Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 11
Текст из файла (страница 11)
е, двигатель выключен, числовые значения (т не влияют на движение. Если 1ьт= О, базис-вектор обращается в нуль. Условие Вейерштрасса (1.91) требует, чтобы в каждой точке оптимальной траектории неравенство ( — ' ЛД вЂ” Л,) т )~ ~ — Ль(ь — Лт) пт' (3.16) было справедливо для всех возможных значений 1то, те, удовлетворяющих связям (3.5), (3.6), На участке НТ т=О, и последнее условие овна.
чает 70 а Общак теории оотииакьнеие траекторий ракет При указанном значении )а соотношение (3,16) тогда означает, что неравенство 77 > — Л,1 (3.25) должно иметь место для всех допустимых 1;*. Правая часть этого неравенства максимальна при условии коллинеарности векторов 7н, й, тогда необходимо е 7"т ит М Р. (3.26) Однако условие (3.24) означает, что е 'т~мР (3.27) причем равенство соответствует только случаю кол- линеарностн векторов Хь 1ь Отсюда (3.28) В точке сопряжения двух участков различных типов множители Ль )н+е, Х, должны быть непрерывны.
В соответствии с (3.9), это эквивалентно утверждению, что р, р и Хт непрерывны. Следовательно, геометрическое место концов вектора р в системе прямоугольных осей будет представлять собой гладкую без изломов кривую. Это геометрическое место точек но- и тяга должна быть направлена по базису, т, е. 1т определяются соотношениями (3.22). В частном случае при обращении базис-вектора в нуль условие (3.28) также справедливо. Результаты, полученные из условия Вейерштрасса, можно резюмировать следующим образом: 1) при работе двигателя тягу следует всегда ориентировать по направлению базис-вектора (РФО); 2) должны выполняться условия: н40 на участке НТ, х)~0 на участке МТ и и=О на участке ПТ, причем функция н определяется соотношением и= — р — Х,, (3.29) а а Луги як»гремели сит название годоерафа базис-вектора »). Поскольку тяга направлена всегда по вектору р, 1ь очевидно, не могут быть разрывны, за исключением точки, где базис обращается в нуль.
В такой точке годограф бази. са проходит через начало координат, и его направление меняется на противоположное. Поэтому все !» здесь меняют знак, т. е. производится реверс тяги. В угловой точке дополнительно требуется непрерывность выражения (1.64). Подставляя значения производных фазовых переменных из уравнений (3.1) — (3.3) и используя тот факт, что»», Х»ча, д'», о», как известно, непрерывны, получаем, что это требова. ние удовлетворяется при условии непрерывности вы- ражения сяг — Л»1» — й, л»=»и . гм 7 (З.ЗО) Отсюда, если в угловой точке и разрывно, то тогда в ней х=О.
(3.31) Остается учесть уравнения (3.11) и (3.13). Исключим Хт из числа переменных, выразив его в функции х с помощью (3.29). Подставляя полученное таким способом значение Хт в (3.11) и (3.13) и используя (3.22), получаем с х = — »э, (3.32) (3.33) х = рз(т — 2п»). (Замечание» (3.22) может служить для определения !» и в случае т = О.) На участках НТ и МТ соотношение (3.33) используется только для определения рз. На дуге НТ М— постоянная величина, и (3.32) немедленно интегрируется; тогда получаем х = — ' »»+сонэ!. (3.34) '1 В отечественной литературе ену соответствует название р-траектории. — Прим, иерее.
72 3 Общая теория оотимаеьиььк траекторий ракет На участке ПТ 1ь,=О, откуда х=О. Соотношение (3.32) поэтому означает, что р = сопз1, (3.35) т, е. модуль базиса постоянен. Соберем теперь вместе результаты настоящего раздела. Компоненты базиса р удовлетворяют системе (3.16), которая в векторной записи имеет вид р= р(р. и), (3.36) где 9 — гравитационное ускорение. На активном участке тяга направлена по вектору р (при условии, что рФО). На участке НТ х отрицательна и определяется нз (3.34). На участке МТ и положительна и определяется из (3.32). На участке ПТ х равна нулю тождественно и модуль базиса постоянен. х является функцией переключения величины тяги.
В угловой точке, разделяющей дуги двух разных типов, где т разрывна, х обращается в нуль. Кроме того, базис и его первая производная непрерывны и, в силу непрерывности Лт и р,х также непрерывна. Аналогично из (3.32) очевидно, что х непрерывна всюду, за исключением, быть может, точки обращения в нуль р, где направление тяги меняется на противоположное. В заключение раздела сделаем замечаниео первом интеграле уравнений (3.36), существующем в случае стационарного гравитационного поля. При этом дь не зависят от 1 и первый интеграл вида (1.67) справедлив на всей оптимальной траектории, т. е.
Л,пь + Ль ьэх, + Л М = С, (3.37) где С вЂ” одна и та же постоянная для всей траектории. Подставляя выражения для производных повремени, Лт+е, Лт и Ет из (3.!) — (З.З), (3.9),(3.29) и (3.22) соответственно, запишем первый интеграл в виде Л рт — Лр,+хт=С. '(3.38) В векторной записи это означает р.а — р у+ хт=С, (3.39) где т — скорость ракеты. 8.2. Имиульсния тяга 73 На пассивном участке т = О, на дуге промежуточной тяги к=О, так что в этих случаях (3.39) сводится к р д — р к=С. (3.40) 3.2.
Импульсная тяга Полагая т->со, приближаемся к случаю, когда 'резерв тяги ракетного двигателя неограничен. Участок максимальной тяги в этом случае заменяется отрезком импульсной тяги пренебрежимо малой длины, на котором изменяется только скорость аппарата, но не его положение. В задачах о межпланетных перелетах при помощи обычных ракет, способных развивать тягу, сравнимую по величине с земным весом аппарата, длительность участка максимальной тяги всегда мала по сравнению с общим временем перелета к планете назначения. Поэтому с целью расчета оптимальной траектории можно пренебречь движением ракеты на этих участках, заменив их импульсами тяги.
Вэтом случае можно считать лт бесконечным и упроститьрезультаты предыдущего раздела. В дальнейшем будем называть точку приложения импульса тяги на оптимальной траектории точкой соединения. В этой точке координаты ракеты х; являются непрерывными функциями г, в силу чего непрерывны и коэффициенты дд,/дх, в определяющих компоненты базиса уравнениях (3.15), Из них также следует, что базис н его первая и вторая производные по времени непрерывны в точке соединения. Однако его третья производная, определяемая уравнением является в общем случае разрывной нз-за разрыв- ности хд.
Рассмотрим участок максимальной тяги, окаймленный с обеих сторон пассивными участками. Как известно, на участке максимальной тяги к)~0, вследствие чего график функции переключения имеет внд, т4 8. Общак теорие оатиаакиных траекторий ракет представленный на рис. 3.1,а. Начнем увеличивать величину тяги, сокращая длину интервала ее действия с целью приближения к условию импульсной тяги. Тогда оказывается, что график х в пределе должен иметь вид, показанный на рис. 3.1,б. Это означает, Р во.
3.1. что в момент приложения импульса тяги 1=1т необходимо, чтобы х=х=О, (3.42) т. е. х должна иметь максимум. Результат не меняется, если один или оба участка нулевой тяги заменяются участком промежуточной тяги, на котором х=О тождественно. Поскольку изложенные рассуждения не исключают полностью возможность того, что 1 = 1~ может оказаться точкой возврата кривой х(1), проведем доказательство более строго. Для рассматриваемой нами задачи уравнение (1.63) принимает внд аР да — Х,— ' йГ дГ Интегрируя (3.43) на бесконечно малом отрезкедействия импульсной тяги и учитывая, что правая часть этого уравнения остается конечной величиной всюду на этом интервале времени, получаем (ЗА4) 75 дд Импульсная тяга где Р-, Р+ — значения функции Р слева и справа от точки приложения импульса. Таким образом, Г непрерывна в точке приложения импульса. В то же время на оптимальной траектории Р= — )г,+)р,— (3.45) Так как на участках НТ и ПТ хат=О, то величина хпс должна обращаться в нуль слева и справа от точки приложения импульса.
Аналогично Х; и а; непрерывны в точке соединения. Отсюда следует непрерывность Х;о; в точке приложения импульса, иначе ~оворя, Хо =Хо+, г с или (3.46) Л,. (ю+ — о;)=О, так как Х» также непрерывны в точке приложения импульса. Как известно, направления импульса и базиса совпадают, поэтому о+ — о;= рХ„ (3.47) где р (ФО) — коэффициент пропорциональности. Таким образом, (3.46) эквивалентно соотношению ).г), =О, или р=о. (3.48) Тогда из (3.32) вытекает, что х=О. Если импульс прикладывается на одном из концов траектории, приведенные рассуждения теряют силу и условие (3.48) неверно.
Рассмотрим участок НТ, соединяющий две точки соединения. Если в одной из этих точек р = Р, то соот. ношение (3.34) справедливо всюду на этом участке, и так как в точке соединения х=О, то на всем участке х = — (р — Р). (3.49) Отсюда следует, что н во второй точке соединения р=Р. Итак, если оптимальная траектория состоит из 16 д Обиеая теория оптимальных траекторий ракет дуг НТ, разделенных только точками соединения, то во всех таких точках Р=Р и соотношение (3.49) справедливо на каждом участке НТ. На участке ПТ к=о и р = сопз(; что касается значений к и р, дуга ПТ в точности подобна точке соединения, так что наличие такого рода участков никоим образом не влияет на ход предыдущих рассуждений.
Теперь все условия, которым должна удовлетворять функция переключения к, можно выразить через р. Потребуем, чтобы условие р=Р выполнялось во всех точках соединения и на всех участках ПТ и чтобы на каждом участке НТ имело место Р(Р. Если эти условия удовлетворяются, то в силу непрерывности х из (3.32), (3.49) вытекает, что к=о во всех точках соединения и на каждом участке ПТ и к~о на всех участках НТ. Окончательно потребуем выполнения условия р=о во всех точках соединения; согласно (3.32), это означает, что х=о, т. е. действительно имеет место (3.42) (это условие заменяет условие к)~0, характерное для дуги максимальной тяги в общем случае).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
