Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1.11. Вторая вариация. Достаточные условия Если минимизирующая вектор-функция вложена в однопараметрическое семейство допустимых вектор- функций, удовлетворяющих также краевым условиям, то для каждого элемента семейства можно вычислить значение функционала Х в зависимости от параметра семейства е. Если на минимали е=О, то для этогозначения е мы должны иметь д! йаХ -31-=0, — „,, > О. (1.100) Следствия первого из этих условий были изучены выше. Для рассмотрения второго условия необходимо вычислить так называемую вторую вариацию Х.
Как показано в книге Блисса (стр. 268), вторую вариацию можно выразить через вариации минимизирующей системы функций относительно семейства допустимых систем, и тогда из последнего условия (1.100) сле- Литература дует, что это выражение должно быть положительно для всех допустимых вариаций. Это требование приводит к присоединенной задаче о минимуме (Блисс, стр. 27!) и четвертому необходимому условию. Однако его применение к задачам, которые мы будем рассматривать, затруднительно, ввиду чего до настоящего времени (!962 г.) оно не нашло сколько-нибудь широкого распространения.
Следствия из этого дополнительного необходимого условия (впервые обнару. женного Якоби) в этой книге не рассматриваются. Доказано (Блисс, гл, 9), что совокупность достаточных условий минимума 7 можно выразить при помощи четырех необходимых условий, упоминавшихся в этой главе. Такая система условий гарантирует только лишь, что минимизирующая вектор-функция доставляет функционалу 7 локальный минимум, т.
е. минимум на множестве допустимых функций, лежащих в сравнительно малой окрестности минимали. Остается еще проблема отыскания абсолютной минн- мали. В настоящее время она может быть решена только на основе отдельного рассмотрения всех возможных локальных минималей и выбора из этого класса объекта, доставляющего абсолютный минимум 7.
Если возникает требование, чтобы функционал У принимал максимальное (а не минимальное, как рассматривалось выше) значение, то меняются знаки в неравенствах, соответствующих условиям Вейерштрасса и Клебша, а также в условии (!.(00). Первое необходимое условие останется неизменным. ЛИТЕРАТУРА 1. Кои п Р., Принцип максимума Понтрягина, Методы оптнми. нации, гл. УП, «Наука», М., !965, стр, 307 — 337. 2'. Попом а р ее В.
М., Теория управления полетом космических летательных аппаратов, «Наука», М., !985. 3. С ! с а ! а Р., М ! е1 е А., Сгепега!!вей йеогу о! йе ор1!пппп йгцв1 ргоягаппп!пн !ог йе 1ече! !!1НЫ о! а гос!ге1-ряиеге4 а!гсганч А Атлет. мосле! 3оа, 28, № 6 443 — 455 (!956). 4. М(а!в А., Сгепега! чаг!виола! йеогу о! йе 1!!ВЫ райн о! госке1-ротчегед в1гсгай гп!нанев апд ва(е1рде сагггегв, Автгопаи!. АсМа, 4, № 4, 264 — 288 (1958!. Д Задача Майера Упражнения !. Непрерывная кривая связывает две фиксированные точки в декартовой системе осей Оху; з — длина дуги кривой от точки А до некоторой точки Р(х,у).
Получить уравнения х =со50, у'=з!П0, где штрих означает дифференцирование по з, а 0 — угол, образуемый касательной к прямой в точке Р с осью Ох. Рассматривая з как независимую переменную, х,у — как фазовые координаты и 0 — как управляющую функцию задачи Майера, показать, что длина дуги минимальна, если вдоль кривой 0 = а = сопз! (т. е.
если кривая представляет собой прямую линию)'. Проверить выполнение угловых условий и условий Вейерштрасса. 2. Однородная нить весом ш на единицу длины и длиной ! закреплена своими концами в двух фиксированных точках н висит в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Ох, Оу — горизонтальная и вертикальная оси в этой плоскости, з — длина луги нити, измеряемая от конца А с минимальным значением координаты х до некоторой точки Р(х,у). Обозначив через о потенциальную энергию дуги нити АР, получить уравнения о =Му, у =5(п0, х =соз8, где штрих и 8 имеют тот же смысл, что и в предыдущей задаче.
Предполагая, что форма нити такова, что ее потенциальная энергия минимальна, показать, что уравнение нити имеет вид з=ася8+Ь, где а, Ь вЂ” константы, определяемые из краевых условий. Показать при помощи угловых условий, что 0 должен быть непрерывен и что значения а и Ь не должны меняться вдоль нити.
Проверить, что условие Вейерштрасса выполняется. 3. Задача о брахистохроне. Гладкий шарик скатывается по проволоке, закрепленной в вертикальной плоскости. Пусть Ох, Оу — горизонтальная н направленная вертикально вниз декартовы оси. Проволока проходит через начало О и точку А. Шарик приходит в движение из точки О с нулевой скоростью и скользит по проволоке под действием силы тяжести по направлению к точке А. Получить уравнения движения х= ып0, у= 0, =2уу, где х,у — координаты шарика в момент т после начала движения, о — его скорость, 0 — угол наклона скорости к оси Оу и у — ускорение силы тяжести. Показать, что время движения шарика нз начала координат О в точку А минимально при условии, что параметрическое уравнение проволоки имеет вид х = а (20 — з(п 20) + Ь, у = а (! — соз 20), 39 Упражнения где а и Ь вЂ” постоянные, определяемые из условия прохождения проволоки через точки О и А (иначе говоря, если проволока натянута по дуге циклоиды), Проверить выполнимость угловых условий н условия Вейерштрасса.
4. Решить следующую задачу Майера: пусть х — независимая переменная, у и х — фазозые координаты, сс — управляющая переменная и уравнении связи имеют вид х'=г(х, р, а), у' а, где штрих означает дифференцирование по х; у принимает заданные значения уо,у1 при хе,х, соответственно; х О прн х хег величина х не фиксирована при х хь а минимнзируется. Показать, что если у=р(х) — произвольная функция,удовлетворяющая заданным краевым условиям у(хю) уь у(х,) уи то интеграл х| Г(х р р)ах принимает минимальное значение при условии, что функция р(х) удовлетворяет уравнению Показать танже, что в угловых точках непрерывны следующие функции: дг , дг ду' ' ду' ' Получить условие Вейерштрасса ((х, у, у'*) — ((х, у, у') — (у' — р') —, >О, ду' где у'» — произвольно, 2.
РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИИ 2.1. Уравнения движения ракеты (2.1) ости ЬМ. (М+ЬМ)(»+Ьт) — ЬМ(с+ к), где ч+Ьт — скорость центра инерции совокупи частиц, составляющих при (+И ракету массы М+ В момент Т количество движения Е равно Мт. Пренебрегая членами второго порядка, находим из ура внения (2.!) приращение количества движения Х за интервал И: (2.2) М Ьт — ЬМс. Пусть М вЂ” масса вещества, заключенного в момент Т внутри поверхности, образованной наружной оболочкой корпуса ракеты и воображаемыми плоскостями, проведенными через выходные сечения двига.
телей. Следовательно, масса продуктов сгорания, не истекших к данному моменту из сопла, включается в М, в то время как частицы внешней по отношению к ракете газовой струи не принадлежат М. Обозначим через Х совокупность частиц, входящих в М. Пусть ч — скорость центра масс Х в ннерциальной системе отсчета 5, à — векторная сумма всех внешних сил (т. е. сил тяжести и аэродинамического сопротивления), приложенных к Х. Если на интервале (Т, Т+ЬТ) масса М меняется на М+ЬМ (ЬМ(0), частицы с об. щей массой — ЬМ переходят во внешнюю струю. Пусть с — скорость истечения частиц относительно ракеты в точках на срезе сопла (предполагаемая одинаковой для всех частиц).
Тогда количество движения перешедших из Х в струю за интервал И частиц относительно Я равно — ЬМ(с+к), а количество движения системы Х в момент г+И измеряется величиной 2.д уравнения движения ракеты 41 По закону динамики оио должно быть равно импульсу приложенных к Х внешних сил на интервале действия (2, г+й). Отсюда имеем уравнение Г д2 = М ЬУ вЂ” ЬМс. (2.3) Деля обе его части на М и переходя к пределу, получаем уравнение движения ракеты Му = Г+СМ.
(2.4) По мере сгорания топлива центр инерции аппарата перемещается относительно корпуса аппарата. Однако скорость этого движения крайне мала по сравнению со скоростью самого аппарата, следовательно, без дальнейших оговорок можно приравнять ч скорости ракеты на траектории. Если давление р, в реактивной струе вне сопла равно атмосферному (или нулю, когда ракета движется в пустоте), наружная поверхность Х будет ис. пытывать действие постоянного нормального давления (в дополнение к силам трения и другим силам, возникающим при движении в атмосфере).
По известному принципу гидростатики равнодействующая этой системы сил равна нулю, благодаря чему в Г необходимо учитывать только силы, связанные с движением в атмосфере (т. е. подъемную силу и силу сопротивления). Однако в случае, когда р, не равно местному атмосферному давлению ры нужно принять во внимание действие дополнительного давления р, — рв на срез сопел. Так, если А — суммарная площадь сопел, то в Г войдет результирующая сила (р,— р,)А, действующая вдоль осей этих сопел в сторону увеличения силы тяги двигателей. Однако мы будем неизменно пренебрегать этой компонентой вектора Г, считая, что полная сила тяги равна сМ.
В случае, когда ракета движется под действием только силы тяги, а остальные силы отсутствуют, имеем те = — — ° с 0М М М (2.5) Если в процессе полета скорость истечения поддерживается постоянной по величине и направлению, 42 2. Раэпичньм задачи оптимизации траекторий последнее уравнение интегрируется на интервале ,(4о, ~т), что дает н1 — у~= — с !ив пйч (2.6) 1 Таким образом, величина приращения скорости, полученного за счет расхода топлива (и уменьшения массы ракеты от Мо до Мт), равна у=с!п ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
