Батенко А.П. Системы терминального управления (1984) (1246767), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пример 3.1. Вычислим коэффициенты характеристического полинома для системы восьмого порядка (г = 3) исходя из заданного перерегулировання и длительности переходного процесса. Процедура синтеза состоит из следующих операций. 1. Задать желаемое перерегулироваиие, например о = вьГв, и время переходного процесса Та = 1О с.
2. С помощью графика (рис. 3.7) получить приведенный декремент затухания Ь = 0,69, соответствующий заданному перерегулированию. Приведенный декремент затухания можно вычислять также по аиалятической формуле ь= а — Ь!по, (3.37) 42 хорошо аппроксимирующей график. Если заданное перерегулнрование лежит и пределах Оегя ( д ( 10',4, то коэффициенты а = 0,843 и Ь = 0,103. Если же 10% ( д ( ЗОЯ/г, то а = 1,032 н Ь = 0,183. 3.
По формуле $ = С вЂ” 0,0167 (г — 2), полученной из (3.30), вычислить 0,5898 (при 5 = 0,69 и г — -- 8). 4. По формуле г л=()/г! — 1,0459) 5 ) (1 — 1,0459$). полученной из (3.28), вычислить и = 4,18 (при $ = 0,5898; г — — 8). 5. По (3.35) пли (3.36) вычислить ЛТ = 10, 1 с (вычислено по второй формуле при г= 8; л= 4,18; Т„= 10 с). 6.
По (3.25) при г —. В; и = 4,18; ЛТ = = 10,1 с; т = О, 1, ..., 7 вычислить коэй>ф1пяиею (б ты характеристического полинома передаточной функции системы: Ь„ =- 0,0758; Ь, = 0,548; Ья = Дав = 1,9; Ья = 4 187! Ьа = 6,463: Ья = 7 273' Ья = = 5,943; Ьг = 3,31. Переходная функция синтезированной снеге- б4 мы показана на рис.
3.8, Перерегулирование составило 5,9'/я, а время переходного процесса Дт 9,86 с. Напомним, что исходной информацией для синтеза системы служили следующие желае- 4 б а мыс показатели качества переходной функции: перерегулирование 5%, время переходного про- Рис. 3,8 цесса 1О с. Такая точность синтеза вполне приемлема для инженерных целей. Если величина перерегулпровання ие строго задана и может лежать в пределах ! — 236, то процедура синтеза сводитси всего лишь к двум шагам. Задавшись временем переходного процесса Т, вычислить ! з ЛТ=(0,3242 (2г — 1) Тв] / ')/ гз, а затем найти коэффициенты характеристического полинома г-т — ! 1 Ь т П (гз — 1Я), т=О, 1..., г — 1. (г-т)! Л7' ' г'='о Г!риведеииые формулы получены из (3.25) и (3.36) при л = г 3.5.
Учет динамических свойств элементов САУ Полученные во второй главе законы управления реализуются с помощью технических средств трех видов: датчиков информации, вычислительных устройств и двигателей с рулевым приводом. На рис. 3.9 в качестве примера приведена схема САУ движущимся объектом. Датчнкп информации (Д) и вычпслптсльцыс устройства (ВУ) обычно имеют достаточное быстродействис, чтобы нх динамикой по сравнению с динамикой движения центра масс объекта можно было пренебречь.
Поэтому указанные элементы не влияют на динамические свойства системы. Ее движение описывается дифференциальным уравнением второго порядка. Единственное, что вносят в схему датчики н вычислительные устройства — это погре1пностн измерений и вычислений. 43 Если динамикой двигательной установки пренебречь нельзя, то порядок математической модели объекта повысится. Параметры объекта и САУ, обеспечивающие системе в целом хорошее качество управления, выбираются с помощью метода стандартных коэффициентов, приведенного в настоящей главе. Покажем, как это делается на следующем примере. Рис, з.э Пусть динамика двигательной установки описывается инерционным звеном 1г' (р) = Гд/Ла = КдЯТдр + 1), (3.38) где ʄ— коэффициент усиления двигателя; ҄— постоянная вре- мени; Р— тяга двигателя.
Р .зло Схема управляемого объекта для этого случая приведена на рис. 3.10. Передаточная функция объекта при внешних возмущениях Р,=О (3.39) 1!усть параметры системы выбраны такими, что К,„ЦтТ„) = 1, тогда (3.39) преобразуется к виду )г' (р) а +(Ь+Птх) р +ь, р+ь, (3.40) Итак, с учетом динамических свойств рулевого привода управляемый объект описывается передаточной функцией третьего порядка 44 (рис.
3.11). Синтез управления таким объектом следует проводить согласно методике з 2.4. На рис. 3.11 использованы принятые в гл. 2 обозначения х1О>, х01 и х<'>, которые соответствуют фазовым координатам 3, У, а нашей конкретной задачи. Необходимо подчеркнуть, что рис. 3.11 является всего лишь теоретической схемой, соответствующей передаточной функции (3.40), и служит для расчета параметров реальной системы, представленной на рис. 3.10. Поставим задачу перевести объект за время Т из начального фазового состояния (х",1; хо"1; хьм) в конечное (х„"', х,"'; х,"']. Синтез управления в форме (2.14) для случая г = 3 (объект третьего порядка) и п =-.
3 (три конечных условия) позволяет найти программную со- у. ставляющую 1(1) и сигнал обратной связи т (х) = ~', Ь Ы'>. о=о Коэффициенты Ь„„вычисленные по (2.16), для нашего случая равны Ь„о = — БО/ЛТ', Ь„, =- = — 36(ЛТ', Ь„= — — 9/ЛТ. Знак « — » говорит о том, что обратные Рис. ЗЛ1 связи по всем фазовым координатам должны быть отрицательными, Приравнивая коэффициенты обратных связей на схеме рис. 3.11 найденным значениям, получаем Ьо+ 1~Та = 91АТ, Ь1 = 36(ХТ', Ьо = 60~АТ'.
Таким образом, все неизвестные параметры реальной системы (рис. 3.10) определены: ьт дто дт т„ с+и — ! Программную составляющую управления ~ (1) = ~ Ь111 рассчиты- 1 о вать не будем: в 3 2.4 на примерах показано, как это делается. Исследуем реакцию системы (рис. 3.10) на действие внешних возмущений г"„для чего найдем передаточную функцию между точкой Л (вход) и точкой Б (выход). Запишем выражение для выходной величины: а = — ~г, — (аЬо+ — Ь,+ — Ь ~ т~ ~ р р ) тл + Подставив в (3.41) принятое выше условие К„== тТл и сделав необходимые математические преобразования, получим а р (тл р+1) (Р (р) — —— Р, ро+(ь,+11тл) р ь, р+ь, Найденная передаточная функция свидетельствует о том, что САУ обладает астатизмом второго порядка по отношению к внешним возму- 45 щенпям. Постоянные и линейно-изменяющиеся во времени внешние силы пе сказываются на точности отработки заданного ускорения, лишь квадратичная функция Г, яЛ вызовет постоянную ошибку Ла.
Отметим, что существующие интегрирующие рулевые приводы, применяемые, например, в автопилотах, способны еще па единицу повысить астатизм систем по отношению к внешним возмугцающпм воздействиям. Системы с астатизмом третьего порядка, как показывает моделирование, настолько «помехоустойчивы», что изменения динамики объекта и свойств внешней среды в процессе управления практически не сказываются иа его точности. Главад СИНТЕЗ ТЕРМИНАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ, РЕАЛИЗУЮЩИХ ЗАДАННОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ 4.1. Осуществление заданного движения Во второй главе была дана методика, позволяющая находить терми.
пальпые управления в заданном классе функшш. Такой подход сложился исторически, так как во время зарождения теории терминального управления (1961 — !963 гг.) он был общепринятым. Данная методика достаточно проста. Управляющая функция с некоторыми неизвестными параметрами подается на вход управляемого объекта. Эта схема в простейшем случае представляет собой цепочку интеграторов. В результате последовательного интегрирования входной функции находится выражение для выходной функции, в которое войдут все неизвестные параметры входной функции. Из конечных условий, наложенных на выходную функцию, определяются значения неизвестных параметров управления.
Очевидно, что решение будет однозначным, если число неизвестных параметров и число конечных условий равны. Прн несложных структурных схемах объектов интегрирование с целью получения выражения для выходной функции не представляет труда и метод синтеза управлений достаточно прост. Однако на практике зачастую приходится иметь дело с довольно сложными объектами с нелинейиостью в прямом и обратном каналах и внутренними обратными связями, замыкающимися пе обязательно на вход системы. В этом случае получение выражения для выходной функции представляет собой проблему.
Поэтому естественно возникает вопрос: а пс проще лн будет, если выходную функцию пе искать, а задавать? Задавать так же, как ранее задавалась входная функция. Определить из конечных условий ее неизвестные параметры, а затем, двигаясь по структурной схеме справа налево и последователыю дифференцируя выходную функцию, дойти до входа системы, получив тем самым управляющую функцию, лриложенную к входу. 4Ь 14ак будет показано в пастоящей главе, такой подход приводит к 1ипверсальному методу синтеза терминальных управлений, применимому к любым объектам, движение которых описывается линейными пли нелинейными дифференциальными уравнениями.
Метод синтеза » права также весьма прост и легко реализуем технически. В ием отсутствуют проблемы, обусловленные интегрированием сложных нелинейных функций. 11 то же время оба метода тесно связаны друг с другом. Более того, »ионные математические соотношения, используемые при синтезе справа, получены пз соответствующих формул первого метода — метода синтеза слева.
Нетрудно заметить, что в основе второго метода лежит задача осуществления заданного движения системы, которая рассматривается виже. Эта задача была, по-видимому, впервые поставлена Е. А. Барбашппым (39 — 43). Пусть движение объекта описывается следующей системой дифференциальных уравнений: — =~, (х„..., к„, !)+ ср, (С„..., С„д„..., у„, 1), 1= 1, 2, ..., и.
дх~ (4.1) Здесь С„..., С» — постоянные параметры; у„..., у — функции времени С Наряду с системой (4.1) на промежутке О ( 1~ Т задается траектория х, = ф~ (1), 1 = 1, 2,..., и, которая не удовлетворяет системе (4.1). Требуется отыскать такие параметры С,,..., С» и управляющие функции у, (1),..., у (1), чтобы решение х; (г) системы (4.1) приближенно осуществляло бы движение по заданной траектории ф (1) иа участке (О, Т). В качестве меры близости иайдеиного решения применяется среднеквадратическое значение ошибки, с которой заданная траектория удовлетворяет системе (4.1). Желаемое движение системы задается полппомами п~ ф = ~ч; Сг» У» (1), 1=1,2, ..., л.
»-1 Миппмизируется критерий следующего вида: з» Н)=У~ ~У С; у (1) — ~;(г)3 чЖ. о Показано, что когда система фуикций у, (1),..., д„(У) является полной, то выбором достаточно большого числа т можно сделать Н как угодно малым. Б (41 содержится обзорный доклад Е. А. Барбашина по данной проблеме.
Б пем подчеркивается, что задача приближенного осуществления заданного движения в вариационной постановке возникает лишь в тех случаях, когда система (4.!) неразрешима относительно управлений. Неразрешимость системы может быть следствием недостаточно большой размерности векторов С и у (1) (меньше порядка системы). Может случиться также, что выбор управления ограничен каким-либо 47 узкоочерченным классом функций, например кусочно-постоянные, тригонометрические, ограниченные по модулю.
В докладе отмечается, что вариационная постановка задачи поиска программных управлений, приближенно осуществляющих заданное движение системы, «часто приводит к конструкциям, требующим больших вычислений, или к конструкциям, технически невыполнимым или трудна выполнимым. В этом случае приходится отказываться от принципа оптимальности н ограничиваться приближенным решением задачи, преследуя цель максимального повышения качества отслеживания в рамках технических возможностей». В настоящей главе задача осуществления заданного движения используется для синтеза терминальных управлений. Рассмотрим два случая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
