Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда 6<0 на АВ и 6)0 на ВС. Однако по определению 6 непрерывна всюду, и потому между А и С она может только возрастать. В силу наших доПущений это означает, что интервал (1м (е) соответствует участку нулевой тяги, что противоречит исходному предположению о том, что тяга на всем интервале максимальна. Аналогично, допустив, что К<0 на ((т, 1з), также придем к противоречию. Таким образом, заключаем, что если К обладает двумя нулями, йв'. Оптимальная программа регулирования тяга ракеты 63 то на всем отрезке между ними К равно нулю тожде.
ственно. Пусть в начальный момент двигатель работает на режиме максимальной тяги, (КаьО), а в конце выключен (К (0). Тогда график К(1) должен принимать одну из форм, показанных на рис. 2.1, б и в, где всюду К < О. На отрезке, где К=О, К=О, ст'=О, что соответствует участку ПТ. Отсюда следует, что начальный участок МТ и конечный участок НТ могут быть разделены не более чем одним участком ПТ. Таким образом, начальный период максимальной тяги длится либо до момента, когда выгорит весь запас топлива, либо до момента, когда о удовлетворит условию (2.95), в зависимости от того, что наступит скорее.
Если раньше израсходуется все топливо, то наступит участок НТ, чему соответствует рис. 2.1, в. Однако если в определенный момент скорость и достигнет такого значения, что условие ст=О выполнится при наличии некоторого количества топлива, то участок МТ нельзя продлить дальше указанной точки, ибо если это было так, то, по предположению, функция ьг, продолжая убывать, приняла бы отрицательные значения, а К вЂ” положительные, в то время как мы показали, что всюду Км: О. Таким образом, если в точке соединения начинается участок ПТ, то он продлится до полного выгорания всего запаса горючего.
Этому случаю соответствует рис. 2.1, б. Следует заметить, что знак величины и или ее обращение в нуль на траектории решают вопрос о реализации одной из трех программ: максимальной тяги, нулевой тяги или промежуточной тяги. Поэтому и называется функцией переключения величины тяги, Такие функции переключения появляются при решении многих задач оптимизации траекторий ракет. Детальное исследование оптимальной траектории конкретного аппарата с реальным законом аэродина.
мического сопротивления читатель может найти в работе Лейтмана 12]. Если аэродинамическим сопротивлением можно пренебречь (когда, например, ракета запускается на 64 2. Различные задачи оптимизации траекторий большой высоте), уравнение (2.95) не имеет решения и оптимальная траектория состоит только из двух участков: 1) начального участка максимальной тяги, на котором расходуется весь имеющийся запас топлива, и 2) заключительного участка свободного движения аппарата к вершине траектории под действием силы тяжести. ЛИТЕРАТУРА 1. 1 а тебе п Р.
Р., Рупаппс ргоЫетз о1 !п!егр1апе1агу 1!!0п(, Аеголаит. Г)иаг!., 6, № 3, 165 — 180 (1955). 2. Ье((ш а пи О., Орнпппп !йгиз! ргокгашш!па 1ог Ь1КЫа!!!!цбе газке!з, Аегоиииг. Еляля /(ео., 16, № 6, 63 (!967). 3. Ча!еп!1пе Р. А., Тйе ргоЫеш о! 1айгапне чл!п б!!!егеп!!а! 1пейца19иез аз а<Ыеб эЫе сопбщопз, Р!ззег1аноп, Рераг(- шеп( о1 Ма!Ьептансз, 1)п!чегзйу о! СЫсадо, 1937. Упражнения 1. Модифицировать задачу из равд. 2.2, считая, что из не* которой точки наклонной плоскости запускается ракета и дальность ее полета в указанной плоскости максимизируется.
(Указание. Возьмите ось х в этой плоскости, ось р перпендикулярно к ней.) Показать, что если плоскость движения пересекает наклонную плоскость по линии, составляющей угол а>0 с горизонтом, и 0 сопз1 — угол, образуемый тягой с горизонтом, то аналог соотношения (2.32) принимает внд э1п (Π— а) з1п'О+ — соз (20 — а) = О. К 2.
Для задачи из равд. 2.3 при условии / сопз1 показать, что горизонтальная дальность ракеты равна х, — !эесОе — зесΠ— !я01п „зй,/ зес Оз+ !ЯОе ! из/ О+!яО /' Вывести отсюда, что горизонтальное удаление точки выхода спутника на орбиту от точки старта равно и!00эсоз'01/аэ/т. 3. Показать, что для задачи из равд. 2.3 прн условии сопя! критическое значение А равно где л=//и, Е !п[(л+ 1)/(и — 1)).
Установить, что этой величине Ь соответствует 2и„ 1 Т = — —. 0Е и' — 1 Упражнения 0 случае, когда п велико и орбита спутника есть круг радиуса /7, убедиться, что критическая высота приблизительно равна /7/бл . 4 Провести оптимизацию траектории для задачи из равд, 2.3 с конечными условиями (2.72), предполагая, что /г меньше критической высоты. Показать, что программа ориентации тяги дается выражением !60= ( !+5). Для частного случая /=сола! показать, что Оо, 0~ и а удовлетворяют уравнениям , О, 1- !п(0,/2) 2 л — !и (Оо/2) !2 (Оо/2 + и/4) "к '" !и (Оп 2 + /4) ' 2аод+аи„р пУ(з!п Оо — з!п 0,) зес Оо вес Оь 5.
Приняв /=54г, и о=8,05 км/сек, 6-98! м/секо, вычислить значения И и Т, соответствующие величинам Оь лежащим во включающем критическую высоту диапазоне [использовать уравнения (2.50)', (2.55), (2.66), (2.69), (2.70) и результаты упражнения 4[. Нанести на чертеже зависимость Т(й) и убедиться, что Т вЂ” убывающая функция Ь. 6. Ракета-зонд импульсно разгоняется ускорителем, который быстро доводит скорость аппарата до значения, при котором удовлетворяется уравнение (2.95).
Показать, что если Мо в масса ракеты в момент отделения ускорителя и закон аэродинамического сопротивления имеет вид /2 = Ае ""пз, то скорость ракеты в конце участка разгона равна сро, где е+ о Ао 2 3 '~оК Для случая, когда тяга программируется далее таким образом, что скорость ракеты продолжает удовлетворять уравнению (2.95), н предположении у=сапа! вывести следующие соотношения, связывающие высоту у и время полета !со скоростью о=сУг [)у У вЂ” !' + — (у+р+ 3)1п Р + 1 2У вЂ” у+р+1 + 2 (у р +3) !п 2 — + +1 ' — .1п — + — (у+р+1) 1п 8! 2У вЂ” у — р+1 с У 2 2Уо — у — р+1 + 1 2У вЂ” у+ р+1 2 2Уо — у+р+1' где с ' р ~а+ + К Осе ' 5 Д.
Ф. Лоуаен К ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИИ РАКЕТ 3.1. Дуги экстремали В настоящей главе исследуется задача определе. ния оптимальной траектории ракеты, движущейся в совершенно произвольном гравитационном поле (атом числе и нестационарном). При этом ни программа ориентации, ни программа регулирования величины тяги не заданы заранее. Будем полагать, что движение происходит в пустоте и не является обязательно плоским.
Многие из приведенных ниже результатов были впервые получены Лоуденом (1, 2, 4, 5] и Лейт- маном [6) Пусть Охь Ох„Ох,— тройка прямоугольных де. картовых осей координат, образующих инерциальную систему отсчета, и х~ (1= 1, 2, 3) — координаты ракеты в указанной системе в момент й Если и~ — компоненты скорости ракеты в тот же момент, то уравнения движения можно записать в виде %= М 1г+й ст (3.1) х,=ен (3.2) М= — и, (3.3) где 1с — направляющие косинусы вектора тяги двигателя, И~ — компоненты гравитационного ускорения, и — секундный массовый расход топлива.
Величины д» зависят от координат ракеты, а для нестационарного поля — и от момента 1, в который аппаратзанимает данное положение: д,=я,(х„х,, х,, 1). (3.4) Направляющие косинусы удовлетворяют условию 11+ 1з+ 1з = 1. (3.5) З.Л дуги эксгремили Как и в разд. 2А, будем предполагать, что секундный расход топлива ограничен, в силу чего т подчиняется уравнению связи т (т — т) — ао = О. (3.6) Управляющие переменные суть 1ь т, а, и как только задана их зависимость от 1, значения оь хь М определяются дифференциальными уравнениями (3.1)— (3.3) и начальными условиями при 1 = 1о.' %=%о хг=хго М=Мо.
Допустим, что требуется минимизировать некото- рую функцию г конечных значений величин оь хо М при 1 1ь Детальное определение этой функции да- дим на более позднем этапе. Построим функцию Лагранжа г' срг 8 1 я 1с + Й) гелю + )"эт+ + 1с, ((~э+ Я+ Я вЂ” 1)+ 1оо е(т (т — т) — ао~. (ЗЯ) Здесь имеется в виду суммирование по индексу 1 = 1, 2, 3. Тогда необходимые условия (1.49), (1.50) приводят к уравнениям 1о! — — — )ег+о, дую л, = — л ст ~'у = Мг )оА' О = — — Хо + 21с1 (о О= — у ХД+Хэ+ро(т — 2т), О = — 21г,а. Уравнение (3.14) означает, что ро и а должны обращаться в нуль либо порознь, либо одновременно.
Если а=О, т равно нулю или И. При ао — — О допустимы промежуточные значения т, Таким образом, оптимальная траектория может содержать дуги следующих трех типов: !) участки нулевой тяги (участки 68 д Общая теория оятомольямх траекторий ракет НТ), 2) участки максимальной тяги (участки МТ) и 3) участки промежуточной тяги (участки ПТ). Исключение Лене из (3.9), (3.10) приводит к урав- нениям Е е Лт)~ — ЛА. М (3.17) Величина Ль(ь представляет собой скалярное произведение базис-вектора и единичного вектора с компонентами ть При переменных (ь максимум этой величины достигается при условии коллинеарности вектора 11 и базис-вектора и равен значению модуля базис-вектора р.
Следовательно, необходимо, чтобы Лт ет ье Ръ (3.18) дат Ль= Лт —,.' ° (3.15) Поскольку д; суть компоненты вектора, дд;/дх; подобен тензору второго ранга относительно преобразований используемых нами прямоугольных декартовых координат; поэтому величины Ль удовлетворяющие уравнению (3.15), ведут себя аналогично компонентам вектора при таких преобразованиях. Вектор с компонентами Ль обозначим через р и дадим ему название базис-вектора или базиса. Если ат, р, не обращаются в нуль одновременно, то, согласно (3.12), (ь находятся между собой в том же отношении, что и Ль в силу чего вектор тяги всегда коллинеарен базис-вектору. Если т = О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
