Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Эти уравнения тождественны (1.48) для первоначально поставленной задачи. Соотношение для нового множителя 1.„.е, находится аналогично: г дР )"а+~ ) дг ~~1+~аЕЬО' (1.59) В новой форме можно записать также уравнения (1.49): дФ дФ (1.60) дА. ' дТ Легко проверить, что они эквивалентны следующим уравнениям: — — О, Р— Ла+~ — О. (1.61) Исключив Х„+г из (1.69), (1.61), получим Ф Р= ) — йЧ+ ~ма!.
дР (1.62) и Следовательно, мы снова пришли к уравнениям (1.48), (1.49), найдя дополнительное соотношение (1.62). В области непрерывности уравнение (1.62) эквивалентно дифференциальному уравнению дР йр д1 й1 ' (1.63) ).,х, (1.64) должна быть непрерывной. которое, как будет показано в следующем разделе, следует из (1.48), (1.49) и, таким образом, не является независимым условием. Однако в точке разрыва соотношение (1.62) указывает на непрерывность функции Р и является новым условием.
Так как на оптимальной траектории де=О и ~;=хь из нового условия следует, что величина 1.д, Первый интеграл Подведем итоги: в точке разрыва (угловой точке, согласно терминологии вариационного исчисления) множители Х; и выражение Х~хс должны быть непрерывны. Эти угловые условия для других задач вариационного исчисления были открыты независимо Эрдманом и Вейерштрассом. 1.8. Первый интеграл На минимальной траектории г' можно выразить как функцию единственного переменного й Найдя пол.
ную производную функции (1.20) по 1, получим для всех неугловых точек — = — Чс — )~с — х, — Хю — ау — Х, — + дР ° д(с д(с д(с дС дх, ' дис дс дд . две . дйе +се и +с х +те д а/+те дт др др др др = — — с'с + — х, + — ау+ —, (1.65) дхс дх, ' даС дт ' так как на минимальной траектории йд тождественно равны нулю и справедливо уравнение (1.50).
В силу (1.1), (1.49) зависимость (1.65) приводится к виду (1.63) . В частности, если функции )с, дн не зависят явно от 1, то дР/д1=0 и уравнение (1.63) дает первый интеграл Р = сопз1. (1.66) Так как де=0, )с=А, этот интеграл можно записать в виде Х,хс = с(сопз1), (1.67) причем константа с должна быть одной и той же на всей минимальной траектории, поскольку, как доказано в предыдущем разделе, выражение ) схс непрерывно в угловой точке. П Задача Майера х,=х(1, еь ..., е,,), а~ — — а. (с, е„..., е,,), х,= Х(1, е,, ..., ем,)„ а =А~(1, е„..., е,,), х,=х,(1, е„..., ен ь Ь), а~ — — а~(1, е,, ...,ен „Ь), (1.68) Т<1 < Т+Ь, Т+Ь <т <(ь где для каждого набора значений параметров х, непрерывны по 1 на всем интервале [1е, (Д и правые части этих уравнений удовлетворяют связям (1.1) и (1,3). Однако хь се; могут иметь конечное число разрывов по й В каждом из трех интервалов [1ь, Т[, [Т, Т+ Ь[, [Т+ Ь, 11[ функции хь хь а; обладают первыми частными производными по каждому параметру и непрерывны по всем своим аргументам 1, аь ...„ен ь Ь.
В остальном правые части уравнений (1.68) произвольны. Минимизирующая система функций выбн- 1.9. Второе необходимое условие минимума l В равд. 1.4 был определен класс допустимых век. тор-функций, включающих в себя совокупность минимизирующих функций, в равд. 1.6 — подкласс допустимых вектор-функций, удовлетворяющих краевым условиям (1.2), (1.4). Здесь были установлены необходимые условия, которым удовлетворяет элемент, минимизирующий функционал е.
Было введено понятие вариаций минимизирующей системы функций на множестве допустимых функций; вариации этого типа называются в вариациониом исчислении слабгями вариациями. В этом разделе путем расширения класса допустимых систем функций новыми элементами, не включенными в рассмотренный раисе класс, будет установлено второе необходимое условие минимумами, принадлежащее Вейерштрассу. Вариации относительно этого расширенного класса называются сильнсчми вариациями. Приняв Ф=п+д+1, определим М-параметрическое семейство допустимых систем функций хь ац с параметрами аь ем ..., ен ь Ь следующим образом: 1,У, Второе необходимое условие минимума 1 31 рается так, чтобы ей соответствовал набор из нулевых значений параметров.
Будем предполагать, что в этом случае 1=Т не является угловой точкой. Однако, поскольку се1 могут быть разрывными при (=Т для тех элементов семейства, у которых 6+О, эта точка может быть угловой для общего элемента семейства. Для семейства допустимых вектор-функций, определенного ранее, точка может оказаться угловой точкой обгцего элемента семейства только в том случае, если она является угловой точкой минимали.
Таким образом, новое семейство допустимых функций принадлежит более широкому классу по сравнению с рассмотренным выше. Чтобы допустить вариацию конечной точки 1ь будем рассматривать ее как функцию и+4 параметров е, (но не функцию 6).
Из семейства систем допустимых функций выберем однопараметрнческую систему функций, удовлетворяющих конечным условиям (1.2) и (1.4) . Эти М вЂ” 1 соотношений служат для определения М вЂ” 1 параметров еь ее, ..., е„т в зависимости от параметра 6: е =е,(6), о=1, 2, ..., Л1 — 1, (1.69) где, очевидно, з, (0) =0 соответствует минимизирующей системе, которая, конечно, удовлетворяет указанным краевым значениям. Для того чтобы из краевых условий можно было найти е, в зависимости от 6, необходимо, чтобы якобиан д(х,и хее "., х в хн, хе„..., хей д (еи ее, ..., ев+, ) (1.70) был отличен от нуля для системы нулевых значений параметров. Как показано в книге Блисса (стр. 254)„ для случая, когда минимизирующая система нормальна, всегда можно найти М-параметрическое семейство, для которого это условие выполняется.
Подставляя (1.69) в (!.68), получаем однопараметрическое семейство допустимых систем функций, удовлетворяющих краевым условиям. д Задана Майера Величина б служит параметром этого семейства, причем минимизирующая система является элементом того же семейства при б=О. Если теперь подставить это однопараметрическое семейство в краевые условия (1.2) и (1.4) и продифференцировать получившееся тождество относительно Ь по б, можно получить — — — О, (1 71) (1.72) Заметим, что хм не зависят от Ь, так что дх1а/дб не входят в (1.71). Подставляя (!.68) в (1.6), можно найти У как функцию от А! параметров е,б.
Последующая подстановка соотношений (!.69) йозволяет выразить 7 на однопараметрическом семействе как фунцию только одного Ь. Отсюда а'(Ь) =.1'!е, (б), е,(Ь), ..., е„+ (б), Ь]. (1.73) Дифференцируя (1.73) по б, находим йе' ду йеа д l йб деа йб ' дб (1.74) где все параметры положены равными нулю. Аналогично дй дд дх, дб дх,„дб (1.76) При Ь=О множество допустимых систем функций, определяемых соотношениями (1.68), принадлежит к рассмотренному в равд.
!.6 типу. Следовательно, изложенные там рассуждения остаются в силе и, в частности, имеют место уравнения (1.35). Полагая в них уа=1 (поскольку минималь предполагается нормальной), получаем % "г дУ дх,о дхп (1.75) деа деа деа ' !.9. Второе необходимое условие минимуме 7 33 Однако при нулевых значениях всех параметров (т. е. на минимали) справедливо (1.46), откуда д.а' дхе, дхп дхи дб е дб дб е дб — = — ?а 1 — —— — т, — — Хп —. (1.77) причем последнее преобразование выполнено с уче. том уравнения (1.42). Вычислим теперь Ы/с(б при нулевых значениях параметров.
Подставляя (!.75) и (1.77) в (1.?4), находим с учетом (1.71) и (1.?2) сУ дхее део 7 дхп део, дхп 1 дб дее дб 1 деа дб дб т' На однопараметрическом семействе минимальному значению У соответствует б=0. Отрицательные значения б невозможны, откуда следует, что 1 — неубывающая функция от б при 3=0. С учетом уравнения (1.78) это приводит к условию Лп — < 0. дхп дб (1.79) На интервале 1Т+б, 1т] У-параметрическое семейство принимает вид х,=хе(У, е„б), а? — — а~(У, е„б).
(1.80) д,=( — „) . р,=( — „) (181) е -о, ь-о е -о, ь-о должны удовлетворять на минимали уравнениям (1.11) и (1.14). Из них вытекает, что на минималн вы полняется соотношение дс дс д от+ (1.82) 3 д. Ф. Лоуиее . Повторяя рассуждения равд. 1.4, получаем, что функ- ции Д Задача Майера где Р— функция Лагранжа, а в точках непрерывно- сти а; — соотношение (1.83) полученное с учетом (1.49) и (1.50). Таким образом, й, (л,р,) = о, (1.84) откуда (1.85) Леус — — сопз1 рл1~н ~(0, (1.86) откуда на основании (1.85) следует эквивалентность его неравенству )чу,~(0 при 1=Т+О.
(1.87) Так как х; непрерывны при 1=Т+Ь на каждом элементе )Ч-параметрического семейства, уравнение Х,(Т+ Ь, а,) = х,(Т+ Ь, е„Ь) (1.88) должно быть тождеством относительно Ь (замечание:. е считаются здесь не зависящими от Ь). Дифференцируя последнее соотношение по Ь, получаем дХ~ дх~ дх~ — = — +— д~ дй да при 1=Т+Ь. Полагая все параметры равными нулю, запишем эти уравнения при 1=Т+О в виде Х,— л; =уе (1.90) внутри интервала, заключенного между точками разрыва управляющих функций.
Однако ранее было показано, что в точке разрыва я~ функции Ц непрерывны; у» также непрерывны в этой точке по свойству непрерывности построенного семейства. Поэтому соотношение (1.85) имеет место всюду на отрезке мини- мали от 1=Т до 1=1ь Условие (1.79) можно переписать следующим образом: Л!0. Третье необхОдимое условие минимума У Зо Таким образом, условие (1.87) эквивалентно требованию Л»х,Р~ЛА (1.91) В этом неравенстве значения Ль х» вычисляются в точке 1=Т минимали. Значения Х» представляют собой некоторую систему величин хь полученных путем подстановки в уравнения (1.1) при 1=Т значений х», соответствующих минимали, и любой системы величин Аь т.
е. значений аь совместимых со связями (1.3). Неравенство (1.91) представляет собой условие Вейерштрасса для нашей задачи, и, поскольку 1 Т— любая точка минимали, за исключением угловой, оно необходимо удовлетворяется во всех таких точках. Из соображений непрерывности следует, что это условие должно выполняться также и в угловых точках. 1.1О. Третье необходимое условие минимума 7 Это необходимое условие минимума просто выводится из условия Вейерштрасса. В вариационном исчислении оно носит название условия Клебша. Условие Вейерштрасса можно представить в виде Л»Ц»(х„ар 1) — 1»(х„Ар 1)~)~0. (1.92) Поскольку как аь так и А; удовлетворяют связям (1.3), это неравенство эквивалентно следующему: Р(х„Ар 1, Ль 1» ) — Р(х„ар Ф, Ло 1»ь)> О. (1.93) Разлагая левую часть в ряд Тейлора, получаем дР дтр — (А» — а»)+ (А„— аь) (А» — ад) )~ О, (1.94) где 6 1, 2, ..., т, и для вычисления производной д'г/да„дат переменные а; заменяются значениями а»+О(А» — а,), 0(О(1.
На основании условия (1.49) первый член неравенства (1.94) обращается в нуль, тогда, полагая Ад ад+ »1яр (1.95) 36 !. Задача Майера можно записать условие (1.94) следующим образом: ) д'Р д ллл! ~~ О (1.96) Поскольку А; удовлетворяют связям (1.3), имеем д,(хо а!+ил!, !)=О. (1.97) Разлагая левую часть в ряд Тейлора, получаем де д,(хь ат, !)+ — 'Чл! — — О, (1.98) да! где в членах дед/да! следует заменить а! значениями а!+8'нл!. Ввиду того что а! также удовлетворяют связям (1.3), уравнение (1.98) сводится к виду да, д,а л! — — О. (1.99) да! Положим далее т)- О, так что А! — яь В пределе частные производные в условиях (1.96), (1.99) стремятся к их значениям при аргументах х;, аь 1, ) ь рм Таким образом, третье необходимое условие состоит в том, что неравенство (1.96) должно выполняться для всех ль удовлетворяющих уравнению (!.99).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
