Батенко А.П. Системы терминального управления (1984) (1246767), страница 4
Текст из файла (страница 4)
!! !:!! ! предлагается метод последовательных приближений для миничи нщин квадратичного функционала в линейной системе. На управ- .~ ннн наложены ограничения (и, (ф т 1, а минимизируемый фуикционя ч нмгст вид (1.14) ~т хг (Т), к=з ~, (Т) — конечные значения фазовых координат. функционал (1.14) характеризует удаленность изображающей фаиой точки объекта от начала координат в момент времени Т. При ми- 13 нимальном значениифункционала эта точка будет находиться на бли! жайщем расстоянии от начала координат. Предложенный метод предполагает последовательное решение ряд более простых задач. После выполнения каждого предыдущего шаг вычпсля1отся поправки к управлениям, уменьшающие функциона (1.14).
Данная процедура отличается достаточной сложностью. Оптимальное управление представляет собой кусочно-непрерывную функ цию, мгнове11но переключаюшуюся с одного ограничения на другое. В (321 предлагается простая итеративная процедура поиска квази оптимальных терминальных управлений с любой наперед заданно близостью к экстремали. Найденные управления, представляющие собой непрерывные функции, — с обратной связью и без особенностей в конечной точке.
Они реализуют заданное в классе полиномов относительно времени движение системы. Неизвестные параметры полиномов вычисляются из краевых условий и требования минимизации задан-~ ного функционала. Используется более широкая постановка терминальной задачи, принятая в [23), с произвольным числом конечных условий, накладываемых на фазовые координаты и их производные, Оптимизация достигается за счет подбора конечных значений избыточных (не задаваемых при постановке задачи) конечных условий. Этот! подбор осуществляется процедурой случайного поиска. В заключение отметим, что основные вычислительные затраты в алгоритме 1301 связаны с выполнением требования обязательного соблюдения конечных условий. В 131) конечные условия не задаются и, следовательно, не обеспечиваются. Найденные управления представляют собой программные переключательные функции.
Практическое использование их затруднено в силу известных недостатков. В этом смысле метод, предложенный в 132), выгодно отличается от предыдущих. Вго оптимизирующий функционал содержит только тот член, который действительно необходимо минимизировать. Невязки по фазо. вым координатам в конечный момент времени Т в него не входят, а краевые условия соблюдаются математически строго. Найденные оптимальные терминальные управления являются непрерывными функциями времени и текущих фазовых координат объекта.
Как на управления, так и на фазовые координаты могут накладываться ограничения любых видов. Описанию метода посвящена пятая глава книги. Глава 2 СИНТЕЗ ТЕРМИНАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ В ЗАДАННОМ КЛАССЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 2.!. Объект исследования В данной главе изучаются проблемы синтеза терминальных управлений для динамических объектов, движение которых описывается системами линейных дифференциальных уравнений. 14 '<1<<гсматпческая модель таких объектов может быть представлена ! р я!ночной функцией. Пусть, например, она имеет вид ®, к' по+а! <<+а< Р' и р<+Ь,р<+Ь р<!+Ь р<+Б,р+р! <<и дя обозначение У = и (ао + а<р + а,р'), напишем уравнение для <арпа и производной выходной функции, которое используется при р!а1псч! ком изображении структурной схемы объекта: х<а! = У вЂ” Ь х<"! — Ь х<з! — Ь, х<т! — Ь, х<'! — Ь<, х<"!.
11а рпс. 2.1 представлена структурная схема объекта, которая со! ш < пз <ити последовательно включенных интегрирующих звеньев с <рпцатсльиымп обратными связямн, замыкающимися па ее вход. яу) л Рис. 2.! < ! и ппдпо, что модель системы произвольного <-го порядка будет иметь <руктуру, аналогичную приведенной на рис. 2.1, и длина цепочки <ш! <роторов определится порядком характеристического полпнома <к<и паточной функции. Фпзовычи координатами, характеризу<ощими состояние линейного г<ь< кта, являются функции, существующие на выходах пнтегрирузгцпх звеньев его математической модели. Требуется найти такую упрпп<ппощу<о функцию, которая, будучи поданной на вход объекта, ~ гя гпсчпла бы в момент времени Т заданные значения фазовых координат.
!1 двиной главе управления ищутся в классе непрерывных функш<й полиномов относительно времени, неизвестные коэффициенты ю!п<рых определяются из конечных условий. Для заданной структуры оы ктп и выбранного класса входных функций такой метод идентичен ущгствлению заданного движения системы. При достаточно простых г<руктурах линейных объектов данный метод характеризуется про! в<г п1 получения замкнутых терминальных управлений. Результаты данной главы послужили базой для разработки ново! ! мгтода стандартных коэффициентов <см.
гл. 3) и использованы для и <лу п пня основных математических соотношений в методе синтеза « рмппальиых управлений, реализующих заданное движение системы (гм. гл. 4). !5 2.2, Программная управляющая функция Пусть задана цепочка из г интеграторов, изображенная на рис. 2.2, и.
Фазовое состояние цепочки, которую в дальнейшем будем называть управляемым объектом или просто обьектом, характеризуется в >-мериом пространстве координатами х<'>, хс'>, ..., хо †'>, представляющими собой выходные функции интеграторов. Рвс. 2.2 Сузим множество допустимых решений и будем искать управляющую функцию в классе полиномов вида и=~ С,>>.
(2.1) >=с Аналогичный прием используется при поиске оптимальных управлений методом Ритца [33]. Примем, что число конечных условий может быть меньше, больше или равно порядку системы дифференциальных уравнений, описывающих движение объекта. Так, на систему второго порядка можно наложить одно условие — на конечное значение координаты, два условия — на конечную скорость и координату, три условия — на конечные ускорение, скорость и координату. Для получения единственного решения возьмем число неизвестных параметров управляющей функция (2.1), равным числу заданных конечных условий. 16 ! !и па фазовые координаты, пп па управляющую функцшо ограни- л пай налагать не будем.
В реальных задачах такие ограничения обыч- и ! ущсствуют. Однако будем полагать, что режим работы САУ явля«я таким, что ее управляющие органы на ограничения не стаиопяти, и работают в зоне пропорциональности. 11ри этом допущении лижс предложены простые методы синтеза терминальных управлений, >л,>>п>зация которых не связана с решением каких-либо технических лрпб>лем. Обратим внимание на то, что задача имеет чисто терминальную по- «звонку: никаких дополнительных требований, например мипимиза- ппп какого-либо функционала, на управление ие налагается.
! !оэтому вполне закономерно может возникнуть следующий вопрос: ,.!копы будут найденные управления, «плохие» или «хорошие»? На >и можно ответить, что полученные управляющие функции переводят оьскт из начального фазового состояния в конечное и являются оп! « ! опальными по критерию !' = — 1 иЧ( при числе конечных условий, з о !', «чипом порядку системы. Зто подтверждается результатами работ !>>, 171, в которых те же самые управления получены из условия ми- нимума приведенного функционала.
Таким образом, хотя постановка пашей задачи несравненно проще и совершенно отлична от принятой и указанных работах, ее решение дает «хорошие» управления, как при- вито считать в современной литературе. Этот факт свидетельствует >шшь о том, что существуют различные пути решения одной н той же >;ща«п!. Итак, вернемся к структурной схеме объекта, показанной на рпс. 2.2, а. Она состоит из четырех последовательно включенных инте- 1>раторов (г = 4). Если число конечных условий и = 2, то это озна- шет, что конечные условия наложены лишь на х"> и х!'>, а остальные фазовые координаты остаются свободными.
Если и =- 4, то конечные у! ловия наложены на все четыре координаты. Если же и = б, то конеч- пые условия наложены па все фазовые координаты, управляющую функцию и ее первую производную. Следует иметь в виду, что каждая последующая фазовая координата при движении вдоль цепочки справа палево является производной от предыдущей. Таким образом, и ко- нечных условий означают, что в момент времени Т выходная коорди- ната х!'> и а — 1 ее производных должны принять заданные значения. 1!рн и г конечные условия накладываются па все фазовые коорди- >ы и и — !. производных управляющей функции. Рассмотрим случай, когда л ( г. Управляющая функция (2.1) примет вид (2.2) Интегрируя (2.2) г раз от О до Т и приравнивая п выражений для фазовых координат к их заданным.щнечным значениям, получа- 1«.
чаем систему и алгебраических уравнений: т" ' . пт«+' '> х<'>= 1 х<>> + Х С< ', У=О, 1, ...,л — 1, (2.3) > ч (! — т)! (<. (- г — т) > >=о из которой можно найти неизвестные параметры управления С«, С„... ..., С„-и Если и ) г, управление также ищется в виде (2.2). ! Ьмепяя т от О до г . - 1, с >юмощыо (2.3) получаем первые <' плгс- Г>раических уравнений системы. Затем найдем остальные и - г уравнений, накладывающих конечные условия па управляющую функцию и ее производные: а — ! и<О= ~ " С<Т<! — '>, 1=0, 1...„п — г — 1. (2.4) , (! — <')< Получить известными методами аналитические выражения для искомых параметров управляющей функции С,, С„..., С„,, входящих в (2.3) и (2.4), не представляется возможным, поэтому необходим иной подход к решению этой задачи.
Такой подход основывается на свойст, вах самого управляемого объекта. Рассмотрим следующий пример. Пусть объект состоит из четырех последовательно включенных интеграторов и на его вход подается управление и = Со + С,! + Сг(2 + С,Г> (рис. 2.2, а). Введем в цепочку еще один интегратор, расположив его перед объектом, и подадим управление на его вход. При этом не ставим задачу управлять выходной координатой добавленного интегратора. Следовательно, число неизвестных параметров управляющей функции остается неизменным.
Для того чтобы управление прежним объектом сохранил<>сь неизменным, на вход введенного интегратора необходимо подать новое управление и, =- и = С, + 2Сз(+ ЗС<!'. Начальным условием для него будет ио == Со (рис. 2.2, 6). Если ввести еще один интегратор, то на его вход уже придется подать управление и, = и, = и — 2С, -Е 6С„<, а его начальное условие задать равным и(' = С, (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
