Батенко А.П. Системы терминального управления (1984) (1246767), страница 13
Текст из файла (страница 13)
После этого синтез терминального управления производится описанным в З 4.2 и 4.3 методом. Иными словами, новая задача сводится к уже известной. Предлагаемая процедура синтеза отличается простотой, так как освобождает от необходимости решать системы алгебраических уравнений (в общем случае нелинейных), записанных для начального и конечного моментов времени. Пусть движение объекта, пример которого показан на рис.
4.6, описывается системой дифференциальных уравнений: хо=1о(-то хг) хг 1т (хо 'т» хг)э хг = 1г (хо х» -тм хо) (4.42) хо г 1о г (хо' х1 "' хт г~ хо т) '1-г(хо х» ' хт-т в). 58 Здесь г — порядок системы; 7о, 7), ..., 1, ! — непрерывные функции от фазовых координат; и — управляющая функция. Требуется найти управление и (Г), ! с [О, Т), переводягцее объект в течение заданного времени Т из начального фазового состояния [хо,о', х,,о, ..., х, „о[ в конечное, обеспечив при этом выполнение следующих граничных условий на правом конце фазовой траектории: [хо,к; х,,„.;...
(5) (о Н ! ) (г+г — 1) 1 ...; х,-мк, х„к, .х, „;...; х, „„...; хо к, х!.к ' ..., х, ), к [. Напомним, что в конечйый момент времени Т неооходимо.обеспечить заданные значения г фазовым координатам и их производным, причем порядок производных з не ограничен. Синтез управления начинается с задания выходной функции (4.5) г+л — ! х,= т С(((. (4.43) (=о Подставив (4.43) в первое уравнение системы (4.42), найдем из него Хо ). (4.44) Подставив затем (4.43) и (4.44) во второе уравнение системы (4.42), получим хо = из (хо* хо хо ) . (4А5) В результате г — 1 последовательных подстановок найдем выражения всех внутренних фазовых координат объекта х„хо,..., х„, через выходную фазовую координату хо и ее производные. Из последнего уравнения системы (4А2) находится управляющая функция илли [х„х„, Х„..., х(')).
Общепринятый метод решения краевых задач [441 сводится к следующему. Для того„чтобы определить численные значения неизвестных параметров Со, С(,..., С„+к ! выходной функции (4АЗ), составляется система алгебраических уравнений. Она включает уравнения (4.43) — (4А5) и им подобные для всех фазовых координат, записанные для начального (! = О) и конечного (~ = Т) моментов времени: хо,о = Со х),о = ~'! (Хо,о. Хо,о). Хг-(,о= ° г-! (Хо,о Хо,о ". Хо,о (г — !) ) г+л — 1 хк= Ъ, С Т', г=о г х, „= Р! [х, „, х,,к). (г-!)) хг-),к=юг-! [Хо,к, хо, ...* хо.к )- (4 47) 59 В результате решения системы (4,47) относительно неизвестных Со, С„..., С„ь„, находятся их численные значения, обеспечивающие выполнение краевых условий. Как видим, этот метод предполагает решение в общем случае нелинейной системы алгебраических уравнений (4.4?), что связано иногда со значительными трудностями.
Предлагаемый ниже метод не требует решения системы (4.47). Суть его сводится к следующему. Уравнения (4.44), (4.45) и им подобные для остальных фазовых координат дают связь между значениями внутренних фазовых координат х,, х„..., «г ъ и выходной фазовой ко- ординатой «е и ее производными «о, хо,." хП'а) хи/а/ "., «~е Поэтому найдем из этих уравнений л, х, хв выражения для производных выходной — фазовой координаты через внутренние фазовые координаты: г а «, = грг(«„«,), «е = Ч'з («о» «е. «а)» Рис. 4.7 х~з' —— гР„[«е, «е, «Ге' ", «,1. (4.48) Переписывая (4,48) для начального (( =- О) и конечного моментов времени (( = Т), получаем формулы для вычисления граничных значений производных выходной функции.
Если найти такую управляющую функцию, которая обеспечит вычисленные по (4,48) граничные значения выходной функции и ее производных, то в силу однозначного соответствия этих значений граничным значениям внутренних фазовых координат будут также обеспечены и их краевые условия. Таким образом, выражения (4.48) служат для пересчета краевых условий по внутренним фазовым координатам на выход объекта. В результате этого пересчета поставленная задача, как уже отмечалось, сводится к задаче, решенной в 9 4.2 и 4.3, Параметры С; выходной функции (4.43), входящие также в управляющую функцию (4,46), вычисляются на основании пересчитанных ца выход краевых условий по формулам (4.8), (4.10), (4.11) или (4.16).
Пример 4 4. Произведем синтез терминального управления для линейного объекта, изображенного на рис. 4.7. Требуется перевести объект из начального фазового состоЯниа [хе е; х, »1 пРи г †- О в конечное [хв „, х, 1 пРи г = т. Система дифференциальных уравнений, описывающих движение объекта, имеет внд: хо = х, — дело х» = и — »»»хд. (4.49) Пересчитаем граничные условия по внутренней фазовой координате х» е и х1 в граничные условия по первой производной выходной фазовой координаты хе. Из первого уравнения системы (4.49), записанного для начального и конеч- ного моментов времени, получим: хо,е =х~ о бо хв,о хе к «3 к »(з хо к' ОО (4 ЛО) Теперь начальные и конечные условия для объекта (4 49) можно записать ~оа. (хо,е! хо,о) и (хо к' хо з!.
Долее действуем по методике 6 4.3. При двух начальных (г= 2) и двух кою ~иых (и 2) условиях выходная функция (4.43) примет вид (4.51) х,= Со-!.Сз !+ С, П+Сз П. Затем по (4,8), (4.10) и (4.11) находим выражения для параметров С; выходи й функции (4.51): Со=хо, о Сз="о, о 3 2 .
3 1 (4.52) 2 1 . 2 1 С= — х + — х — — х з — ~., ю,о 7з о,з уз о,и~ 7, е,к ° уу ту (4.55) Подставив в (4.52) заданные и он!и деленные выше граничные условии [4.50), относящиеся к выходной фун- гу Ха кцин, найдем численные значения параметров выходной функции.
зр Следующий шаг — получение уу передаточной функции объекта: ар хо )у (р)= — = и р*+Ьг р+Ьо ш!с Ьг — а!о + о!г! Ьо = иоааю Затем по (4.26) найдем управ. лпющуао функцию и=йо+Ьгт+ЬФ+ "з(, (4.53) г т у 4 у у г у у ~дс Ьо = ЬаСо + ЬтСз + Сю -гу Ьт = ЬеСз+ 2ЬзСз+ 6Сз' йз = ЬоСз+ ЗЬгСз Ьз = ЬоСа. Рнс. 4.8 (4.54) Прн получении (4.54) нужно иметь в виду, что Ьз = 1, а все параметры управления Со входящие в (4.51), при 1 ) 3 равны нулао.
Проведем моделирование. Зададим начзльное и конечное фазовые состояния объекта, а также время перехода: хо о = 2; х! о — — 1; хо „= 1О; х! „—— — 1О; 7' = 10 с. Пусть коэффициенты обратйых связей будут о(е = 2 и а(„= 3. Пересчитанные на выход по (4,50) начальные и конечные условия ха о = 1 — 2 2 = — 3, хо,к = !Π— 2'10 = — ЗО. Параметры выходной функции, вычисленные по (4.52), Со = 2; Сг = — 3; Сз = 3.84; Сз = — 0,346.
Коэффициенты управляющей функции (4.53) приняли следующие значения: А'„= 0,84; йз = 18,324; йо = 17,85; Ьз = — 2,076. Проинтегрируем систему дифференциальных уравнений (4.49) с начальными условиями хе о — — 2, х,ш —— 1. При Г = Т = !О с система перешла в предписанное конечное фазовое состояние: ха к = 10, х,,и = — 1О. Па рис. 4.8 покаиииы результаты моделирования. Пример 4.5. Рассмотрим объект второго порядка, содержащий три нели. иейпостн в прямом канале и две — в обратном (рис.
4.9). Его движение описывается следующей системой дифференциальных уравнений2 хо=до юп гю го=а!о (1 — е 'г') уз=ха — !)з хо о хз=йа у,, уз=и — 0о(1 — е л'г'), 61 (4 57) хо=Со+Сл !+Св гв -)-Св гв. Иайдем выражение управляющей функции череа выходную функцию (4.57). Из пятого и четвертого уравнений системы (4.55) имеем: (4.58) 0 (! -Я,к,) з ул=Ъгхл!йл . (4 . 59) Рис. 4.9 Из третьего уравнения системы (4.55) хл=уо гРв хй ° (4.60) Подставив (4.59) в (4.58), получил! з и= ]Г хла йк - ]- Р, (! — е Я' "'), (4.6!) Из второго н первого уравнений системы (4.55) находилв: д. — !п (( — ), (4.62) ха=асса!п (хо!йо).
(4.63) Подставив (4.63) в (4,62), а (4.62) в (4.60), определим 1 вг агсз!и (ха!йа) х,= — — 1п 1— ~+Рв хй. Ло Ро (4.64) Проднфференцировав (4.64), получим 1 хо х— 1-20о хо хо (4 65) Ло Ра йо гк агсз!п (ха/йо) 1 а Г ~1 — ) У 1 — хо/йо Ро 62 где Рв = з!йп (х,) г(а, Л з — — з!йп (х,) ав, Р, = з!йп (уа) г(о Ло = з!йп (до) а,, Рв = з!йп (х ) в! .
(4.56) Требуется в течение Т = 10 с перевести объект из начального фазового состояния [хо,а! хл,о! = (2; !] в конечное (ха.к! хв.н] = (!О! — 10]. При двух начальных (г = 2) и двух конечных (и = 2) условиях выходную функцило (4.43) необходимо взять в виде Управляющая фуячцвя, выраженная через заданную выходную функцию, находится подстановкой (4.64) и (4.65) в (4.61): а 2Р ', + агсэ1п (ха(йа) ЪА [/ ау .4а Ра йа й, 1!†~Г каха ц Ра Аа,(1 — „А( А,[~,а — 'ь(! '""" *" )))), (АЫ, где [ха = Са + Сдг+ Сага + СзгаА ха — — Ст + 2Сзг+ ЗСзГА, ха = 2Са + 6Сзб Вычислим теперь параметры выходной функции Са, Сы Са и Са, входящие я (4.66). Первые два коэффициента определяются по (4.8): Са = ха а, Сз = ха а. Коэффициенты Са' и Сз вычисляются с помощью (4.10) и (4.11) через начальные и конечные значения выход. 3!У ной функции х, и ее первой производной х,.
Краевые условия ха а и .га „ для фаэовой координаты ха эа- бр даны. Краевые условия для ха трс. буется вычислить, зная граничные зиаченна хт а и хт „ внУтРенней фа- Ж вовой координаты хт и граничные значения выходной фаэовой коордн. наты. Используем 1 †.е уравнения -уу системы (4.65).
Для начального и конечного мо. з хо грха Рис. 4.10 ментов времени эти уравнения эапи. сываются так: ЛАГО,О! З хо, о=да э)п хо, о го, а=Ра(1 — е ~~, УО,О = х,,— Р,х... "о,яА йаэ и о к хак=Ра (1 — е ц") Уок = «1,к Рахов' (467) Подставив в (4.67) начальные и конечные значения фазовых координат ха,а = 2; хца = !! ха,в = 10; хцк = — !О, получим ха,а = — 1,05942; ха,к = -= — 9,99704. Параметры объекта А„Ра, Ра определяются соотношениями (4.56) при заданных «(а = 1,57; аа = 0 07' «(а = 0 5' А(а = ЗО; аа = 0,051 ха 1О1 яг = 0,01 ° Итак„граничные значения выходной функции и ее первой производной нам тспсрь известны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
