Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 4
Текст из файла (страница 4)
=за=О. Это означает, что существуют значения з,, при которых параметру а, суть у)а!(1), (г1Ю(1), т. е. дх~ дат фо! 1 (уо) где а~=ее=...— — за-О. Строгое доказательство читатель может найти у Блисса (стр. 235). Примем также, что 1е зависит от параметров а, таким образом, что н(а! (1.31) деа когда все з равны нулю. При подстановке функций из этого семейства Х становится функцией е„принимающей свое минимальное значение 1, прн нулевых значениях всех параметров.
Запишем 1(ео ее ., ех)=/о+У (132) Хб. Первые необходимые условия минимума 1 23 удовлетворяются краевые условия (1.2), (!.4) и которые, помимо этого, приводят к отрицательным значениям У. Последнее невозможно, следовательно, Л должен обращаться в нуль, когда ег —— ег — —... =ел — — О. С этой точки зрения Ь всюду ниже будет означать определитель (1.34) при нулевых значениях параметров е,. Пусть )с((М) — максимальный ранг детерминанта Л для некоторых У систем допустимых вариаций. Предположим, что Л имеет указанный ранг для вариаций у~!" (1), Р~')(д), п~ю. Тогда из Л можно выбрать )с линейно независимых столбцов. Перенумеруем столбцы таким образом, чтобы линейно независимыми стали первые Я столбцов.
Так как строки детерминанта Ь линейно зависимы, всегда можно найти не равные нулю одновременно числа уо, у„..., у„, ть тм .... те, такие, что (1.35) о део г дее део при о=1, 2, ..., И. Пусть у;(1), ~,(1), и, — общая система допустимых вариаций. Заменим одну из систем допустимых вариаций, соответствующую столбцу детерминанта Л с номером, большим Я, указанной новой системой. Замененный столбец обозначим так: (1.36) где е — параметр, соответствующий новому множеству допустимых вариаций. После этого ранг Ь останется равным )с, поскольку это его максимальный ранг и всегда найдется Р линейно независимых столбцов.
Отсюда следует, что столбец (1.36) линейно зависит от первых И столбцов Л и что, согласно (1.35), Это уравнение должно выполняться для любой системы допустимых вариаций. Дифференцируя левые части соотношений (1.33) по з и полагая в них значения всех параметров 24 К Задача Майера Равными нулю, находим дхио — = Уеи де (1.38) дхи, — = хпи, + уп. де (1.39) Выберем теперь константы )чо (которые пока находятся в нашем распоряжении) таким образом, чтобы коэффициенты при ум в условии (1.10) обратились в нуль.
Отсюда получим е ио = уи (1.41) Значения уп в условии (!.40) можно выбрать произвольно, так как уравнения (1.11) всегда могут быть удовлетворены функциями уи(1), принимающими любые заданные значения при 1=!и. Далее, р функций ри, ре, ..., ро можно полностью определить из р уравнений (1.!4) после того, как каким-то образом заданы функции 8„+и, 8„+„..., 8 . Наконец, величину пи также можно выбрать без всяких ограничений. Отсюда следует, что условие (1.40) может выполняться для всех допустимых вариаций только тогда, когда коэффициенты этих произвольных величин обращаются в нуль, т. е. если имеют место соотношения "и = е"ии1 (1.42) Лн, де (1.43) о дх и д./ дд уо — + уо — х,и + ч,хп — — О, (1А4) дои дхеи — — О.
(1.45) даи Подставляя (1.38), (1.39), а также значения уоХи= = уодУ/де из уравнения (1.29) в условие (1.37), запишем его в форме д.и (Уи )ио)уио+(ои+)ии)уии +(Уо дх, + )еи)ул+ +(Уодх хи + Уо де, + илии) ~и+ ) д Рине=О. (1.40) дУ д,и' 'и дг Лб, Первые необходимые условия минимума У 25 Исключая ос из уравнений (1.42), (!А4) и подставляя (1.43) в уравнение (!.44), приводим эти условия к виду д7 Ли = — Уо дх д7 Ламп =Уо дг ! (1.46) (1.4?) дР Л,= —.
дхс ' (1.50) Если минимизация проводится без учета вариации конечной точки !ь величина последней задана, вследствие чего в уравнении (1.40) и,=О и условие (1.47) более неприменимо. Если приведенные выше необходимые условия удовлетворяются при 7,=0, результирующее решение называется анормальньнм. В случае нормального решения уоЖО и, не теряя общности, можно принять уо=1, плюс уравнение (1.46).
Итак, минимизирующая система функций обязана удовлетворять следующим необходимым условиям: множители Лагранжа Ло рь должны удовлетворять характеристическим уравнениям Л,=1 —," У1+Лкн (1.48) 0=— (1.49) дит и, кроме того, конечным условиям (1.46), (1.47). Вместе с (1.1), (1.3) уравнения (1.48), (1.49) образуют систему 2л+т+р уравнений для определения 2п+ +т+р функций х,(1), а;(!), Ле(!), !х„(!).Зависимостп (1.2), (1.4), (1.46) и (1.47) служат 2н+1 краевыми условиями для нахождения л констант Лм, и постоянных интегрирования дифференциальных уравнений (1.1) и конечной величины !» В точках, где аз непрерывны, характеристические уравнения (1.48) эквивалентны дифференциальным уравнениям Л Задана Майера поскольку левую часть уравнения (1.35) в этом слу чае можно разделить на уа и ввести вместо множите лей уь тч отношения у;/уа и т~/уа соответственно.
1.7. Условия Вейерштрасса — Эрдмана для угловых точек В этом разделе мы будем изучать условия, которым удовлетворяет минимизирующее семейство функций в точке разрыва /=а некоторых или всех функций а,(/). Как было отмечено выше, в такой точке функции х;(1) будут оставаться непрерывными, но их производные А могут терпеть разрыв. Функция Лагранжа Р может быть разрывной, следовательно, ее частные производные др/дхь др/да~ также могут быть разрывными.
Однако, как следует из (1.25), множители кч тем не менее будут непрерывными. Уравнения (1.26) определяют остальные множители рк и очевидно, что эти функции могут терпеть разрыв при 1=а. Также ясно, что при разрыве указанного типа, имеющем место на мипимали в момент /=а, /должен принимать минимальное значение по отношению к малым вариациям положения точки разрыва на интервале [/а, Я Используя это свойство, можно найти дополнительное необходимое условие, которое должно выполняться в случае разрыва.
Для проведения доказательства целесообразнее переформулировать задачу в параметрическом виде. Допустим, что переменная 1 зависит от параметра 0 таким образом, что при возрастании О от Оа до О~ переменная 1 изменяется в пределах от /а до /ь Тогда функции х;(1), сс;(1) перейдут в функции от О, которые мы обозначим через Х;(О), А~(О) соответственно. Связи (1.1), (1.3) эквивалентны уравнениям Х'= Т/ь(Х ' " Х А ' А /)' (151) Е' = Т, (1.52) д„(Хо ..., Х„, А,, ..., А, 1)=0, (1.53) где Т= Т (0) и штрих означает дифференцирование по О.
Граничные условия (!.2), (1А) дают аналогичные !.7. Условия Вейеристрасса — Эрдмана для угловык точек 2У соотношения Хт = хго ест =.Са, (1.54) (1.55) которые должны выполняться при 0=Ос и О=О, соот- ветственно. Задача теперь состоит в том, чтобы вы- брать управляющие функции А» Ае, ..., А, Т таким образом, чтобы получаемые из уравнений (1.5!), (!.52) функции Хь Хе, ..., Х„, 1 удовлетворяли связям (1.53), а функционал У(Хечь о Хе+ко ' ' ' Ла1 11) (1'56) принимал минимальное значение из возможных.
По- добная проблема изучена в предыдущем разделе, и для ее решения применимы полученные выше резуль- таты. Однако, поскольку ! является теперь произволь- ной функцией параметра О, положение любой точки разрыва управляющих функций на интервале (1в, 1,) может быть откорректировано вариацией этой функции и, следовательно, автоматически выбрано оптимальным образом с помощью изложенной в предыдущих рая. делах процедуры. Функция Лагранжа для данного случая дается вы- ражением Ф = — Л, Т1г — Л„„Т+ !ла ТХк, (1.57) где связи (1.53) для удобства умножены на Т)0 (так как 1 монотонно возрастает).
Немедленно можно за- метить, что новые множители Лагранжа, как подска- зывают уже сами обозначения, идентичны старым, если множество последних расширить, добавив к ним Л +и Таким образом, для задачи в этой новой форме характеристическое уравнение (1.48) запишется сле- дующим образом: ~с вч в, 1 дл гй+Лао (1.58) г4 1. Задаеа Майера где на заключительном этапе мы перешли к первона= чальным переменным под интегралом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
