Батенко А.П. Системы терминального управления (1984) (1246767), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Из первого уравнения системы (4.6) следует, что для цепочки интеграторов и =- х<'>, т. е. г-й производной выходной функции, Для более сложных объектов г-го порядка управление может быть функцией большего числа производных, например и = 1(х<'>, х<' — '>, ...,х<'>). Каждая из производных, входящая в приведенное выражение, прн замыкании системы становится функцией текущего фазового состояния объекта и фазовых координат ведущей точки 5, 53 Подпрограмма РКОТО3 вычисляет текущие значения этих производных, входящих в формулу для управляющей функции. Практическое применение подпрограммы будет показано в 9 4.9. Пример 4,2. Пусть имеется объект с обратными связями, изображенный на рис.
4 1. Требуется перевести его вз начального фазового состояния: х<г< = 0; <г) г хе ' = 3382,42 при <=Он конечное состояние: х<'! = 500 000; х„'! 0; х<'! = 0 при <= Т= 300 с. По (4.8), 14.13) — (4.15) вычисляем: С,=-О; Сг = 3382,42; С, = — 0,4908698; Са — 0,0354 Сг = 599!.10-г Задав аТ = 10 с, по 14.20) рассчитываем козффицнепты управля<ощей функции (4.19): Ьо = 2028,4702; <г< = 405,08895; /гг = 0 1219068< Ьа = — 4 1043' .10-П Ь вЂ” — 7 18924.10-г' г.
Козффициенть< отрицательных обратных связей Й„е = — 12ЙОг 0 12<ах< = 6710 = 0 6. уо На рис. 4.2 представлены результаты моделирования движения управляемого объекта. г<) Длп облегчения расчетов щ> (4.8), (4.10), (4.1!) и (4.16) разработаны стандартные подпрограммы на языке Фортран, приведенные в приложении 1. Подпрограмма КОРАВ (П!.2) реализует (4.10) и (4.11). Она позвоРнс. 4.2 ляет рассчитывать коэффициен- ты полинома (4.6) в развернутом виде и представлять их в форме (4.13), (4.14).
Подпрограмма КОЕР (П!.!) рассчитывает коэффициенты полинома (4.6) по (4,8), (4. 16) . 4.3. Терминальное управление одномерным линейным объектом Пусть движение линейного объекта описывается следующим дифференциальным уравнением г-го порядка: х'1+Ь,,х<'-'1-1-...+Ь,х-)-Ьдх+Ь,х=и, (4.23) где х — выходная функция; и — управляющая функция, Ь; — постоянные коэффициенты. Управляемый объект может быть задан также своей передаточной функцией )Р (Р) и р'+ь,,р' '+...+ь,р+ь,р+ь которая соответствует (4.23).
Уравнение (4.23) дает связь между управляющей и выходной функциями объекта. Выходная функция, как известно, задается в виде по- 54 линома (4.5), неизвестные коэффициенты (.'! которого определяются пз граничных условий, наложенных на нее. Подставив (4.5) в (4.23), получим выражение для терминального управления заданного линейного объекта: ) .ч (>+))! > (4.25) >-о 1-о Раскрыв (4,25>) н сделав приведение подобных членов прп одинаковых степенях 1, получим с+а — 1 и= ~ й>!>, (4.26) г где й! = ~ ( + ) и ловий); л — число Ь,С>+ч, г — порядок объекта (число начальных ус- конечных условий. Рис.
4Л Пример 4.3. Пусть управляемый объект представляет собой цепочку из четырех инерционных звеньев (рис. 4.3). Его движение описывается следующей системой дифференциальных уравнений: хе = х, — вехе', х! = «з — г>гхт, хз = хз — г>зхз, хз = и — азха. (4.27) Передаточная функция объекта (4.27) имеет вид >р (р)— и Р4+Ьз да+за Рз+Ь, Р+Ьа ' (4.28) где Ь. = 3Ы>!баба! Ь, = бе + и! + бз + бз, Ь! = беА!>а + >>еА!!з + бо!(збз + Ф~з!>з' (4.29) Ье = боб! + бебе + бонз + Ф~з + Ф~з + бзбз Козффпциеиты обратных связей инерционных звеньев имеют следующие зна- чения: !>р — — 1; д, = 1,5; бе = 2; Ыз — — 2,5, Заданы граийчные условия, наложенные на выходную функцию хся ори Г=Оахо!Оо>= 5; х!!>=2; х~а> 1 х!З> — 0,5; прн >=Т ! х!о > =10; х~ >„=4; х~Д>„=1,5; х!З> =1 Требуется найти управление и, обеспечивающее при ! = 0 и Т = 10 с вы. волнение заданных граничных условий: четырех начальных (г = 4) и четырех конечных (и = 4), Выходная функция объекта (4,5) должна быть задана следу!ощей: хо >=Со+С! ! (-Се !з+Сз М+С! !! ! Сь !з 4-Сч !е !.С! М (4 30) 55 Дифференциальное уравнение в форме (4.23), описыва)ощее движение объекта, непосредственно получается из передаточной функции (4.28): х(4)+Ьа х(З)+ Ьь х(г) !.Ь» х(()+Ьо х(0) =и, где х<'> задается выражением (4.30), а х() > =С»+2Сз <+ЗСа (з+4С» <з+БСь <а+6С» (ь+7С, 1», х<г) =2Сь+БСь 1+12С» <ь+20С» (з+ЗОСь <»+42Сз <ь х<з> =-6Са 1 24Са <+ БОСЬ <з Р!2ОС» <з-(.210С» (*, х<4> = 24С»+120Сь (хх 360Сз <а+840С» <ь, (4.32) Подставив (4.30), (4.32) в (4.31) и сделав приведение подобных членов при одинаковых степенях (, получим иь йо+И»1+Ьь <Р+Ьз(ь+й» <»1 Ьь (ь+йз (з ьй, П (4,33) где Ьо = ЬоСо + Ь»С>+ 2ЬзСз + 6ЬзСз+ 24С», Ьа = ЬоС» + 2Ь»Сз + БЬзСз + 24ЬвСа + 120Сь йз = Ь»Сь + ЗЬ»Сз+ 12ЬзС»+ 60ЬзС»+ 360Сь йз = Ь»С + 4Ь»С»+ 20ЬьС + 120ЬзС + 840С», й» = ЬьС» + 5Ь»Са + ЗОЬьС» + 2!ОЬзСз Ьь = ЬьСь + БЬ»С» + 42ЬзС,, йо = ЬоС»+ 7Ь»С».
Йт = ЬоС». (4.34) С помощью формул (4.8), (4.10) и (4.11) находим выражения для параметров С„..., Сз выходной функции (4.30): (4. 31) Ть О' О Тз О' О 7"а О' ЗТ 74 0 к Тз О к 2Ть О'к БТ 0 к Сь= — х<0> + — х()) + — х<г> + — хбз)— 84 о 45 ) 10 '= Ть о О Т» оо Ть о О Та,о- 8'( х<о>+ 39 «> 7 ы>+ ! <з> 7 ь О, к 7 » О, к Тз О, к 2 з О, к Тз хо,о Ть хо,о 27;, о.о ЗТз о,о + — х > — — х >+ — х< > — — х5>, 70 <О 34 <) !3 г ! О, к 7 ь О, к 2Т» О, к С,= — х<0) -(- — х«> '- — х(г> + — х<з>— 20 о !0 2 Тз О,О Ть О,О Ть 0,0 БТа О,Π— — х< >+ — х > — — х<г>+ — х< > .
7»о,кТ»о,кТьо,кбТ»о,к' (4. 35) Коэффициенты передаточной функции Ь„Ь(, Ьз и Ьз, входящие в (4,28), вычисляются по (4.29): Ьо = 7,5; Ьь = 19,25; Ьь = !7,75; Ьз = 7. Подставив в (4,35) заданное время перехода, начальные и конечные условия, получим: Сь = — 5; Сь = 2; Сз = — 0,5; Сз = 0,0833333; С» = — 9,9999х 56 )(10-з; С, =1,5 10-2; С, = — 1,3833.10 — а; С, = 4,99999.10-е.
Подставнв найденные значения С< (! = О, 1... 7) в (4.34), вычислим коэффициенты управляющей функции (4.33): йе = — !3,49; й) = 3,125; еэ = — 0,4813; йз = 0,27551; йч = 0,003064' йэ = — 0 0011 йв = — 0 00036372; 1>т = 3,74999 1О-з. Промоделкруем движение объекта (4.27) под воздействием найденной управляющей функции. Но предварительно вычислим начальные условия для фазовых координат объекта х), хэ, хз. Г!о условиям задачи известны начальные значения выходной фазовой координаты х<е>, н ее производных х)>)е, х$2>ю х)э)О.
так как между производными выходной 4>йзовой координаты и внутреннимй фазовыми -йг -64 -ка -а<> -ь,'а Рнс. 4.4 Рис. 4.5 коордкнатамн существует однозначное соответствие, определяемое уравнения- ми движения (4.27), то это равносильно заданию начальных значений всех фазо- вых координат.
Действительно, из (4.27) имеем: хг = алехе + хе) хз = <Г)х< + хг, ХЗ = <(ЗХО + Хэ. (4.36) (4.31) (4.38) (4.39) Подставив (4.36) в (4.37), получим хз = беАхо + («а + «д) хе + хе. Подставив затем (4.39) в (4.38), найдем Переписывая (4.36), (4.39) н (4.40) для начального момента времени 1= О, определим связь между начальными значениями внутренних фазовых коорднпат объекта х, е, хэ „хз О и начальными значениями производных выходной фазавой координаты: 1,0 е О О+ хо О, х2 Π— <ГО <<< хо О 1-(ио >-<Г<) хо О+ хо О, (О> < Ы (О> <>, <,> хз, о= о <Г< <<з хе, о+(бе 6<+<<О <Гэ+<<< <(2) хо, О ( (бе+<<2 ! бэ) хо О+ хо '(О> «) (2) (3) (4.4!) Подставив в (4,4Ц известные из условий задачи начальные значения х'О>э, хе<(>р, х~'>, х~з>>ю вычислим начальные условия для системы днффереяциальйых УРавпенни (4.21): хо.е = 5; х),О = 3; хз,о = — 3,5; хз,е = — 6 На рис.
4.4 н 4.5 представлены результаты моделирования. При ! = Т = = !О с выходная фаэовая координата и ее пронэводные принялв заданные конечные зпачення. 57 14 (г <,О аа 64 42 ха = боя<<<эхе + (<Го<() + <Го«а + <Г<<(э) хэ + (<Ге + б< + <Гз) хе + хе. (4.40) 4.4. Синтез терминальных управлений методом пересчета краевых условий В предыдущих параграфах дана методика синтеза терминальных управлений, обеспечивающих выполнение краевых условий, наложенных на выходную функцию и ее производные. При этом использовалась математическая модель, представляющая собой цепочку интеграторов с обратными связями, замыкающимися на ее вход.
Однако в инженерной практике чаще встречаются объекты иной структуры, обратные связи по фазовым координатам у которых замыкаются в произ- Рвс. 4.6 вольные внутренние точки математической модели. Кроме того, модель может иметь нелинейности, входящие как в прямой, так и в обратные каналы прохождения сигналов. Целью настоящего параграфа является разработка метода синтеза терминальных управлений для линейных и нелинейных объектов произвольной структуры. Данный метод базируется на следующей идее: краевые условия по внутренним фазовым координатам пересчитываются в краевые условия для выходной функции объекта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
