Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Мч (2.7) т' называется характеристической скоростью маневра. Для произвольного маневра ракеты при наличии внешних сил, в процессе которого величина (и необязательно направление) скорости истечения остается постоянной, величина тт, определяемая соотношением (2.7), служит удобной мерой расхода топлива и также носит название характеристической скорости маневра. Целью многих из рассматриваемых в настоящей книге задач будет отыскание маневра, который удовлетворяет определенным требованиям, связанным с назначением полета ракет, и в то же время минимизирует характеристическую скорость.
2.2. Максимизация дальности полета ракеты-снаряда В этом разделе мы рассмотрим движение ракеты с заданной программой расхода топлива. В то же время программа ориентации тяги может выбираться произвольно с учетом единственного ограничения: вектор тяги должен лежать в заданной вертикальной плоскости, проходящей через точку запуска О. В момент т=О ракета стартует из О с нулевой начальной скоростью, и ее двигатель работает до момента 1= Т, после чего он выключается и аппарат продолжает движение по баллистической траектории под действием только силы тяжести.
Будем предполагать гравитационное поле однородным и аэродинамическое сопротивление пренебрежимо малым, Наша задача состоит в том, чтобы определить программу ориентации тяги, обеспечивающую максимальную дальность ра- 2.э. Максимиэаяин дальности полета ракета-снарнда 43 кеты в горизонтальной плоскости, проходящей через точку О. Пусть Ох, Оу — горизонтальная н вертикальная осн, проведенные через точку О в плоскости движения, а и н о — соответствующие компоненты скорости ракеты в момент времени й Если х,у †координа ракеты в то же самое время и Π— угол наклона тяги к оси Ох, то уравнения движения можно записать в следующей форме: и=)соз В, (2.8) о=~з1пΠ— д, (2.9) х=и, (2.10) у=О, (2.11) где тт= — (с/М) (с(М(Ж) — ускорение от действия реактивной силы — заданная функция й Начальные условия при 1=0 суть х=у=и=и=0.
(2.12) Прн 1=Т никаких конечных условий не задано. Пусть (хь уэ) — координаты и (иь о,) — компоненты скорости ракеты в момент выключения двигателя. Тогда горизонтальная дальность полета ракеты от этой точки до точки падения на плоскость, горизонтально проведенную через точку О, составляет — '(а, +~/ и,'+2ду,). (2.13) Полная дальность полета по горизонтали равна Е=х, + — "' (о, +~/'оэ,+2ду,). (2.14) Необходимо выбрать управляющую функцию 0(1), илн программу ориентации тяги таким образом, что. бы дальность Ь была максимальной.
Когда 8(1)— известная функция времени, дифференциальные уравнения первого порядка (2,8) †(2.11) совместно с начальными условиями (2.12) определяют функции состояния и(1), о(1), х(1), у(1) н отсюда — значение Е. 44 2. Раэличные яадаии оптиииэации траекторий где г = )г"и'+2ду . (2.22) Интегрируя уравнения (2.16), получаем Л„=а4+Ь, Л,=а'4+Ь'. Л = — а, Лу= — а', (2.23) где а, Ь, а', Ь' — константы интегрирования. Из (2.17) следует !я0= +ь (2.24) Значения а, Ь, а', Ь' определяются из краевых уело» вий (2.18) — (2.21): Ь= — Т вЂ” — (и,+г), 1 К ь'= — ",'',т+ — ' (,+ )(.
а=1, (2.25) и, а'=— г Данная задача, очевидно, принадлежит к рассмотрен- ному в первой главе типу, и полученные там резуль- таты применимы в этом случае. Функция Лагранжа для нашей задачи запишется следующим образом: тч = — Л„~ соз 0 — Л, Ц з!и 0 — д) — Л и — Луо, (2.15) н уравнения (1.50) принимают вид Ли = Л» Ло = Лу, Лк = Лу = О. (2.16) Из условия (1.49) находим Л„( з!и 0 — Л,~ сов 9 = О. (2.1?) Значения Ео- — О, 1т=Т фиксированы, вследствие чего условия (1.47) неприменимы. Условия (1.46) озна- чают, что нормальное решение при 1=7 должно удо- влетворять следующим зависимостям: Л,= — — (о, +г), (2.18) Л,= — — '(о, + г), уг Л = — 1, и, Лу г л.2. Максимизация дальности полета ракеты-снаряда 45 Соотношение (2.24) приводится к простому виду (2.26) означающему, что максимальная дальность достигается при постоянном угле наклона вектора тяги к горизонту.
Уравнение (2.26) определяет угол О с точностью до величины, кратной и. Условие Вейерштрасса') (1.91) устраняет оставшуюся неопределенность. Это условие требует выполнения неравенства А,й+ Р и+ Хх+)ьзу (~.„(7+М+).,Х+)а)'. (227) где (л', К Х, У суть значения й, й, х, у соответственно, полученные из уравнений связи (2.8) — (2.! 1) заменой оптимального значения управляющей функции 0 некоторым допустимым значениям 6*. Очевидно, Х=й, У=у, благодаря чему (2.27) эквивалентно условию )„й+). тт <)мб+) )).
(2.28) Подставляя (2.8), (2.9), (2.18), (2.!9), это неравен- ство сводим к виду соз О+ — ",' и!и 0> соз О'+ — 'з)п О; (2.29) откуда следует, что оно удовлетворяется для всех О*, если 0 принимает такое значение, прн котором левая часть достигает своего максимума. Предполагая и,>0 (иначе величина Е будет отрицательной), приходим к решению уравнения (2.26), в котором Π— острый по. ложительный угол. При этом форма программы реактивного ускорения 1(!), очевидно, несущественна и по. лученное условие справедливо для любых программ изменения величины тяги.
Остается рассмотреть возможность существования угловых точек, в которых управляющая функция О ') Необходимо изменить знак нерзаенстаа, так как требуется максимизироаать с.. 46 2. Различные задачи оитимизации траекторий (2.30) 1= сопя!. Более реальный случай постоянной скорости расхода топлива (т. е. М=сопз1) проанализирован Лоуденом (1) Если как 1, так и 6 являются постоянными, интегрирование уравнений (2.8) †(2.11) элементарно. Ис.
пользуя начальные условия (2.12), запишем и, = (Т соз О, и, = (1 з!п 8 — д) Т, зс, = — ~Тз соз О, у, = — () з1п 0 — тг) Тз. ~ 1 1, (2.31) 2 2 Подставляя найденные соотношения в (2.26), получаем для 0 уравнение з1п'О+ — соз 20 = О, К (2.32) которое при ()д имеет четыре корня в диапазоне 0<0<2п, по одному в каждом квадранте. На основании вышесказанного очевидно, что прнемлемотолько решение в первом квадранте. Если )<д, решения (2.32) лежат в третьем и четвертом квадрантах и потому недопустимы; в этом случае тяга двигателя недостаточна для преодоления силы тяготения н подьема аппарата. разрывна. Однако 0 не может иметь разрывов, так как 6 является единственным решением уравнения (2.26) в первом квадранте. Отсюда заключаем, что на оптимальной траектории угловые точки отсутствуют.
Чтобы завершить решение нашей задачи, нужно проинтегрировать уравнения движения (2.8) — (2.1!) для случая, когда 0 принимает постоянное значение, определяемое соотношением (2.26). Проделав это, найдем и(Т), о(Т), х(Т), у(Т) и, приравняв их соответственно иь оь хь уь получим четыре уравнения для этих еще неизвестных величин. Однако интегрирование уравнений движения нельзя выполнить, пока не известен вид программы реактивного ускорения )(!). Рассмотрим ниже простейший случай: 2З. Оптимальный запуск искусственного спутника 47 Когда О найдено, можно вычислить значения величин иь оь хь ут из (2.31) и записать уравнение оптимальной траектории в параметрической форме х = — 1тт сов О, у = — (1 в!п Π— д) Р, (2.33) 1 1 откуда следует, что оптимальная траектория представляет собой прямую линию, образующую с горизонтом острый угол <р, где 1д ~р = (и Π— ~ вес О.
(2.34) По этой линии ракета движется с постоянным ускорением ан ай= Р+йв — 2!у в!и О. (2.36) Максимальная дальность найдется, если в соотношение (2.14) подставить (2.31) и (2.32): Е „=~Т'( — с1нΠ— — сов О). (2.36) у Для анормального решения этой задачи условия (1.46) при ус=О показывают, что все Х; равны нулю при 1= Т и, следовательно, тождественно равны нулю в силу (2.16). Уравнение (2.17) в этих условиях не может служить для определения программы ориентации тяги, н любая возможная траектория принадлежит классу анормальных траекторий.
Таким обраи зом, этот класс кривых, очевидно, не может содер. жать оптимальную траекторию. 2.3. Оптимальный запуск искусственного спутника Программа изменения величины тяги снова предполагается заданной и состоящей из трех различных участков. Считаем, что первый участок длится от на чального момента 1=0 до момента 1=Т прекращения работы первой ступени ракеты. На втором участке аппарат движется по баллистической траектории под Х Различные задачи оптимизации траекторий 48 от Л Д+ —.
2» ' (2.37) При п)0 координата г представляет собой максимальную высоту, на которую может подняться аппарат, если в точке с координатами (п, у) выключить действием силы тяжести по направлению к высшей точке, касательная в которой горизонтальна. В этот момент включается двигатель второй ступени, разгоняющий полезную нагрузку до орбитальной скорости. Для упрощения анализа предположим, что движение совершается в вертикальной плоскости, связанной с точкой запуска; вращением и кривизной Земли, сопротивлением атмосферы и неоднородностью гравитационного поля будем пренебрегать. В этой упрощенной постановке можно целиком исключить третий участок маневра, для чего горизонтальная компонента скорости аппарата в конце первого участка должна равняться требуемой орбитальной скорости. В этом случае скорость аппарата в высшей точке траектории будет в точности совпадать с требуемой, так как поле предполагается однородным.
Аннулирование третьего участка, очевидно, выгодно, ибо исключает необходимость доставки топлива на высоту орбиты и сокращает, таким образом, общие затраты горючего. В действительности горизонтальная компонента скорости аппарата будет слегка падать на втором, или пассивном, участке, и эти потери должны быть компенсированы в течение короткого заключительного активного участка. Однако нашу идеализацию истинной картины можно рассматривать как пример расчета близкой к оптимальной программы ориентации тяги первой ступени, и уже после ее определения можно рассчитать численным способом истинную траекторию с учетом всех отброшенных ранее факторов. Если провести Ох, Оу через точку старта, как в предыдущем разделе, то (2.8) — (2.1! ) по-прежнему будут справедливы для описания первого активного участка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
