Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Задачу нетрудно обобщить на случай, когда (г является переменной. В этом случае следует записать /=У(хе+, „..., х„„т,), (1.6) что означает, что е минимизируется также и по (ь Будем предполагать, что функционал е непрерывен по всем своим аргументам и обладает непрерывными частными производными достаточно высокого порядка.
1.4. Допустимые вариации В общем существует бесконечное множество пар вектор-функций хч(!), се,(!), удовлетворяющих уравнениям (!.1) — (1.4), причем каждой паре соответствует некоторая величина е. Предположим, что среди них .есть одна, которая доставляет минимальное значение функционалу Х. Эту минимизирующую пару мы будем впредь обозначать через х~(!), се;(!). Для удобства рассмотрим вначале более широкий класс функций, для которого определен функционал Х и который содержит в себе минимизирующую совокупность. Этот класс допустимых функций включает порядка по всем аргументам. Кроме того, эти функции должны быть такими, чтобы соответствующие им координаты хь х,„..., хе, д.4п, принимали заданные значения при (=(~.. х,=хп, (=1, 2...
у. (1 4) В остальном управляющие функции можно выбирать произвольно. Существование управляющих функций, удовлетворяющих условиям (1.3), (1.4), предполагается. Пусть хе+1 ь ха+ей, ..., хчг — значения не связанных условиями (1.4) переменных х~ в момент (=(ь Тогда наша задача заключается в отыскании таких управляющих функций сеь чтобы порождаемые ими х; удовлетворяли соотношениям (1.3), (1.4), а заданный функционал е(хе+1 и хе+ам ..., х„1) ХХ доауагимае еариации й=1, 2... р; 1 = 1, 2, ..., ~у; г = 1, 2, ..., и; в=а+1, 9+2, ..., и; 1=р+ 1, р+2, ..., т. (1.!0) 2 и.
Ф. лотдеи в себя функции, которые удовлетворяют соотношениям (1.1), (1.3), но не обязательно граничным условиям (1.2), (1.4). Предположим, что можно найти однопараметрическое семейство таких допустимых пар, включающее в себя минималь. Этот подкласс допустимых функций обозначим через х;(1, е), а;(1, е), где е — параметр, причем е=0 соответствует минимали, т. е. х, (1, О) = х,(1), а (1, О) = а~ (1). (! .7) функции х;(1, е), х;(1, е) и и;(1, е) по предположению обладают непрерывными первыми производными поз для всех е, удовлетворяющих (е(<аа, и всех 1 в интервале (1е, 11), а также — для указанного диапазона изменения е и 1 — свойствами непрерывности по 1, оговоренными в равд, 1.3. Для случая переменного 11 мы будем считать 11 зависящим от е, приняв в качестве краевого условия для минимали значение 1,(0) =1ь При подстановке функций х,=х,(1, е), а1 — — а1(1, е) (1.8) в уравнения ( 1.! ) последние удовлетворяются по 1 и а тождественно.
Отсюда, дифференцируя обе части по е, получаем выражения д'х~ дй дх, д1~ да1 де д1 дх, де дат де = —,— '+— (1.9) оба члена в правой части которых следует понимать как суммы по г(1, 2, ..., и) и 1(1, 2, ..., т) соответственно, согласно известному правилу суммирования по повторяющемуся индексу.
Это правило будет неоднократно использоваться в дальнейшем, поэтому установим диапазоны дискретного изменения буквенных индексов, используемых в настоящей главе: 1=1, 2, ..., и; 1=1, 2, ..., т; !в 1. Задача Майера Полагая в (1.9) е=О, можно записать дх у'+ да. ! й' дй дй (1.11) где у~(~)=~,~ ), рт(г)=( й ) (1.12) и аргументы д!идх„, д);/да! суть функции х;(!), к;(!) из минимизирующей пары.
Функции уь ~; обладают свойствами непРеРывности фУнкций хь оц соответственно и называются вариациями минимизирующей пары относительно рассматриваемого семейства. Подставляя аналогичным образом соотношения (1.8) в уравнения связей (1.3) и дифференцируя затем их по е, получаем (1.13) Полагая е=О, приводим (1.13) к виду де ве (1.14) l где дух/дхь дда/дя, снова берутся на минимали. Таким образом, из сказанного следует, что одно- параметрическое семейство допустимых систем функ-, ций должно быть таким, что его вариации обращают уравнения (1.11) и (1.14) в тождества в любой момент времени й Мы, напротив, будем полагать, что й если уравнения (1,11), (1.14) разрешимы относитель- ~ но некоторой системы функций у;(!), ~;(!), то можно ) найти однопараметрическое семейство допустимых си-, стем, включающее минималь, вариациями которого ~ являются у;(!), ~й(!).
Доказательство этой теоремы ! включения можно найти в книге Блисса (стр. 233). ~~ Такую совокупность функций у;(!), р,(!) будем назы- ".' вать допустимыми вариациями минимали х;(!), са;(!).,-'- 1.5. Первая вариация е Составляя у согласно (!.6) для элементов семейства допустимых пар, получаем его в зависимости от параметра е. Величина дУ(де прн е=О носит название д5. Первая вариацию 1 первой вариации У относительно семейства и обозна- чается так: ( А/) (1.15) Подставляя е) ~1 =1,(е), """ ( ) и дифференцируя их по е, вУ д1 Г дх дГ~ дх ~ дУ дГ, — = — ~ — ' — '+ — ')+ — — '. (1.17) дв дхв,~дц Ее дв ) дг, де ' Полагая здесь е=О, получаем дУ дУ У1 =дх (х ~и1+У1) + дг и1 (1 18) где (1.19) и частные производные У берутся на минимали.
Назовем иг вариацией конечной гочки. Преобразуем выражение (1.18) к виду, более удобному для дальнейших рассуждений. С этой целью введем некоторые вспомогательные функции Х;(1), 1гю(1), которые будут определены ниже, и величину Р, заданную соотношением г' = — ~'Ь+ Рюую. (1.20) Это вспомогательное выражение впервые использовал Лагранж при рассмотрении задачи на максимум и минимум функции конечного числа переменных с наложенными на нее ограничениями. В соответствии с этим г' называется функцией Лагранжа, а кь 1гю— множителями Лагранжа.
Тогда имеет место соотно. шенин 3~'~~У~- — Ув — — »)+Р4д Ув+д 4"= и =) ~Х,у,+ — у,+ — „р;1йг, (1.21) и Д Задача Майера в силу (1.11), (1.14) равное тождественно нулю для всех допустимых вариаций на минимали. Будем предполагать, что множители Лагранжа непрерывны всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.
Интегрируя по частям, по- лучаем с, с, ~ д„, ус«д =1уРМ,— ~ уйс тат (1 22) где 0,=1ЕЮ (1.23) Выражение (1.21), очевидно, приводится к виду ь Уп ~ д. ост+ ~ ~()Ч вЂ” %с)Ус+ да 5~ ~с(д. (1.24) са сс Выберем теперь и множителей Л,, удовлетворяющих уравнению !Ж' (1.27) л,= ~ —,„(т+дм, дР (1.25) са где Хсе — константы, которые следует определить. Как доказано в книге Блисса (стр. 237), уравнения (1.25) однозначно определяют Хс на интервале [се, сс), коль скоро заданы Хсе. Найденные таким образом Хс непрерывны всюду, за исключением точек разрыва схсь и не обращаются в нуль одновременно при любых значениях й Выберем р множителей рю чтобы удовлетворить р уравнениям — =О, 1=1, 2, ..., р(сп.
(1,26) дР Для этого необходимо, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при ра в этих уравне- ! ниях, был отличен от нуля, т. е. чтобы имело место Лб. Первые иеобяодимв~е условия мииимуми У 21 где й также пробегает значения 1, 2, ..., р. В случае, когда указанное условие не удовлетворяется, связи (1.3) не являются независимыми. Будем предполагать, что это условие выполнено.
Тогда при указанном выборе множителей Лагранжа выражение (1.24) приводится к виду дГ Ул(Лл — Лю)+ ~ Люусс1г+ ~ ди Встав= в н дР = УпЛп УюЛю+ 3 д Рс сй, (1.28) а где индекс ! принимает значения р+1, р+2, ..., и и Лн=Л;(1,). Пусть у,— константа, которую определим позднее. Тогда выражение (1.28), тождественно равное нулю для всех допустимых вариаций, можно сложить с ТА с учетом соотношения (1.18), что дает дд дд М =уо ~ с1л.
(тнп~ +Ун)+ до п~ (+ дею ! +УпЛп — УюЛю+ ~ ди Раей. (1.29) н Это выражение и является требуемым преобразован- ным выражением для первой вариации. 1.6. Первые необходимые условия минимума е Пусть у)е1(б), (!" (!), и!е1, где о=1, 2, ..., У+и+1 =У, есть Л! систем допустимых вариаций, каждая из которых удовлетворяет уравнениям (1.11), (1.14). Допустим, что можно отыскать л1-параметрическое семейство допустимых пар вектор-функций хе((, еь зю ..., еы), ао(1, еь ео, ..., ем), из которого минимизирующая пара (минималь) выделяется заданием нулевых значений параметров ес=ео—- ...— -ем=О, причем вариации указанных вектор-функций по каждому 1. Задача Майера (1.30) Условия того, что элемент семейства должен удовлетворять краевым условиям (1.2), (!.4), имеют вид хг(1о ео)=хм хс!1~(ео) ее!=ха (1 33) где е,— вся совокупность параметров еь ее, ..., ех.
Для любых значений параметров, удовлетворяющих условиям (1.33), 11 должно быть положительным, так как при этих условиях Уо есть минимальное значение величины е. Однако при У=О уравнения (!.32), (1.33), как известно, имеют решение а,=е,=... =ел=О. Согласно известным теоремам о неявных функциях, уравнения (1,32), (1.33) определяют е, как непрерывные функции 11 в окрестности 11=0, причем е, (0) =0 (о= =1, 2, ..., й1), при условии что определитель д1 де, дх~о д1 д1 дее дх~ю де дхн де, де дх~о де, дхи де (1.34) де дхн дем не обращается в нуль при а~в - ее= ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
