Батенко А.П. Системы терминального управления (1984) (1246767), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть движение объекта описывается системой дифференциальных уравнений х, = ~, (х„..., х„, им..., и„), 1 = 1,..., г, и г. (4.2) Здесь г — порядок объекта; х„..., х„— фазовые координаты; и„... ...,и — управляющие функции; 1„..., ~„— непрерывные функции фазовых координат и управлений. Ограничимся классам объектов, для которого система уравнений (4.2) разрешима относительно управляющих функций. К этому классу относятся линейные объекты и значительная часть нелинейных. Задача осуществления заданного движения для принятого класса объектов может быть решена точно, поэтому в вариационной постановке нет необходимости. В некоторых случаях система (4.2) имеет одну управляющую функцию (т =.
1), полностью управляема и может быть приведена к виду ~р (х х х ... хьз и(1)) =О. (4.3) Разрешив (4.3) относительно управления, получим и (1) = 6 (х, х, х, ..., хса). (4.4) Иногда движение объекта задается сразу в форме (4.3). В этом случае переход к форме Коши необходим лишь для того, чтобы решить систему (4.2) на ЭВМ. Наиболее интересные вопросы задачи осуществления заданного движения возникают при ее вариационной постановке; именно в этом направлении происходит развитие теории.
В тех случаях, когда системы уравнений, описывающие движение объектов, разрешимы относительно управлений, задача имеет точное решение и проблема сводится к выбору функций хн задающих требуемое движение системы. 4.2, Выбор функции, задающей требуемое движение системы Предположим, что движение управляемого объекта г-го порядка описывается уравнением (4.3), Его выходной функцией служит х (т), а управляющей и (().
Будем задавать желаемое движение объекта в классе непрерывных г раз дифференцируемых функций. Согласно 4З теореме Вейерштрасса о приближении любая непрерывная функция может быть аппроксимирована полиномом с любой наперед заданной точностью. Поэтому в качестве функции, задающей требуемое движение системы, может быть выбран полином от времени следующего вида: »+» — ! х (!) = ~ч~! С; г! (4.5) сг а который содержит г + и неизвестных параметров С,.
Здесь г — число начальных, а и — число конечных условий; из этих условий однозначно определяются неизвестные параметры полинома (4.5). Выбор полиномов в качестве класса функций, задающих требуемое движение объекта, имеет следующие преимущества. При любых линейных преобразованиях полипом остается полиномом, изменяется только его степень. Его неизвестные параметры С! определяются в результате решения системы линейных алгебраических уравнений. Как будет показано ниже, можно избежать и этой трудности, так как между параметрами С; существует достаточно простая рекуррентная связь. Рассмотрим вначале простейший класс управляемых объектов— цепочку интеграторов г-го порядка. Этот объект замечателен тем, что его фазовыми координатами служат выходная функция и г — 1 ее производных. Все соотношения, которые будут получены для цепочки интеграторов, найдут применение и для объектов произвольной структуры.
Движение объекта, состоящего из г последовательно включенных интеграторов, описывается следующей системой дифференциальных уравнений: '! =а х!' ~ "!=хо ~! т=-О, 1 ... г — 2. (4,6) »+» — 1 х!4! = ~~ ! С!(!-!, г=О, 1, ..., г !-и — 1. (4.7) /=! Π— !В Подставив в (4.7) ! = О, из начальных условий определим первые г неизвестных параметров: С! = х!!>(!!, ! = О, 1,..., г — 1, (4. 8) где х!'! — начальные значения выходной функции и ее производных.
49 Требуется найти такое управление и, которое переводит объект в течение времени Т из начального фазового состояния х',"! (ч =- О, 1,... ...,г — 1) в конечное, обеспечивая выполнение и конечных условий х„' ' (т=О, 1, ...,п — 1), Неизвестные параметры С! выходной функции (4.5) находятся нз граничных условий на левом (при ! = 0) и правом (при ! =- Т) концах фазовой траектории. Последовательно дифференцируя выходную функцию (4.5), находим выражения для фазовых координат: Остальные и параметров находятся решением системы уравнений (4.7), записанной для конечного момента времени ! = Т: г+л — ! х(') = ~ ~ С! Т! ',1= — г, г4-1, ...
г+и — 1. (4.9) (! — гр Для решения системы линейных алгебраических уравнений можно применить любой пз стандартных численных методов. Однако, как показывает опыт решения подогшых задач на ЭВМ, прн большом числе конечных условий и и больших интер/ !) валах управления Т матрица системы (4.9) содержит столь большие числа, что стандартные подпрограммы зачастую выходят на аварийный останов по переполнени!о. Поэтому дадим аналитический способ решения системы (4.9), основанный на специфических свойствах объекта (4.6).
Как показано в 2 2.2, при переходе к замкнутым законам управ- ! 1 Рнс. 4.1 ления для цепочки интеграто!)ов справедливо соотношение С! = (- (1С! т/Ж, устанавливающее связь между коэффициентами полинома (4.5). Используя это соотношение и формулы (2.5), (2.6), удалось получить следующие развернутые выражения (вывод не приводится ввиду его громоздкости): г — ! ((г! л — ! «(г! -от ч=о~ (г+и — ч — 1) ! ) (,! „(г+и — ч — 1)1 (и — 1)1 (г — ч)1 ч) г! (и — ч — 1)1 ч) г-! С вЂ” ч; ' 1,(!! —,)! ).,(!(-)! (! ч 1) ) (11(-,)1,(!г)г)! х(ч) Р о л-! (й(! — )! (! ч 1) ~,((! — )! ))(г! г)! х(ч) ч-о !'=г+1, г+2, ..., г+и — !.
(4.10) (4.11) Здесь хо, х„— начальные и конечные значения выходной функции (ч) (ч) и ее производных; Т вЂ” заданное время перевода системы. Верхние индексы коэффициентов 4ч '1, Ь~~ч '1, п)Ч'1, Ьч!'! означают, что при вычислении очередного С! значения этих коэффициентов берутся от предыдущего С;, и 'от С, для одних и тех же значений нижних индексов. При этом считается, что коэффициенты с отри цательными нижними индексами равны нулю: (( ! = Ь т —— О. Пример 4.1. Пусть имеется модель движения объекта (па рис. 4.1 — сплошные липин), состоящая нв двух последовательно включенных интеграторов (порядок объекта г 2): х(!) = и, х(е) = х(г). Известно начальное (прн ! = О) 50 фззовое состояние обьекта: х',о) — координата и х<') — скорость.
Требуется найти такую управляющую функци>о о (!), О <( Т (ускорение), которая н момент времени 1= Т обеспечила бы объекту: координату хк ', снорость х„ (о). <> ускорение 4 >. Из постановки задачи следует, что необходимо удовлетворить (о) два условия палевом (г = 2) и три условия (л = 3) на правом конце фазовой траектории. Требуемаи выходная функция (4.5) для данного случая будет иметь вид к<о> = Со+ С> !+ Со !о+Со (о+ Со И, (4.12) Первые два коэффициента полинома (4.12) находятся с помощью соотношения (4.8).
По формуле (438) находим выражение для Со( С = — — х<о) — — х(').)- — х< > — — х >+ — х< >. (4.13) О 3 б, 3 <, То о Т о То Т к 2 к Заполняем табл. 4.1, куда заносим найденные значения о!з) (» = О, 1) и й<э! (» = О, 1, 2), входящие в (4.13). С помощюо (4.!!) находим выражение для Со, используя при этом данные табл. 4.1: Со= в х( е) + — х«) — — х > + — х > — — х< > . (4 .
14) 8 3 8 <о 5 <> 1 х То о Тз о Тз к Тз к Т к Таблица4.! Значения иоэффициентов параметра Со Каоффкккокт ) !2! + 1/2 Заполняем табл. 4.2, куда заносил) найденные значения Н» (» = О, 1) (3) и й» > (» = О, 1, 2), входящие в (4.14). Используя данные табл. 4.1 и 4.2, по (4,1!) находим выражение для последнего коэффициента выходной функции: Со х(о> х<>)+ х< > х< >+ х< 3 1 3 о 2 ) 1' )о о То о ' То к То к 2Тз к Таблица 4.2 Значения коэффициентов параметра Со »=о Кооффкккоот л(з) >>[з) » 51 Выходная функция (4.12), удовлетворяющая заданным краевым условиям, полностью определена. Теперь остается найти входную управляющую функцию, связь которой с найденной выходной функцией дается первым уравнением системы (4.6) при г = 2: и = хп> =- 2С, + 6Са(+ 12С,!з.
(4.16) Итак, программное терминальное управление найдено. Для подсчета неизвестных параметров управления можно вместо (4.11) пользоваться и другой рекуррентной формулой, более приспособленной для машинной реализации: с,.= '~ '+" ' "' с,+ (г+ п — ! — 1)1 (! — т)1 Т ч~~ ( !) (г+и — ~ — !)1 <~> 11 (г+л — т — т — 1)1 т> Т< < =г, г+1, ..., г+и — 1. (4.1 6) ц — х<е> х<1> + х<о> х<1>+ 12 6 1 6 о 3 (т — !)и т — ! (т — !)е ' т — 1 + — х >. 1 К (4.
17) Первые г параметров С! (> = О, 1,..., г — 1), как и прежде, вычисляются по (4.8). Их значения входят в первое слагаемое (4.16). Выражение (4.15) получено из (4.10) тем же приемом, который применялся в 2 2.2 для получения рекурреитных соотношений между коэффициентами полинома (2.1). При последовательном добавлении интеграторов на входе цепочки (см. рис. 2.2) и неизменном числе заданных конечных условий индекс г в (4.10) становится индексом 1 (1 =- = г, г + 1, ..., г + и — 1) и (4.10) приобретает вид (4.16). Перейдем теперь к синтезу терминальных управлений с обратной связью. Воспользуемся методикой, предложенной в гл. 2 и преобразуем программное управление (4.!5) к замкнутому виду. Затем приведем формулы для общего случая.
Будем считать начальное фазовое состояние объекта текущим, поэтому положим в (4.15) > = О, в (4.13) заменим начальные значения фазовых координат нх текущими значениями, а вместо Т подставим оставшееся время движения Т вЂ” 1. Полу- чим Терминальное управление (4.17) замкнуто — оно имеет обратные связи по фазовым координатам х<'> и х<'>, но обладает особенностью конечной точке, затрудняющей его практическое использование: при 1: = Т знаменатели некоторых его составляющих обращаются в нуль.
Устранение особенности производится таким же способом, как н в гл. 2: конечная точка делается подвижной и располагается на временном интервале АТ впереди изображающей фазовой точки объекта. Параметры движения хл<" ведущей точки вычисляются по (4.7) при замене в ней 1 на > + ЬТ. Подставив теперь в (4,17) ха" вместо 62 х'," (о = О, 1, 2), а вместо Т вЂ” 1 постоянный временнбй интервал бТ, получим закон управления без особенностей в конечной точке: и = — х<'> — — х<'> + — х< > — — х<'>+ — х<о>. (4.18) а о аТ аТ' ' аТ 2 Заменив в (4.18) хз ', ха<> и хз > их развернутыми выражениями и приведя подобные члены прн 1! (! =- О, 1, 2, 3, 4), получим окончатель- ное выражение для терминального управления с обратной связью; и =- )го + !г>г + >гого+<гог'+><4<о + <г'ох<'>+ <г„,х<'>, (4.!9) где х<'>, х<'> — текущие значения фазовых координат объекта (коор- дината и скорость); 1 — текущее время (О =! ( Т); 12 6 <го= С,+ — С,+2С„ ЬТо ЬТ 12 12 lг>= С,+ — С,+6Со, ЬТо ЛТ )го = — С, + — С, + 12С„ аТо ' аТ 12 24 .
12 )го = — Со+ — Со йо — Со, <> ат ат' й„о = — 12/ЛТо, х„, = — 6< АТ. (4.20) Закон управления (4.19) — замкнутый; на рис. 4.1, где изображена структурная схема объекта, обратные связи показаны штриховой ли- нией. В заключение приведем формулы для общего случая: о+о- ! о — ! и= )' <г>1!-)- У /г х<'> (4.21) )=о .=о где ъ~ Г1 (г+а -т — !)1(!+У)! й,= г !+о~ 1! (и — 1)! (г — у)! у! ЛТ г! (!+и — о — 1)! (4.22) (» — 1)! (~ — ~)! ~!ат' Способ замыкания системы путем реализации «погони» изображающей фазовой точки объекта за ведущей фазовой точкой, который здесь применен, реализован в стандартной подпрограмме РРОТОБ (П1.3), приведенной в приложении 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
