Батенко А.П. Системы терминального управления (1984) (1246767), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Соединим точки плавными кривыми и получим графики изменения Ь» при непрерывном изменении п. Формула (3.25), полученная с помощью гамма-функций, позволяет вычислять Ь, при нецелочисленпых значениях а. Итак, если ЛТ и г фиксированы, то при и — »- 0 декремент затухания (3,9) стремится к нулю и система теряет устойчивость. При и = О полипом (3.21) принимает вид р' =- О. Все его г корней становятся кратными и располагаются в начале комплексной плоскости. При п-» оо все коэффициенты (3.25) полннома (3.21), в том числе и Ьм являющийся произведением корней, также стремятся к оо. Это означает, что корни полинома устремляются к — со вдоль действительной оси комплексной плоскости. Собственная частота системы (3.8) неограниченно возрастает, а декремент затухания (3.9) стремится к единице.
Таким образом, изменение и в пределах 0 =' п ( оо приводит к вариации декремента затухания и времени регулирования системы в пределах 0 ( й ( 1 и оа ) Т„-> О. Что касается линейной интегральной оценки, то с ростом п она монотонно стремится к нулю и не имеет экстремумов, в чем можно убедиться, продифференцировав (3.24) по и. Отметим еще одно интересное свойство полппомов, связанное с вариацией ЛТ и и.
Из (3,24) видно, что величина линейной интегральной оценки прп фиксированном г зависит лшпь от ЛТ и и. Поэтому па плоскости ЛТ, и существуют липни равных l. Зададим, например, 7 = 1, и, соответственно для систем второго — десятого порядков получим уравнения этих линий: г = 2, ЛТ =- (п + !)/2, г =- 3, ЛТ = (и + 1)!3, г =- !О, ЛТ = (п -! 1)!!О. зз Е!а рис. 3.3 в качестве примера представлены линии равных линейных интегральных оценок для систем второго, третьего, четвертого и десятого порядков.
Если с помощью этих линий получить любые пары значений ЛТ н и, а затем использовать их для вычисления а„ч = = О, 1,„., г — 1, то площади под кривымн переходных функций этих систем будут равны единице. Рассмотрим теперь влияние изменения г. Если соотношение между п и г фиксировано, т. е. л = йг, й =- 1, 2, ..., оо, и порядок системы г - оо, то декременты затухания (3.10) стремятся к некоторым пределам, выражаемым иррациональными числами. Для й = 1, 2, 3, 4, 5 приближенные значения этих пределов вычислены л 3 на ЭВМ и приведены в табл.
3.2. Собственная частота системы (3.8) при г — ~ оо и 4 л =- лг также стремится Ю к оо. Время переходного 7 процесса Т,— О. При этом линейная интегральная оценка стремится к преде- З Х 7 Я и л лу, зависящему от й: 11ш1= Г-~ Рис. З.З = АТ((й + 1). Итак, мы выяснили влияние ЬТ, п и г на свойства полиномов и показатели качества переходных функций. Используем теперь этн свой. ства для решения некоторых технических задач. 3.4. Синтез линейных систем с заданным качеством переходной функции Понятие «декремент затухания», распространенное выше на системы произвольного порядка, является основой для синтеза линейных систем. Как известно, одним из стандартных сигналов, с помощью которого проверяют качество САУ, является единичный скачок.
Время Т„отработки системой единичного скачка и перерегулированне д принимаются обычно за характеристики качества переходного процесса. Для систем второго порядка величины д и Т„ полностью определяются декрементом затухания з и собственной частотой со0 системы: йу (р) =- в'+2$ет я+и! Исследуем связь декремента затухания с перерегулированием. Однако прежде получим приближенные, более простые и удобные в работе выражения для ы0 и Е Задав и (3.8) ЛТ = 1, построим графики функции с»о (и) для систем различных порядков.
Как видно из рис. ЗА, функция ы (н, г) прн из- 39 мспснии и в пределах от ! до оо может аппроксимироваться уравнением прямой вида ооо (и, г) = (а1„1 + Ь (и — 1) )7ЛТ. (3.26) Коэффициенты а1„1 и Ь в (3,26) находятся следующим образом 137). Положим в (3.8) и (3.26) и = 1, а затем приравняем их друг другу.
Получим а1„1 = тг'г!. Изменяя затем г и и в пределах 2 е= г ( 8, 1(71(2г (обычные »рабочие» диапазоны прн синтезе) и сравнивая точное значение ыо (3.8) с приближенным (3.26), находим по критерию мини- гоо о .7В ав В,о в,г о-в 7 вг ао вв вв 1в (г 44 йо Рис. З.З гВОВВ7ВВВ Рис. 3,4 гг 5 =и /(Уг! +1,0459 (и — 1)~.
(3.28) Соотношение (3.28) дает простую связь между декрементом затухания $ и количеством наложенных конечных условий и для системы г-го порядка; оно очень важно, так как на его основе в дальнейшем производится синтез систем с желаемой переходной функцией. Итак, посмотрим, какое влияние оказывает декремепт затухания на качество переходного процесса систем различного порядка. Переходные функции системы второго порядка (г =-- 2), соответствующие различным значениям 9, были получены в 63.! н представлены на рис. 3.2.
Для сравнения построим несколько переходных функций системы восьмого порядка (г — 8), задавая и и, следовательно, $ различные значения (рис. 3.5), Вычислять коэффициенты характеристического полинома передаточной функции )р Х Ьо (р) 7 10 ро+Ь ро+Ьв ро 1-Ьо р»+Ь ро+Ь» ро+Ь» р»-1-Ь р+Ьо (3.291 будем по (3.25), положив в ней ЛТ = 1.
40 мума их расхождений величину Ь == 1,0459. Итак„приближенное, но более простое выражение для о»о имеет вид с ооо = 1Ьг г1 -';1,0459 (и — 11)1 ЛТ. (3.27) Формула (3.27) дает погрешность менее 2%. Подставляя теперь (3.27) в (3,5), получаем также простое приближенное выражение для декремента затухания систем произвольного порядка: Переходные функции получаем, интегрируя следующую систему дифференциальных уравнений при входном воздействии Г (1) = 1: х<г> = Ьо (1 — х(о)) — Ь, хп> — Ьб х(о) — Ьо х(э>— Ьб х<ч Ьб х(б) Ь х(и Ь х(т) х(б) х(1) х(б) — х(6) х(4) х(б) Ф х<З) =х(4>, х<>) --х(б>, х(» = — х(2>, .
(О) = '(». Сравнивая переходные функции систем восьмого и второго порядков (рис. 3.5. и 3.2), замечаем, что с ростом г при одинаковых значениях в перерегулирование уменьшается и одновременно растет быстродейст- 2% гп 24 24 гп 1П гп 1б 12 1г пг пд пб пд дп Д1 ПП дп 'с ПП П,> ПП ПП Рис, 3.7 Рис. 3.6 вие системы. Так, для системы восьмого порядка при $ = 0,71 перерегулирование составляет 1%, а для системы второго порядка при $ =- = 0,707 оно равно 4'о.
Время переходного процесса Т„ соответственно 0,84 и 2,4 с. При отработке системой единичного скачка время переходного процесса Ти определялось в момент пересечения выходной координатой х<'> отметки х)о> = 0,99. Таким образом, при равных $ характеристики качества переходных процессов систем различного порядка не совпадают, Следовательно, величина $ может использоваться для сравнения между собой систем одинакового порядка.
Сравнивать качество переходного процесса систем различного порядка будем с помощью приведенного декремента затухания, к определению которого и перейдем. Г1олучим переходные функции систем второго — восьмого порядков при различных значениях $. На рис. 3.6 построены зависимости величины перерегулирования д (в процентах) для этих случаев. Замечаем, что кривая <Г Я) с ростом г равномерно сдвигается влево, практически сохраняя свою форму. Отсюда следует, что при расчетах систем различного порядка можно обойтись одной кривой, построенной для г = 2 (рис.
3.7). При этом приведенный декремент затухания ~ = $ + 0,0187 (г — 2). (3.30) 4! Равные значения ь обеспечивают системам любого порядка одинаковые перерегулирования, равные перерегулированню системы второго порядка при $ = ь. Вторая основная формула, используемая прн синтезе, связывает время регулирования Т, линейную интегральную оценку т', порядок системы г и параметр и. Т = 3 08457 ггодьььвуго,юзь (3.31) Значения констант в этой эмпирической формуле были найдены методом случайного поиска [38). Ее максимальная погрешность не превышает 3%. Учитывая, что 3,0845 3 1; иолввьь )г и и го,ызь Р' г преобразуем (3,31) к менее точному, но более удобному для вычислений выражению Т, = 3,! ргл/г'. (3.32) Формула (3.32) дает погрешность определения Т, менее 5ой.
Длительностью переходного процесса Т„считается промежуток времени, в течение которого переходная функция принимает 0,99 своего заданного значения. Подставив (3.24) в (3.31) и (3.32), получим Т 3 0845ЛТпо,1ьььь го.вать)(г+ и Ц е Т,=3,)ЛТМиг У(г+ п — 1). (3.33) (3.34) При синтезе систем может использоваться любая из этих формул; при этом (3.33) несколько точнее, а (3.34) проще для вычислений. Из этих формул получим следующие, которые потребуются нам в дальнейшем; ЛТ =0|3242 (г-1- и — 1)Тв)(ио,ььььв голоте) (3 35) 6 КТ.= 0,3242 (г+ п — 1) ТпЯпгз . (3,35) Под синтезом системы будем понимать процедуру определения коэффициентов характеристического полинома ее передаточной функции, исходя из заданных требований к переходному процессу. Покажем методику синтеза на примере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
