Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Здесь, однако, вместо у удобнее ввести новую фазовую координату я, определяемую соотно- шением 2.З. Оптимальный запуск искусственного спутника 49 двигатель. Дифференцируя (2.37), получаем (2.38) Уравнение (2.11) в этом случае эквивалентно следующему соотношению, полученному с учетом (2.9): л = о (! + — ) = — о з)п О. о! (2.39) у) а Зависимости (2.8), (2.9) и (2.39) образуют систему уравнений связи относительно фазовых переменных и, о, а.
Вновь О является единственной управляющей переменной. Соответствующая функция Лагранжа дается выражением Г= — 1„)созΠ— Л.(!з!пΠ— д) — Х, з!пО. (2АО) При 1=О должны выполняться следующие начальные условия: и=о=в=О. (2.41) При 1=Т горизонтальная скоростьдолжна равняться круговой скорости пир, а высота, на которую аппарат поднимется по инерции под действием силы тяготения, должна совпадать с высотой орбиты Ь.
Таким образом, в этот момент и=и„у, л=й. (2.42) В задаче требуется минимизировать расход топлива, но так как последний является возрастающей функцией длительности Т первого активного участка, это эквивалентно минимизации Т, Итак, имеем .Т= Т. (2.43) Подставляя функцию Лагранжа в сопряженную систему (1.50), получаем )с„=к, О, ).,= — Х,— з(пО. 4 д. Ф Лотлен оО д Различные задачи оагииизации траекторий Аналогично из (1.49) следует Л, з(п Π— Л, соз Π— Л, — соз 8 = О.
(2.46) К Из уравнений (2.44) заключаем, что Л,=с, Л,=а. (2.47) где а и с — постоянные интегрирования. При помощи (2.9) могкно переписать (2.45) следующим образом: Л. = — — (о+ к). (2.48) Интегрируя последнее соотношение, получаем Л = — — о — а1 — Ь, (2.49) Ю где Ь вЂ” константа интегрирования. Подставляя (2.47), (2.49) в (2.46), получаем зависимость, определяющую оптимальную программу ориентации тяги: аг+ о 188=а —— е (2.50) Теперь обратимся к краевым условиям (1.46), (1.47).
Из них для нормального решения при1=Тследует Л,=О, (2.51) Л„и + Л,о + Л,з = 1. (2.52) Таким образом, на основании (2.49), (2.51) получаем ао,= — н(аТ+Ь)=дс1пОо (2.53) Подставляя далее значения й, о, з из (2.8), (2.9), (2.39) и зависимости Л„, Л„, Л, из (2.47) и (2.49) в краевое условие (2.52), находим при помощи (2.50) с); зес О, + аэ, — дс 1д О, = 1. (2.54) С учетом (2.53) получается с1г — — соз Ог.
(2.55) Если теперь проинтегрировать уравнения движкчия (2.8), (2.9) и (2.39) при значении О,определяемом кХ Оптимаквный запуск искусственнага спутника 51 (2,50) с учетом начальных условий (2.41), можно найти иь о„хь Тогда выражения (2.42), (2.50) (при О=О, и (=Т), (2.53) и (2.55) дают пять условий для отыскания неизвестных а, Ь, с, Оь Т. Таким образом, задача решена.
Частный случай )(1) =сопв1 будет рассмотрен ниже в этом разделе. Используем теперь условие Вейерштрасса (1.91). Оно требует, чтобы во всех точках траектории имело место неравенство Л.п+ Л,4+ Л,а) Л„и*+ Л,~'+Л,а', (2.58) где величины со звездочками получены из уравнений связи заменой оптимального значения О каким-нибудь допустимым значением 9'. Подставляя Л„, Л„Л, из (2,47), (2.49) и используя уравнения движения, приводим это условие к виду усов Π— (ат+ Ь) в1п 9)~ ссов О' — (а~+ Ь) в)пО*. (2.57) С учетом (2.50) последнее соотношение эквивалентно неравенству свес 0)~ с сов(8* — 0) вес 9, (2.58) которое справедливо тогда и только тогда, когда свес 9> О.
(2.59) При положительном с последнее неравенство означает, что 8 должен быть заключен в первом или четвертом, а при отрицательном с — во втором или третьем квадрантах. Тем самым устранена неопределенность, присущая зависимости (2.50).. Если предположить, что спутник выводится в сторону положительной полуоси Ох, то можно исключить возможность реализации тупых углов О и ограничиться рассмотрением положительных значений с. При (=Т ракета находится ниже вершины траектории, и потому о,)~ О. Тогда из (2.53) следует, что а/с и О, имеют одинаковый знак. Если О, — отрицательный острый угол, то соотношение (2.50) означает, 52 2. Различные задачи оптимизации трзекториа ожно ерен- (2.60) Замена независимой переменной 1 нз 8 в уравнениях (2.8), (2.9) и (2.39) дает а ди — —,— =1вес О.
с НО (2.61) а до — —,— =~180зесΠ— алвес'О, с ав (2.62) а — — — =- — о1дОвесО. с де м (2.63) Интегрируя (2.61), (2.62) по О на интервале (Оо, О) с учетом начальных условий (2.41), получаем а 1 1 зесвс+скво ас х еесе+СОО а о= — весО,— 1дО,— — весО+180. (2.65) 1 0 0 Полагая в (2.65) О=Он о=ос и используя (2.53), имеем — вес О,— 1дО,= — вес Оь (2.66) откуда — о = — (вес О, — вес О) + 1я О.
(2.67) а Юс л что 0 возрастает по времени и остается отрицатель. ным острым углом на всем интервале движения. В этом случае от также должна быть отрицательной, и мы приходим к противоречию. Следовательно, О, должен быть острым положительным углом, отношение а/с также должно быть больше нуля (т. е. а)0) и 0 — монотонно убывающая функция й Итак, О однозначно определяется всюду с помощью (2.50) и ие может быть разрывным.
Поэтому на оптимальной траектории нет угловых точек, Для случая г=сопв1 уравнения движения м проинтегрировать следующим образом. Продифф цировав (2.50), получим вес'0 — = — —. ЫВ а ас с т.д Олтимальньш галуск искусственного спутника 53 Подставляя в (2.63) о из последнего уравнения и интегрируя, находим уст у' — з= —,весО,(весО,— весе) — ~',(1 тО, 1 тО)+ Исключая с из (2.64), (2.68) с помощью (2.55) и полагая затем 8=Он приходим к следующим соотношениям: аикр — — сов 01!и геев' (2.69) атйд вес' О, = вес О, (вес 8,— вес О,) — — (1н'Оо — 1птО,)+ + — (1д 8, вес О,— 1и О, вес О,— 1и у l гасе,-(-тяв,т 21 '( гес в, + ф О,) ' ') .
(2.70) Два последних уравнения совместно с (2.66) определяют неизвестные Оо, От и а. После этого остальные неизвестные находятся элементарно. Для решения полученной системы при заданных значениях 7/д, тт и и,р целесообразнее поступать следующим образом. Зададим в (2.66) некоторое значение Оь и вычислим От. Из (2.69) найдем а, тогда из (2.70) можно определить 7т. После этого будем менять О, до тех пор, пока соответствующее значение л не окажется равным заданному. Как и следовалоожидать, по мере уменьшения О, значение 7т убывает. Минимальная величина Оь определяется из условия, что соответствующее ей значение От —— 0; из соотношения (2.66) следует, что в этом случае 8ь дается выражением Оо = 2 агс1д ~; (2.71) тогда Ь достигает своего минимума, а, согласно (2.53), о,=О, т.
е. аппарат достигает вершины траектории в момент 1=Т. Следовательно, второй участок полета вырождается. Если требуемое значение Ь меньше отмеченной критической величины, необходимо видоизменить наше исходное предположение относительно маневра и 54 2. Различиые задачи оптимизации траекторий допустить, что при $=Т аппарат достигает вершины траектории с требуемой орбитальной скоростью.
Тогда вместо краевых условий (2.42) получим систему и=и„р, о=О, у=й. (2.72) Соответствующие этому случаю результаты приведены в упражнении 4 в конце этой главы. Несмотря на то что ряд принятых в настоящем разделе допущений неприемлем в более интересном для практики случае постоянства силы тяги (а не 7), критическое значение будет существовать и выбор краевых условий для решения задачи также будет определяться в зависимости от того, превышает 6 критическое значение или нет.
2.4. Оптимальная программа регулирования тяги метеорологической ракеты В предыдущих разделах настоящей главы изучались задачи, в которых программа регулирования величины тяги предполагалась известной и требовалось определить оптимальную программу ориентации тяги. В этом разделе мы рассмотрим задачу, в которой направление тяги известно, а оптимизируется программа для величины тяги, Таковой является задача о максимальной высоте вертикального подъема метеорологической ракеты.
Примем, что тяга направлена вертикально вверх в течение всего времени работы двигателя и движение происходит по вертикальной прямой. Пусть у и о — текущие высота ракеты над точкой старта и ее скорость, и — секундный расход топлива и Π— сила аэродинамического сопротивления. Уравнение движения ракеты можно записать в виде и = — (ст — тл) — д. 1 (2.73) Примем, что 0 зависит от высоты и скорости аппарата, а ускорение силы тяжести д является функцией только д, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
