Батенко А.П. Системы терминального управления (1984) (1246767), страница 14
Текст из файла (страница 14)
С помощью (4,10) и (4.11) вайдем 3 2 . 3 1 С= — — х — — х + — х — — х а Та О О Т О О Та О к Т Ок' (4.68) 2, 1 . 2 ! Та О,О( Та О,О )а О,е Та Подставив в (4.68) найденные выше ха,а — — — 1,05942; ха „= — 9,99704, а также заданные ха,а — — 2; хаш — — 10, Т = 1О с, получим Са = 2; С, = — 1,059; Са = 1,45159; Сз = — 0,126565. Промоделируем движение объекта под действием терминального управления (4.66).
На рис. 4.10 представлены результаты моделирования: объект в те. чапне заданного времени Т = !О с перешел из начального фазового состояния [ха,а! хца! =- [2; 1) в предписанное конечное [ха в! «цк[ = [10' — !0). 63 В заключение обратим внимание на следующее. Пусть существует задача терминального управления всеми фазовыми координатами объекта г-го порядка с внутренними обратными связями.
Граничные ус. ловия, наложенные иа его фазовые координаты, однозначно определяют начальные и конечные значения выходной координаты и г — 1 ее производных. Поэтому свободно распоряжаться граничными значениями выходной функции, если это потребуется, можно только начиная с ее г-й производной и выше. Приведенная процедура синтеза терминальных управлений, как показано на примерах, носит универсальный характер: она применима как для линейных, так и нелинейных объектов. Единственное ограничение состоит в том, чтобы входящие в систему нелинейности описывались аналитическими функциями.
В этом случае терминальное управление будет также аналитической функцией. 4.5. Плавные стыковки кривых и аппроксимация Некоторые машинно-ориентированные методы оптимизации управлений находят решение в виде табличных функций времени. Иногда эти функции имеют достаточно сложную форму и для их аппроксимации с необходимой точностью приходится использовать полиномы высокой степени. Если разбить траекторию на отдельные достаточно короткие участки, то каждый из иих можно аппроксимировать полиномом невысокой степени. При этом точность аппроксимации всей траектории в целом можно значительно повысить, если отдельные участки траектории будут плавно, без изломов переходить один в другой.
Задача о плавной стыковке кривых довольно распространена в инженерной практике. При посадке самолета, например, требуется, чтобы его криволинейная траектория плавно перешла в прямую в момент приземления. В точке стыка глиссады с взлетно-посадочной полосой не должно ощущаться удара. При проектировании железнодорожных путей и развязок автострад требуется так сопрягать отдельные участки, чтобы в точках стыка движущийся транспорт не испытывал перегрузок. Все подобные задачи могут быть решены методами теории терминального управления. Плавность состыковки отдельных участков кривой можно регулировать количеством условий, наложенных на стыках, т.
е. количеством граничных условий. Каждый участок аппроксимируется полиномом, коэффициенты которого рассчитываются по (4.8), (4.10), (4.11) или (4.16). Для облегчения расчетов в приложении 1 даются стандартные подпрограммы КОЕР (П1.1) и КОРА К (П1.2), вычисляющие коэф. фициенты полиномов по перечисленным формулам. Для демонстрации вышеизложенного решим следующую задачу.
На рис. 4.11 изображен один период синусоиды, имеющей уравнение (4,69) у — 10 айп 0,6283 Д 64 Разобьем период длительностью 1О с на шесть участков. Длительности этих участков следующие: Т, = 2 с; Т, = 1 с; Т, = 2 с; Т, = 2 с; Т, = 1 с; Т, = 2 с. Точки стыков отдельных участков синусоиды пронумерованы цифрами от 1 до 7. Зная уравнение синусоиды, легко вычислить значения функции и ее производных в точках стыка: у= А з(п в!!,у= Авсоз вГы у = Ав' яп в1!, у — Авз соз в(е, где 1! — моменты времени, соответствующие е-м точкам стыка. Заменим теперь отрезки синусоиды между точками стыка полино- мами, налагая в этих точках различное число краевых условий. При этом будут решены две задачи: плавные стыковки полиномов и !д г кусочная аппроксимация сину- ! соиды.
Коэффициенты аппроксимирующих полиномов рассчитывались с помощью подпрограммы КОЕГ. гк Для оценки точности аппроксимации используем следующий критерий качества: -гу б г" = шах (д — х)"', (4.71) Рис. 4.! 1 Таблица 4.3 Результаты аппроксимации синусоиды нри одном условии н точках стыка Условна аа стЫках Номер участке КовФФнцненты полннома мах слева справа с =о С~ = 4,75528 у = 9,510565 1,31 у=0 Со=9 5!0565 С~=1,656 !О ' у=9,510565 у = 9,510565 0,24 Со = 9,510565 С1 = — 4,75528 1,3! у=9,5! 0565 у=О Интересно отметить, что каждое очередное добавление одного условия на стыках увеличивает относительную точность аппроксимации.
Так, добавление второго условия (по у) уменьшает функции! качества 0 а.к. !кь! 65 где у — точное значение функции (синусонда); х — аппроксимирующая функция (полипом), В табл. 4.3 — 4.6 приведены результаты аппроксимации для трех участковсинусоиды первого полупернода. Для второго полупериода в силу симметричности участков точность аппроксимации будет такой же. Таблицы соответствуют различному числу краевых условий, вычисляемых по (4.70). Таблица 4.4 Результаты аппроксимации синусоиды при двух условиях в точках стыка Номер учвстка1 Условия на стыках ! шак Коэффициенты полинома справа слева у=9,510565 у= 1,94!61 у=О у = 6,2832 1,382.10 У=9,510565 У= 1,94161 У=9 510565 У= — 1,94161 1,626 1О Й у=9,510565 у= — 1,9416! у=О У= — 6,2832 1 382.10-з Таблица 4.5 Результаты аппроксимации синусоиды прн трех условиях н точках стыка Условия на стыках Номер участка 'шах Коэффициенты колинома справа слева 2,42 10 т 1 764 !О-за 2,42 !О т у=О у 6,2832 у=О у=9,5!0565 у= 1,94161 у= — 3,75462 у=9,5!0565 у= — 1,94161 у = — 3,75462 у=9,510565 у= 1,94!6! у= 3,75462 У=9,510565 у= — 1,94!61 у = — 3,75462 У=О у= — 6,2832 у= — 2,1156Х Х10 т Со=О Сз 6,2832 Сз — 0,121 Сз — 0 32144 Се= 9,510565 Сз = 1,94161 Сз = — 1,94161 Сз= — 1,09685 10-а Се = 9 5! 0565 С, = — 1,94161 Сз = — 2,04972 Сз = 0,321442 С =О Сз = 6,2832 С =0,416838 Се=4,59528.10 з Се=6,41786.10 з Се=9 510565 Сз = 1,94161 С = — 1,8773! Сз= — 0,1286 Се=6,43 1О з Сз 2'171.10-зо Се 9,5!0565 С1 = — 1,94161 Сз= — 1,87731 Сз = 0.12336 Се=6,87739 1О з Сз ' 6 41786, 1О-з Таблица 4.6 Результаты аппроксимации синусоиды при четырех условиях в точках стыка условии иа стыках Номер участка Коэффициенты лолинома справа слева 1,21 10 5,49.
10-те 1,2! 10 (4.71) на первом участке в 947,9 раза. Добавление третьего условия (по у) уменьшает функцию качества уже в 5710,7 раза по сравнению со случаем, когда граничных условий.было два. Добавление четвертого условия (по у) уменьшает функцию качества еще в 20 000 раз.Очевидно что точность аппроксимации можно повышать беспредельно. 4,6, Сверхмягкая посадка спускаемого аппарата На рис. 4.12 показано положение векторов скорости (7 и тяги и спускаемого аппарата, его углы тангажа ер и курса тр. В принятой системе координат движение космического летательного аппарата (КЛА) описывается следук!щей системой дифференциальных уравнений: х = — и соз тр соз тр, (4 . 72) д = — и 3!и ср — до, (4.73) г = и соз ер яп тр, (4.74) где х — координата дальности; у — координата высоты; г — координата бокового отклонениЯ; бто — гРавитационное УскоРение; и, гР, ф— зе 67 у=О У=6,2832 У=О у= — 2,48 У=9,510565 . У=1,94161 у = — 3,75462 У = — 0,76652 У=9,510565 у= — 1,94161 у= — 3,75462 У=0,76652 У=9,510565 У=1,9416! у= — 3,75462 у= — 0,76652 У=9,5!0565 У= — 1,94161 У= — 3,75462 У= 0,76652 у=О у= — 6,2832 У= — 2,11564 Х Х10 т У=2,88 С =О Ст = 6,2832 Се=О Сэ — 0,413417 С„= — 5 1О-е Се=8,25488.10-а Се=6.334 1О е Ст= — 6,0707.10 е Се=9,510565 С, =1,94161 Се= †87731 Сз= — 0,127753 Се=6,1755 !О-з Се — 2 54568.10-з Се= — 8,4856 1О е Ст= — 2,097 !О 'з Се=9,510565 Ст = — 1,9416! Сз = — 1,87731 Сз=0,127753 Се=6,17 10 з Се= — 2,3954 10-з Са= — 9,13245 10 ' Ст = 6,0707.
1О-е 1 правляющие функции (ускорение, создаваемое двигателем, таигаж, курс). Пусть задано начальное фазовое состояние объекта (при ! = О): хо, хо, уо, уо, го, го. Необходимо найти управляющие функции и, »Р, ф, обеспечивающие в момент времени Т конечные условия х„, х„, х„, У У У г г г При двух начальных и (о трех конечных условиях выходные функции О х (Г), у (!), г (Г) примут вид: (Р 4 4 з х =~~С»!» у ~ч,- » г ~~АУ гр Уо (4.75) Далее в целях сокращения выкладок пока»» жем подробную методику синтеза управления на примере координаты х. Для осей у и г г результаты аналогичны. Рис. 4.»2 Выразим управления и, Ч» и»Р через вы- ходные функции (4.75).
В (4.72) — (4.74) вхорят вторые производные выходных функций, позтому дифференцидованием (4.75) найдем их: х = С» + 2 Сз! + 3 СзГ~+ 4ѻ (4.76) х = 2 С + б Сз! .1- 12 Сзгз, (4,77) У = 2 Вз + б ВзГ -1 12 Взгз, (4.78) г = 2 Аз + 6Аз! ! 12 Аз!о. (4.79) Подставив (4.77) — (4,79) в исходную систему уравнений (4.72)— (4.74), получим; 2С, + 6Сз! + 12С»гз = — — и соз»р соз ф, (4.80) 2Вз+ 6ВзЕ+ 12 Взгз = — и 3!п»Р — до, (4.81) 2Аз + 6Аот + 12А гз = и соз»Р 3!и»(». (4.82) По (4.8), (4.10) и (4.1!) находим параметры выходных функций! (4.75), удовлетворяющие заданным краеиым условиям: Со хо С» х б 3 ' 6 3 ! Сз = — — хо — — хо + — х — — х„+ — х, Т' Т Т' Т 2 8 3 8 3 " ! Сз = — хо+ — х — — х + — х — — х, Тз з Тз о Тз " Тз " Т 3 2 3 2 ! ' Сз =- — — хо — хо+ — х„— — х„+ — х„. (4.83) Тз о Тз о Тз " Тз " Тз Вычислим См С,, ф„Вз, В„, А „А з, А„и подставим их значения в (4.80) — (4.82).
Разделив (4.82) и (4.81) на (4.80), разрешим эту 68 систему относительно искомых программных управляющих функций: ( 2Аэ+6Аз1+12Аа)э ) (4 84) 2Сэ+ 6Сэ 1+ 12Са 1з (2Вз+6Вэ 1+ 12Ва !э+ до) соз аР (1) 2Сэ+ 6Сз 1+ 12Са 'э (1) 2Сэ+ 6Сэ 1+ 12Са 1з (4.86) соз ~р (1) соз аР (1) Перейдем теперь к законам управления с обратными связями.
Для этого: а) в (4.84) — (4.86) полагаем ! = О; б) в Сз (4.83) и аналогичных формулах для В, и А, вместо хо, хо, уо, уо, го, го подставляем х, х, у, у, г, г; вместо Т подставляем Т вЂ” 1; в) в эти же выражения для Сз, Вю А м входящих в (4.84) — (4.86), подставляем вместо Т вЂ” 1 величину 7)Т, а ВМЕСто Х„, Хэ, Х», Уо, Уз, Уо, г„, гз, гэ — фаЗОВЫЕ КООРДниатЫ Ха, х„х„у„у„у„г„г„г, ведущей фазовой точки: х, = Со + С, (1 + ЛТ) + Сз (! + ЬТ) + С, (1 + ЛТ)~ + Са (1 + + АТ)а х, = С, + 2Сз (1+ ЛТ) + ЗС, (1 + ЬТ)з + 4С, (1+ ЛТ)з, ха = 2Сз + 6Сз (1 + ЛТ) + 12 Са (1 + ЛТ)~, (4,87) Формулы для у„у„у„г„г„г, не приводятся, так как они аналогичны (4.8?).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
