Батенко А.П. Системы терминального управления (1984) (1246767), страница 8
Текст из файла (страница 8)
!88! 33 Понятие декремента затухания для систем более высокого порядка тпсутствует, поэтому для них нет такой обобщенной характеристикир определяющей качество регулирования. Из-за этого системы высокого Для системы второго порядка (3.8) Из этих выражений видно, что при п — ~- оо частота вэ- и/ЛТ н 5-~. 1, т. е, с ростом и переходная функция стремится к экспоненциальной и быстродействие системы растет пропорционально и. На рис. 3.2 построены переходные функции систем второго порядка с различными декрементами затухания, соответствующими различному числу наложенных конечных условий. Перейдем теперь к системам произвольного порядка.
Г1ри этом используем понятие средпегеометрического корня [351 1 г гг ы = У ЬМ - М = ~! й.. ! (3.7) (3.8) 34 который может служить мерой быстроты протекания переходных процессов. Если увеличить оэ, например, в 1О раз, то на основании теоремы подобия переходный процесс, оставаясь подобным самому себе, будет протекать в 10 раз быстрее. Подставив в (3.7) значение /г,э, найденное из (3.2) при ч = О, получим Г л '/' ».-р/~й..~ = — "1,~ й(1+ М. 1 ! Подставив затем (3.8) в (3.5), получим 1 [1/'и' (,.» ) ~ (зэ При п -+- оо и любом фиксированном г функции (3.8) и (3.9) ведут себя так же, как собственная частота и декремент затухания,(3.6) системы второгопорядка,т.е.мэ- и/Ь7' н 4-+1.
Переходные функции систем г-го порядка, как показывает моделирование, так же как и системы второго порядка, стремятся к экспоненциальным, Таким образом, аналогами собственной частоты и декремента затухания для систем г-го порядка являются функции (3.8) и (3.9): во определяет бы. стродействие системы, а $ — перерегулирование, Таким образом, величина 3 имеет физический смысл декремента затухания н может служить объективным показателем качества переходного процесса.
Итак, мы выяснили, что с ростом п демпфирование системы увеличивается и ее декремент затухания стремится снизу к единице, Однако на значение декремента затухания влияет также н порядок системы г. Если задаться фиксированным соотношением между а и г, например и = йг, где й = 1, 2,, оо, то декремент затухания системы г-го порядка будет выражаться формулой Пределы функции (3.10) для различных и при г-+. оо выражаются некоторыми иррациональными числами. В табл. 3.2 представлены вычисленные на ЭВМ прибли>кеиные значения пределов функции (3.10). Если порядок систем, соответствующих различным Й, изменять от 1 до ои, то декременты затухания этих систем, равные единице при г =- 1, будут уменьшаться и стремиться сверху к пределам, указанным в табл. 3.2.
Таблица 32 значении предела деиреиеита затухания 2 0,684 0,810 !!т 8 О, 865 0,894 0,914 3.2. Интегральные оценки качества переходных процессов Сделав замену переменных, приводим (3.11) к виду 0х, дх, — =х„— = — Ь, ха — Ь, хд. ш еч (3.12) Задаем две квадратичные формы: 1' =х>, У =В,>хе>+2В, х х +Ветхих (3,13) (3.14) связанные между собой соотношением !ЛЯ/Ж = — Г, 2е 35 (3. 13) Интегральные оценки являются одним из простейших косвенных методов, позволяющих без решения дифференциальных уравнений судить о качестве переходных процессов.
Эти критерии получили достаточно широкое распространение в силу того, что А. А. Красовским, А. А. Фельдбаумом, Обрадовичем и др. предложены оригинальные методы их вычисления через коэффициенты дифференциальных уравнений. Интегральные оценки будут использованы нами в дальнейшем для синтеза линейных управляемых объектов с заданным качеством переходной функции. Получим формулы для их вычисления. Известно, что интегральные квадратичные оценки могут применяться для анализа переходных процессов любого вида: как апериодпческих, таки колебательных. Однако вычисление нх даже по сравнительно простой методике, предложенной в (361, достаточно сложно. Продемонстрируем эту методику иа примере уравнения второго порядка, а затем выпишем полученные тем же методом решения для уравнения первого и третьего порядков и прокомментируем результат. Итак, пусть задано уравнение т1а х Лх — +Ь, — +Ь,=о.
(3.11) ше ач Продифференцируем по / выражение (3.14) и результат вместе с (3,13) подставим в уравнение (3.15): Подставив в данное уравнение соотношения (3.12), найдем (2Вдд — 2ВггЬо — 2ВдгЬд) хдхг — (2ВггЬд — 2Вдг) хг ~— 2ВдгЬохг! = =. — хд. (3.16) Приравнивая коэффициенты прп одинаковых переменных в левой и правой частях (3.16), получаем следующую систему: 2Вдд — 2ВггЬо — 2ВдгЬд = О, — 2ВггЬд -! 2Вдг = О, — 2В„Ьо = — 1. (3.1?) Из (3.17) находим: ! Ь, 1 1 в„= — + — ', в,= —, в„= —. (3.18) 2Ьд 2Ьо 2Ьо Ьд 2Ьо Интегральная квадратичная оценка равна (3.14) прн / = О.
Считаем, что система в начальный момент времени находилась в покое, следовательно, начальные условия были: х, = 1, хг = О. Таким образом, интегральная квадратичная оценка выражается формулой ./г = Вдд = 1/(2Ьд) + Ьд/(2Ьо) (3.19) Для рассматриваемых характеристических полиномов, коэффициенты которых равны модулям коэффициентов обратных связей (3.2), вычисленных при г ==- 2, ч = О, 1, имеем Ьо = п (п + 1)/ЛТг, Ьд = 2п//гТ. (3.20) И, наконец, подставив (3.20) в (3.19), получим выражение интегральной квадратичной оценки через параметры дг и АТ для уравнения второго порядка: ./г = (5п + 1) АТЛ4п (и + 1)1. Аналогичные выражения для уравнений первого и третьего порядков имеют вид: ЛТ 3 (1!лг+12л — 2) ЛТ 2л 4 (4л — 1) (л+ !) (л+2) Данные результаты свидетельствуют о том, что сложность выражений резко возрастает с ростом порядка уравнения.
Общая формула, по которой можно было бы вычислить интегральные квадратичные оценки переходных функций систем произвольного порядка, отсутствует. Для каждого конкретного случая все вычисления приходится делать в полном объеме, причем с ростом порядка уравнения громоздкость вычислений непропорционально возрастает. Как показано в !36), порядок д/ системы уравнений (3.18) зависит от порядка г дифференциального уравнения следующим образом: д/ = г (г+ 1)/2. Зб Так, при вычислении интегральной квадратичной оценки дифференциального уравнения восьмого порядка придется решать систему алгебраических уравнений 36-го порядка. В связи с этим возникает вопрос о возможности использования линейных интегральных оценок, которые, как будет показано ниже, вычисляются чрезвычайно просто.
Из табл. 3.2 следует, что системы автоматического управления, синтезированные с помощью предложенных характеристических полиномов, хорошо демпфированы: их декременты затухания близки к единице. !!еререгулированне у этих систем практически отсутствует, поэтому использование линейных интегральных оценок для их анализа и синтеза является вполне правомерным. Итак, пусть имеется характеристический полипом г-й степени (3.21) р + Ь,,р — + ...
+ Ь,р + Ь. = О. Для вычисления линейной интегральной оценки его переходной функции воспользуемся формулой из 1361, в которую входят лишь начальные значения фазовых координат хо, хо, ..., хо и коэффициен<о! (!! ты полинома Ьо, Ьт,"., Ь.-т: ь, ь! х<о)+ ь' х! )+...+ ' ' х!'-')+ ! х" ,— '!. (322) 0 ь о Подставив в (3.22) модули коэффициентов обратных связей (3.2) (Ь, =- (/г„~), получим т — ! — Чтло ! (3.23) .-о т где ут =(оТ!+ 'П (!+О (л+г — ! — О Будем считать, что при !' = О система находится в состоянии покоя, т. е. х!о! =- О, т = 1, 2,..., г — 1, а начальное значение выходной координаты хо!" == 1.
При этих условиях (3.23) примет вид 1 = г7тТЦг + и — 1). (3,24) Таким образом, линейная интегральная оценка (3.24) переходных функций предложенного класса характеристических полиномов имеет весьма простое выражение и зависит лишь от трех параметров: степени характеристического полинома г, масштаба времени ттТ и числа конечных условий и, 3.3. Свойства характеристических попииомов Перепишем (3.2) в более удобном для дальнейшего анализа виде: г — о ! Ьт = П (! — 1) (и + Е), т = О, 1, „., г — 1.
(3.25) (г — т)! И' 37 Свойства полпиомов будем характеризовать свойствами пх переходных функций. Этп свойства, как известно, определяются значениями коэффициентов полиномов (3.25), которые, в свою очередь, зависят лишь от трех параметров; ЛТ, и и г. Таким образом, нет необходимости варьировать каждым коэффициентом полиномов в отдельности: изменение ЛТ, и и г от 0 до оо перекрывает весьдиапазоп изменения показателей качества переходной функции. Начнем с ЛТ. Если и и г фиксированы, то нри ЛТ вЂ” » 0 коэффициенты полпномов Ь»-»- со, собственная частота системы мо — ~ оо, а время регулирования (переходного процесса) Т„ -~ О.
При ЛТ -+.са коэффициенты Ь, — О, собственная частота системы ໠— О, а время регулирования Т„-»- оо. Выбирая ЛТ из диапазона О.=ЛТ( оо, можно обеспечить системе любое желаемое время регулирования. На декременте затухания (3.9) изменение ЛТ не сказывается. Отвлечемся от физического смысла и (число конечных условий) и будем считать его непрерывно изменяющимся параметром. Такое допущение вполне обосновано по следующей причине. Вычислим Ь, при целочисленных значениях варьируемого параметра и и нанесем результаты на графики в системах координат Ь„п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
