Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Отсюда заключаем, что оптимальная траектория перелета удовлетворяет условиям (а) — (г) (стр, 76) при Р=1. Таким образом, на любом активном участке базис является единичньгм вектором в направлении тяги. $2 8. Общая теории олтилальных траекторий ракет Упражнения 1. Показать, что если в любой точке с полярным вектором г относительно начала координат О гравитационное ускорение дается выражением и = — и'г, то всюду на оптимальной траектории в указанном поле базис определяется соотношением р = а соз м1+ Ь з1п мй где а, Ь вЂ” векторные константы.
Показать, что р-траектория есть эллипс, круг или прямая линия. Показать также, что если траектория представляет собой дугу ПТ, то р-траектория есть круг, величина тяги не определена и вектор тяги вращается в плоскости с постоянной угловой скоростью ю. Доказать, что если р-траектория не является кругом и до. пустима импульсная тяга, то существуют только две точки приложения импульса, причем соединяющая их линия проходит через О, а направления вектора тяги в этих точках контрколлинеарны.
Показать, что если дуга НТ оптимальной траектории описывается уравнением г = А совет+ В з1пМ и время перелета не фиксировано заранее, то а А+Ь В =О. 2. Доказать, что если в произвольной точке соединения участков экстремали разных типов не приложена импульсная тяга, то вторая и третья производные базиса по времени в ней непрерывны, в то время нак четвертая нет.
Показать, что в втой точке .у ~ 2р'~ ~4 где д=рта1х1-величина скачка х в точке соединения. Вывести отсюда, что в любой точке перехода аппарата с дуги ПТ иа дугу НТ имеет место соотношение йьр дэл — — 2УЛтЛГЛв— й14 дхь дх» ' где у — реактивное ускоренве аппарата в конечной точке дуги ПТ. 4 ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ОДНОРОДНОМ ПОЛИ 4.1. Общая теория Лейтман [3) показал, что для случая однородного гравитационного поля можно построить весьма законченную теорию широкого класса задач оптимизации ракетных траекторий. В этом случае И является константой и дифференциальное уравнение (3.36) для базиса сводится к простому виду р=О, общее решение которого очевидно: р=аТ+Ь.
(4.2) Здесь а, Ь вЂ” векторные постоянные. Поскольку р, р непрерывны всюду на оптимальной траектории, а и Ь принимают одни и те же значения на всех подинтервалах и р-траектория является прямой, которую с постоянной скоростью а описывает изображающая точка. В частном случае, когда а равно нулю, р-траектория вырождается в изолированную точку, а направле ние тяги остается неизменным на всем протяжении маневра. В общем направление тяги будет изменяться в плоскости, содержащей р-траекторию и начало координат. Пусть Охь Охз — оси, параллельные этой плоскости. Тогда компоненты базиса определяются соотношениями вида Л, =а,1+Ьь Л,=а,г+Ь,, Лз=О. (4.3) где а~ и Ь~ — константы.
Далее угол О, который направление тяги составляет с осью Ох~ в момент 1, дается выражением 1ий = — = Л, ар+а, (4.4) 84 Е. Оитимальные траектории в однородном аоле Это — дробно-линейная зависимость тангенса угла ориентации тяги в однородном поле, которая уже фигурировала в равд. 2.2 (уравнение (2,24)). Поскольку Х»=0, вектор тяги имеет нулевую компоненту в направлении оси Охг и параллельное этой оси движение ракеты должно быть свободным падением под действием гравитации.
Легко доказать, что оптимальная траектория может содержать участок ПТ только при особых обстоятельствах. На таком участке, как показано в равд. 3.1, базис должен иметь постоянную' длину [уравнение (3.35) ). Тогда р-траектория не может быть прямой линией; следовательно, она должна сводиться к точке и направление тяги должно быть неизменно в течение всего маневра. Поскольку в данном случае 1» при. нимают постоянные значения, уравнения движения (3.1) — (3.3) элементарно интегрируются на интервале ((о, 1») маневра и при начальных условиях (3.7) дают т»»» %»а=с»»1п с»»+вс(с» со) (4.5) 1 хс» хю = с1»о+ осо(с» — со)+ 2 Кс(с» со)~, (4.6) где с, с»»е 5 1 1 ~о ил» с, Тут величины т»а — осо — 8»(Е» — ~о) с =1, 2.
3, (4.8) очевидно, должны находиться в тех же отношениях одна к другой, что и величины ха — хю — осо (~» — 1о) — ~ 8» (~» — ~о) (4 9) 1 г Однако это требование часто исключается конечными условиями, и тогда участок ПТ не может входить в состав оптимальной траектории. С другой стороны, если уравнения (4.5), (4.6) не противоречат конечным условиям, очевидно, что одной и той же совокупности значений хи, он и У может соответствовать произволь- 4Д Общая теория нос число различных программ регулирования величины тяги.
Это означает, что программа регулирования величины тяги в этом случае не будет единственной. Предполагая, что конечные условия исключаютвозможногть реализации участка ПТ, получаем, что опти мальная траектория состоит только из дуг НТ и МТ. Покажем, что может быть не более трех таких участков. Этот результат принадлежит Лейтману [3) '). Рассмотрим сначала случай, когда р-траектория— прямая, не проходящая через начало координат. Поскольку р — расстояние изображающей точки от начала координат, р сначала уменьшается до минимума, а затем монотонно возрастает, Таким образом, согласно (3.32), производная х сначала меньше нуля, потом обращается в нуль и в конце становится положительной.
Следовательно, х сначала монотонно убывает до минимального значения, а затем монотонно возрастает. Из (3.32) следует непрерывность функций х и х, вследствие чего график х в зависимости от г может пересекать ось г не более чем в двух точках. Ввиду того что х обращается в нуль в каждой точке сопряжения двух подинтервалов различного типа, это означает, что самое большее две такие точки могут находиться на оптимальной траектории и, следовательно, максимальное число таких подинтервалов равно трем. Далее, если число интервалов действительно равно трем, на первом х положительно, на втором — отрицательно и на третьем — снова положительно.
Значит, дуга НТ с обеих сторон замыкается участками МТ. Теперь рассмотрим частный случай, когда р-траектория проходит через начало координат. Пусть [эп— скорость, с которой изображающая точка движется по этой прямой. Тогда р = — 'ьэг, т ( т, ) р=+%', 4) т, ~ (4.10) г) Окончательное решение этого вопроса дано в работе [6] [см. также [7]), — 0рим, перев. 86 4.
Оптимальные траектории е однородном поле где 1 т — момент прохождения точки через начало координат. Тогда из (3.32) получаем ецт к= — —, тк т, М опт х=+ —, 8) т. М ' (4.1 1) Следовательно, х нигде не обращается в нуль. В этом случае х разрывна при 1=т, будучи отрицательной до этого момента и положительной после него. Поэтому и монотонно убывает при 1(т и монотонно возрастает при 1>т, и ее график может пересечь ось времени самое большее в двух точках. Отсюда следует тот же вывод, что и раньше.
Конечные условия (1.46), (1.47) зависят только от величины 1, подлежащей минимизации, и должны быть записаны отдельно для каждой конкретной задачи. Это мы сделаем в примерах, которым посвящен следующий раздел. 4.2. Частные задачи В наших первых трех примерах рассматривается движение ракеты в вертикальной плоскости. Оку означает прямоугольную систему осей, лежащих в этой плоскости, причем Ох — горизонтальная ось, а ось Оу направлена вертикально вверх. Обозначим параллельные этим осям компоненты скорости через и, о. Тогда Х и т. д. представляют собой множители Лагранжа, соответствующие фазовым координатам х, у, и, о, М соответственно. Поэтому базис обладает компонентами ли, Х„, а его производная — компонентами — Х„, — Хи.
Пусть 1=0 — точка старта, а 1=Т вЂ” момент завершения маневра. Обозначим через 0 угол, образуемый вектором тяги с осью Ох. Положим вначале, что ракета запускается из начала координат с нулевой начальной скоростью, а программы ориентации тяги и расхода топлива выбираются таким образом, чтобы конечная высота была 4.2. Часгнае задачи 87 максимальной. В качестве минимизируемой величины возьмем Уи (4.12) В момент 7= Т все топливо израсходовано, т, е. за- дано значение М=М,, (4.13) Величины и» о» х» у» Т все свободны, поэтому конечные условия (1.46) и (1.47) требуют, чтобы при 1=Т выполнялись связи Ли=Ли =Лк=О, Л„=1, (4.!4) Л„й + Л ю + Л х + Л У + ЛмМ = О, (,1.15) Уравнение (4.2) совместно с условием (4.14) означает, что Л„=О, Ле= Т вЂ” ~, Л,=О, Ла — — 1.
(4,16) Таким образом, базис направлен по положительной оси Л„и по мере движения уменьшается по величине от Т до О. Значит, р-траектория представляет собой отрезок оси Л„ от точки (О, Т) до начала координат. Тяга всегда направлена вертикально вверх, следовательно, О=и/2. Движение происходит вдоль оси Оу. Из (3.32) следует, что с х= — —, М' значит х всюду убывает и график х может пересечь ось 1 не более одного раза. Поэтому либо х>0 всюду и оптимальная траектория состоит из одной дуги МТ, либо х>0 в начале движения и х<0 в конце и тогда оптимальная траектория состоит из участка МТ, за которым следует участок НТ.
При 1=Т модуль базиса р равен нулю, а из (3.29) следует, что х= — Лм. Условие (4.!5) тогда требует, чтобы при 1=Т имело место у =хМ. (4.18) Если траектория представляет собой одну дугу МТ, то при 1 Т х><0 и М<0. Отсюда получаем, что 940 88 4. Онтималаиые траектории и одиородиом ноле в конечный момент, а это может быть в случае, если в начале движения тяга двигателя меньше веса ракеты. Эта возможность, очевидно, нереальна, и потому в любом представляющем практический интерес случае оптимальная программа регулирования величины тяги будет состоять из начального этапа максимальной тяги, завершающейся полным выгоранием горючего, за которым следует баллистический этап свободного движения к вершине траектории под действием силы тяжести.
В нашем втором примере мы предположим, что ракета стартует из начала координат с компонентами скорости ио, оо, и требуется запрограммировать полет таким образом, чтобы конечная скорость аппарата была как можно больше. Итак, примем У= — (и',+и',) ~ (4.19) и будем минимизировать 1. При 1=Т дано М=М,, (4.20) но иь оь хь ут свободны для выбора. Величину Т будем считать заданной заранее. Конечные условия (1.46) для момента 1= Т устанавливают следующие соотношения: (й+ о1) (4.21) (а|+ о~) Х, = ).„= О, где тр — угол, образуемый вектором конечной скорости аппарата с осью Ох. Следовательно, производная базиса равна нулю и уравнение (4.2) показывает, что условия (4.21) справедливы всюду на траектории.
Компоненты Х, е.„ являются константами, а базис представляет собой единичный вектор, образующий постоянный угол с осью Х,. Следовательно, О=тр и ориентация тяги нигде не меняется; р-траектория есть изолированная точка, н поэтому в данном случае 89 4.2. Частные задачи возможен участок ПТ с произвольной программой регулирования величины тяги. Здесь приложимы условия (4.5), которые в наших новых обозначениях принимают вид и, =и,+ссоззр!п К оз = оа — йТ+ с з!и ф !п К (4.22) (4.23) где ф определяется из уравнения !вф ! и, ' (4.24) При указанном значении ф уравнения (4.22), (4.23) дают (и'+ юа1) ~= ~из+[па дТ)з)ш+ с!и В (4 26) откуда следует, что 7 не зависит от выбора программы регулирования величины тяги. Пусть в нашей третьей задаче программа должна максимизировать горизонтальную дальность хз полета ракеты„ стартуюшей из начала координат с нулевой начальной скоростью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
