнением состояния идеального газа.В практических применениях удобно молекулы считать не в «штуках», а в молях.Введем так называемую универсальную газовую постоянную R  N Ak , где NA = 6,02∙1023моль-1 – константа Авогадро (R = 8,31∙107 эрг/(моль∙К) = 8,31 Дж/(моль∙К)).

ЗаменивMполное число молекул соотношением N N , где М – вес в граммах рассматриваемого Aобъема газа,  − молекулярный вес в граммах (грамм-моль), и используя выражение дляплотности (1.1), вместо (2.15) получимM(2.16)pV RT .Это уравнение называется уравнением Клапейрона – Менделеева.Различные частные случаи уравнения (2.16) также имеют свои названия, что связано стем, что исторически они были открыты раньше. Перечислим их здесь.При постоянной температуре имеет место закон Бойля – Мариотта:pV = const.При постоянном объеме  закон Шарля:p = const T.При постоянном давлении  закон Гей-Люссака:V = const T.Также имеет место закон Авогадро:20npkT(число частиц в единице объема зависит от давления и температуры, но не зависит отприроды самих частиц).

Согласно этому закону 1 грамм-моль газа заполняет объем 22,4 лпри атмосферном давлении и Т = 0˚С.Давление измеряется в системе СГС в дин/см2, в системе СИ – в ньютон/м2. Последняяединица называется также паскалем (Па). Есть внесистемные единицы. 1 бар = 106 дин/см2= 105 Па (0.1 МПа).

Численно бар близок к нормальному атмосферному давлению.Давление в 760 мм рт. ст. (стандартная или техническая атмосфера) соответствует 1,013бар. Есть еще техническая атмосфера, соответствующая давлению в 1кгс/см2, она равна0,98 бар.21Глава 3. Распределение Больцмана3.1. Барометрическая формулаРассмотрим газ, находящийся в поле силы тяжести. Пусть ось z системы координатнаправлена вертикально вверх. Выберем некоторый горизонтальный слой c площадью S ималой толщины dz (рис.

Характеристики

Список файлов лекций