Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 9
Текст из файла (страница 9)
П=П(р. ), К=й(р). (2.74) 2.4, Оятимальная ярограмма регулирования тяги ракеть~ Я Для замыкания системы дифференциальных связей присовокупим сюда уравнения у — о, М= — т. (2.75) (2.76) Как только управляющая функция т (г) задана, уравнения (2.73), (2.75), (2.76) совместно с начальными условиями в=О, У=О, М=Мо Г=О (2.77) фиксиРУют ФУнкции о((), У((), М(1) и, таким образом, полностью определяют движение ракеты. Если т — максимальное значение секундного расхода топлива, управляющая функция т удовлетворяет неравенству 0-4т 4т. (2.78) Так как а')~0, уравнение (2.79) эквивалентно нера венству (2.78). Этот прием принадлежит Валентайну [3[. Пусть Мг — масса сухой ракеты и Т вЂ” конечный момент, когда достигается максимальная высота.
Таким образом, конечные условия имеют вид 1=Т, М=М,. (2.80) При (=Т, очевидно, о=О, однако удобнее вычис. лять эту величину, нежели использовать ее в качестве конечного условия. Максимизируемый функционал представим в форме .I = Уо (2.81) Поскольку изложенная выше общая теория не позволяет учитывать связи в форме неравенств, преобразуем ограничение (2.78) к виду (1.3) путем введения дополнительной управляющей переменной и, не имеющей физического смысла. Для этого потребуем, чтобы функция т удовлетворяла уравнению т(т — т) — ат=О. 66 Д Различные задачи оптимизации траекторий Приступая к решению задачи, составим функцию Лагранжа 1 Г = — Л, — (ст — !т — Му) — Л„тт+ Л + + [з [т (т — т) — а'[ (2.82) и запишем условия (!.49), (!.50) в виде 1 дВ Ли — —, (ст — О) Л„ 1 С 0= — — Л,+Лм+!з(т — 2т), О = — 2ар. (2.83) (2.84) (2.85) (2.86) (2.87) Краевые условия при 1=Т определяются следующим образом: Л,=О, Л„= — 1, Л 'о+! ру+ЛмМ=О.
(2.88) Согласно (2.87), нужно рассмотреть два случая: !) [з=О, 2) а=0. Если [з=О, из (2.86) вытекает (2.90) Подставляя полученное для Лм выражение в (2,85), находим Л,= — ~ Л,. В (2.91) Поскольку ! не входит явно в Р, можно записать первый интеграл в форме (1.67), откуда следует, что третье из условий (2.88) выполняется на всей траектории. Подставляя в него д, у, М из уравнений связи, получаем Л, — (ст — й — Мд)+ Л чт — Лмт = О. (2.89) 1 угг.
Оптимальная программа регулирования тяги ранетьь о7 Далее из (2.83) следует 1 (дВ+ 0) (2.92) М к+ м (ао + — )1Л, =О. (2.93) Таким образом, либо Л,=О, либо (2.94) М~+ — ( — ', + — )о=О, (2.95) Возможность обращения Л, в нуль можно сразу исключить, поскольку, согласно (2.92), это повлекло бы за собой обращение в нуль Л„. В свою очередь, поскольку Л„и Л„непрерывны в угловых точках и уравнения (2.83), (2.84) выполняются всюду на траектории, это означало бы, что Л, и Л„обращаются в нуль тождественно, что противоречит конечным условиям (2.88). Таким образом, следует принять зависимость (2.95), которая вместе с уравнением (2.73), записанным в форме Мип'+ АМ'+ 77+ Мд = О (2.96) (штрих означает дифференцирование по у), опреде.
ляет М и о в зависимости от р. В решении фигурирует лишь одна константа интегрирования, поэтому нельзя удовлетворять обоим начальным условиям о=О, М=Мо (при у=О). В самом деле, после подстановки о=О в (2.95) очевидно, что о не может обра« щаться в нуль на дуге рассматриваемого типа. По. этому для полноты следует включить в оптимальную траекторию дуги других типов. Такие дуги получаются, когда уравнение (2.87) выполняется при а=О. В этом случае из (2.79) следует, что соответствующая программа расхода топлива такова: либо лт=О, либо Подстановка значений Лм, Л„из (2.90), (2.92) соответственно в первый интеграл (2.89) приводит к уравнению Ва и разлиеиые задачи оптимизации траекторий е и=Л вЂ” — Л.
м я и' (2.99) На пассивном участке т=О, и условие выполняется в случае х~(0. (2.100) На участке с максимальной тягой т=т, и условие удовлетворяется, если н)~0. (2.101) На участке с промежуточной тягой лт* может при. нимать значения, как большие, так и меньшие и, и условие может иметь место только при и = О. (2.102) Условие (2.88) показывает, что д = — Лмт в конечный момент 1=Т. (2.108) лт т, т. е. либо двигатель выключен и аппарат движется по инерции, либо он полностью включен и тяга максимальна, Таким образом, показано, что оптимальная траектория может включать в себя участки трех типов: 1) с промежуточной тягой, 2) с максимальной тягой и 3) с нулевой тягой. Эти участки сопрягаются друг с другом в угловых точках.
Исследуем последовательность, в которой из этих участков формируется оптимальная траектория. Условие Вейерштрасса (1.91) (с обратным знаком неравенства) требует во всех точках выполнения неравенства Л, — (ст — а) — Мй) + Лео — Лмт ~( 1 ~( Л, — (ст' —,0 — М8)+ Леи — Лотт*, (2.97) где лт* — произвольная величина, удовлетворяющая ограничению (2.78). Это условие сразу приводится к виду кт )» ит', (2.98) где ду.
Оптимальная программа регулирования тяги ракеты 59 Если допустить, что заключительный этап движения является участком промежуточной тяги (и=О), то в силу первого из граничных условий (2.88) Хм необходимо обращается в нуль при 1=Т и условие (2.103) указывает, что у также равно нулю. Однако выше мы убедились, что на дуге рассматриваемого типа это невозможно. Далее, если бы на заключительном отрезке тяга была максимальна, то и ~~ 0 и при (=Т выражения ( — Х,— г,гг) лг, (2.105) что в свою очередь имеет место лишь в такой угловой точке, где нт разрывно, если только в этой точке и=О.
(2.106) Тогда, согласно (2.!03), у <О в этот момент. Однако даже в крайнем случае, если у'(Т) =О, при условии, что тяга двигателя по предположению превышает вес ракеты при 1 Т, это означало бы, что у меньше нуля на интервале 1<Т. Мы исключим такую возможность (хотя она могла бы возникнуть в случае, когда в начальный момент величина тяги двигателя недостаточна для отрыва аппарата от стартовой площадки).
Таким образом, заключительный участок должен быть только пассивным. Отсюда следует, что в конечный момент т=О, и, согласно (2.103), у обращается в нуль при 1=Т, как и следовало ожидать. Так как мы предположили, что на всем интервале движения скорость ракеты направлена вертикально вверх, начальный интервал не может быть участком нулевой тяги. Точно так же он не может быть участком промежуточной тяги, поскольку на последнем о не обращается в нуль. Следовательно, он может быть только участком максимальной тяги, В угловых точках, разделяющих два разнородных участка, величины Ц и входящие в левую часть первого интеграла (2.89) слагаемые должны быть непрерывны, последнее требование означает непрерывность 60 2.
Различные задачи оптимизации траекторий Из соотношения (2.99) получаем Х и — — — Ха+ тт. (2.107) Подставляя это значение Хм в (2.85), находим Х,= — —,~ —,~ Лм М В (2.108) после чего из (2.83) следует Хи = М ( д + — ) Хи+ — к. (2.109) Подстановка значений Хм, ).„из (2.107), (2.!09) впервый интеграл (2.89) приводйт к уравнению (2.110) К = —, Х,О ехр ( — ) — Т ей), (2.111) где К =и ехр ( — ~ е ей) .
(2.112) Рассмотрим (2.83), (2.84). Они эквивалентны соотношениям !( !д1де )' Ли — Нта, (2.113) (2.114) где оз = Х, ехр ( — ~ — — до ей), (2.115) Н= — (М д + н )ехр(~ М д ей). (2.116) Так как Т! и д — монотонно убывающие функции от у для всех значений о, Н всегда положительно.
Конечные условия (2.88) показывают, что от=О, Хи — !при (=Т. Из (2.113), (2.!!4) далее следует, что та н е.и— строго возрастающие функции на интервале (О, Т), и где тз — левая часть уравнения (2.95). Последнюю за. висимость перепишем в виде д4. Оптимальная программа регулирования тяги ракета 61 потому они отрицательны на нем всюду (от и Ху непрерывны в силу условий, установленных для угловыхточек). Тогда из (2.115) следует, что Х„<0 на всей траектории. С помощью (2.111) мы можем сделать вывод, что К и 6 всегда имеют противоположные знаки или обращаются в нуль одновременно. На дуге с промежуточной тягой 6 равно нулю тождественно. Допустим, что условия нашей задачи таковы, что 6 монотонно убывает на участке максимальной тяги и строго возрастает на пассивном участке. Тогда можно доказать, что оптимальная траектория представляет собой одну из двух последовательностей: 1) участок максимальной тяги (участок МТ)— участок промежуточной тяги (участок ПТ) — участок нулевой тяги (участок НТ); 2) участок МТ вЂ” участок НТ.
Справедливость каждого положения легко обосновать, если ввести следующую зависимость силы сопротивления от скорости и высоты: Р = Ау зе~т. (2.117) При надлежащем выборе параметров А, р, у это соотношение может обеспечить достаточно хорошую аппроксимацию истинной зависимости. Подставляя указанное значение Р в левую часть уравнения (2.95),по лучаем 6 = Мд — ( —, + у — 1) Р.
(2.118) На участке НТ вес Мйт остается постоянным с точностью до пренебрежимо малого изменения, связанного с вариацией д по высоте. Однако, как и следовало ожидать, сила сопротивления Р падает по мере уменьшения скорости. В результате 6 возрастает.
На участке МТ Мд убывает и и увеличивается. Прн больших значениях и существует, однако, возможность, когда при этом Р может уменьшаться вследствие влияния коэффициента плотности атмосферы ехр ( — йу). Тем не менее в большинстве случаев Рбулет возрастать, а 6 — уменьшаться. 62 и Различкме еадачи оатимизании траекторий В силу непрерывности Л„, Лм, М всюду на оптимальной траектории из (2.99) следует непрерывность н.
Дифференцируя х с учетом (2.83), (2.85), находим соотношение й= — ~, (се+с д ) Л + м Ли' (2.119) из которого следует непрерывность производной х. Из соотношения (2.112) следует, что К непрерывна, но, поскольку координата и разрывна, производная К не Рис. 2й.
является непрерывной. Пусть задан график функции К(1) с числом нулей более одного, и пусть т=г„г'= =~з — два последовательных нуля К, между которыми К принимает положительное значение (рис. 2.1, а), Тогда х)0, и интервал (~ь те) соответствует периоду максимальной тяги. На интервале ((т, те) К не может монотонно возрастать. Допустим, что К возрастает на дуге АВ и убывает на дуге ВС, т. е. К)0 на АВ, К<0 на ВС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
