Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Б лисс Г. А., Лекции по вариационному исчислению, ИЛ, М., 1950. 2. Гурс а Е., Курс математического анализа, т. 1, ч. 1, ГТТИ, М.— Л., 1933. 3. Курант Р., Г иль берт Д., Методы математической физики, т. 1, гл. 4, Гостехиздат, М.— Л., 1951. 4е. Лурье А. И., Аналитическая механика, Физматгиз, М., !961. 5. Р ох С., Ап гп1гойпс1!оп 1о !)ге са!си!ив о1 чаг!а1юпв, Ьопйоп, Ох1огй, Ып1чегз!!у Ргевз, 1950. 6. 1.
ачг беп 17. Р., А соигве ог арр11ей пга!!зегаа!!св, чо!. 1, Ьопйоп, Епн!!в!г оп)четв!!у Ргевв, 1961, р. 215. 7. Ье! !гпа пи Сг., Т)ге ориппха!!оп о1 госйе1 1га)ес1омев (а вигчеу), Ргонгезз гп Гпе Ав1гопащ1са! Яс!епсев, 1, Свар. 4, Апгв1егйапг, )Чог!Б.Но1!апй Рпы!з!з!пи Со,, 1962. н злдАчд мАйерл 1.1. Введение Настоящая книга посвящена проблеме отыскания траекторий ракет, обеспечивающих выполнение определенного задания наилучшим образом в смысле некоторого количественного критерия.
Это задание может иметь как военное (запуск межконтинентальной ракеты), так и научное значение (ракета-носитель выводит контейнер с исследовательской аппаратурой на орбиту вокруг Луны или планеты). Следует ожидать, что уже в недалеком будущем перелеты будут совершаться чаще всего с целью доставки человека на другую планету солнечной системы или за ее пределы. В большинстве случаев желательна оптимизация траектории относительно расхода топлива, так как это позволяет при заданном стартовом весе ракеты обеспечить выведение на орбиту максимального полезного груза.
В соответствии с этим указанному случаю будет уделено особое внимание. Хотя наиболее жесткие требования предъявляются обычно к экономии топлива, легко тем не менее представить себе обстоятельства, когда критерий оптимальности зависит от других факторов. Например, при полете космического корабля с экипажем запасы пищи и других средств жизнеобеспечения пропорциональны полному времени перелета, поэтому может оказаться желательным уменьшить это время ценой дополнительного расхода топлива, чтобы в конечном итоге минимизировать суммарный вес аппарата.
В критерий оптимальности тогда будет входить некоторая комбинация двух величин: массы топлива и времени перелета. Излагаемые ниже методы применимы и к более сложным задачам оптимизации, 12 д Задача Майера однако в настоящей монографии, представляющей собой введение в широкий круг вариационных проблем динамики полета ракет, внимание сосредоточено на простых по математической постановке задачах, чтобы не загромождать особенности мегодики второстепенными деталями.
Следует отметить (это будет видно из дальнейших рассуждений), что уравнения, описывающие участки оптимальной траектории, совершенно не зависят от критерия оптимальности. Поэтому ббльшая часть рассуждений проводится безотносительно к виду критерия. В настоящей главе математический аппарат излагается в основном с точки зрения его применимости к задачам ракетодинамики, но с равным успехом его можно использовать во многих других областях.
В частности, он нашел применение в теории оптимальных процессов систем управления и следяших систем. В этой связи следует отметить исследования Л. С. Понтрягина, в которых математическая теория оптимальных процессов построена на совершенно иных, неклассических принципах.
Изложение такого подхода к вариационным задачам динамики полета можно найти в книгах (1, 2). 1.2. Краткий обзор результатов В работах Чикала и Миеле (3) и Миеле (41 впервые было отмечено, что задача об оптимальных траекториях ракеты является частным случаем обшей математической задачи вариационного исчисления, связанной обычно с именем Майера. Излагаемая в настоящей главе постановка задачи Майера отличается по форме от принятой в монографии Блисса тем, что в уравнения движения (1.1) и связи (!.3) входят некоторые параметры, называемые управляющими функциями, и не входят их производные.
Вывод необходимых условий оптимальности проведен в основном аналогично тому, как это сделано у Блисса (стр. 225), с видоизменениями, вызванными введением управляюших функций. Краевые условия (1.2), (1.4) берутся не в таком общем виде, как у Блисса, однако этого КД Кроткий обзор результатов 13 вполне достаточно для наших целей. Совокупность необходимых условий получена на стр. 25, 28, 35, 36.
В гл. 2 общая теория применяется к исследованию ряда проблем, связанных с движением ракеты в околоземном пространстве: к задачам о полете ракеты на максимальную дальность, об оптимальном выведении на орбиту спутника и оптимальных летных данных метеорологической ракеты. Теория оптимальных траекторий ракеты в произвольном гравитационном поле без учета влияния атмосферы развита в гл. 3.
Показано (стр. 72), что условия, которым должна удовлетворятьнскомаятраектория, удобно представить при помощи функциипереключенил х и базис-вектора (ргппег чес(ог) р, где х определяет момент перехода от одного режима работы двигателя к другому, а р — направление тяги. В частном, но практически важном случае, когда располагаемая тяга двигателя считается неограниченной по величине, все эти условия, как оказывается, можно выразить при помощи одного базис-вектора (стр.
76). Детально рассмотрены задачи оптимизации относительно расхода топлива и полной конечной энергии аппарата (проблема ухода с орбиты). В гл. 4 рассмотрен упрощенный случай, связанный с заменой гравитационного поля однородным, и показано, что в этом случае можно построить довольно полную теорию.
Установлено (стр, 85), что в общем случае траектория может состоять не более чем из трех участков, идущих в определенной последовательности таким образом, что на первом и третьем тяга двигателя максимальна по величине, на втором— равна нулю. Однако при специальном подборе граничных условий тяга двигателя может принимать и промежуточные значения; в этом случае решение не единственно и траектория, состоящая только из участков с максимальной тягой н пассивного участка, всег. да допустима (стр. 84). Участки экстремали, из которых может быть составлена любая оптимальная траектория в ньютоно. вом поле тяготения (безотносительно к критерию П Задача Майера 14 оптимальности) исследуется в гл.
5. Для каждого из этих участков найден базис-вектор. Полученные результаты используются в заключительной главе для анализа ряда задач о плоских межорбитальных перелетах. Для случая, когда оптимальная траектория включает дугу окружности, а тяга двигателя не ограничена по величине, доказано (стр. 125), что траектория состоит из соприкасаюшихся в апсидальных точках дуг конических сечений, где тяга прикладывается импульсами по касательной. В частности, детально рассмотрена задача о перелете между двумя круговыми орбитами. Показано, что в случаях, ко~да отношение радиусов этих орбит не слишком велико (стр.
129), оптимальным является перелет по эллипсу, касательному к обеим окружностям (эллипсу Гомана). Доказано также (стр. 131), что оптимальный уход с любой орбиты производится только путем импульсного приложения тяги и траектория ухода образована дугами конических сечений, касательных друг к другу в апсидальных точках. В заключение анализируются некоторые особенности двухимпульсного перелета между двумя произвольными компланарными орбитами. Получены уравнения (стр.
!38) для определения эле-' ментов орбиты перехода в любом частном случае. '1.3. Постановка задачи Майера В вариационном исчислении рассматриваются проблемы минимизации или максимизации функционалов. Функционалом называется величина, зависящая от совокупности значений некоторых функций в областях задания их аргументов. Так, величина l, определенная соотношением есть функционал, ибо она зависит от значений, принимаемых функцией )'(х) на интервале 0 4 х ( !. Таким образом, функционал является математическим !.3.
Постановка задачи Майера 15 объектом более сложной природы, чем функция, так как он ставится в соответствие последней и зависит в общем не от конечного числа переменных, а от бесконечной совокупности значений в области ее определения. Переходим к формулировке задачи Майера. Требуется минимизировать величину, связанную функциональным соответствием с рядом неизвестных функций, которые параметрически входят в заданную систему дифференциальных уравнений. Пусть задано и функций а!(!), 1=1, 2, ..., т, и и функций х;(!), 1=1, 2, ..., и, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям х, = !с(хо ..., х„, а„..., а, !), (1.1) где х; обозначает, как обычно, с(хс!с(!.
Эти уравнения справедливы на отрезке 1, 4 ! ( !ь а а; определены па этом интервале как функции, непрерывные всюду, кроме конечного числа точек разрыва. Функции 1ч непрерывны по всем своим аргументам и обладают непрерывными частными производными достаточно высокого порядка, а сами производные определены вдостаточно широкой области, по отношению к которой все допустимые значения аргументов хь а! и ! являются внутренними точками.
В момент 1=!а заданы начальные значения (1.2) х,=хко так что функции хч(!) однозначно определяются уравнениями (1.1) на интервале (!а, !с), как только заданы и;(!). Определяемые таким образом х; являются непрерывными функциями 1, но их производные могут быть разрывными в точках разрыва аь Будем называть а!(!) управляющими функциями, а х;(!) — функциями состояния (или фазовыми координатами); они могут удовлетворять некоторым уравнениям связи, например у (х„..., х„, а„..., а, !)=О, (1.3) где й=1, 2, ..., р<т и да непрерывны и имеют непрерывные частные производные достаточно высокого д Задача Майера (1.5) принимал минимальное значение из возможных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
