Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Таким образом, при наличии на оптимальной тра. ектории импульсов тяги должны выполняться следующие условия: а) Базис и его первая производная по времени непрерывны всюду. б) На любом активном участке вектор тяги сов. падает с базисом, модуль которого должен равняться некоторой постоянной величине Р.
в) На любом участке НТ модуль р базиса не должен превышать Р. г) Р' =0 во всех точках соединения, не совпадаю. щих с конечными точками. Впервые эти условия были установлены автором [1, 2, 4, 51. Условие (в) означает, что р принимает максимальное значение Р в каждой точке соединения на любом участке ПТ. Условие (г) эквивалентно требованию леле=О, (3.50) или (3.51) р.р=о, 3.8.
Частно~в случае нонечнсчн условий 77 т. е. базис и его первая производная ортогоиальны в точке соединения. 1 знее в это" Р~зделе было доказано, что у (г) эквивалентно тРебозанию непрерывности фун нн ЛагРанжа в точке соединениЯ В слУчае, когда грани. тационное поле стационарно и для определения оптимальной траектории используется первый интеграл (3,38), постоянство С на всей траектории гарантирует непрерывность Е во всех ~очках соединения и условие (г) тогда излишне. Максимальное значение Р модуля базиса часто определяется краевыми условиями. К их Рассмотрению мы и переходим в следующем разделе.
3.3. Частные случаи «раевых условий Рассмотрим форму которую принимают конечные условия (3.!7), (3.18), применительно к двум задачам, представляющим практический интерес, Остановимся сначала на задаче определения маневра по наиболее экономичному уходу Ракеты из данного гравитационного поля (предполагаемого стационарным).
Примем, что тело покидает пределы поля при условии, что его полная энергия (кннетическая плюс потенциальная) превыгпает потенциальную энергию тела в бесконечности, т е. на бесконечно большом расстоянии от всех гразнтнрующих тел, порождающих поле. Следовательно, зад~чу можно сформулировать следующим образом: Р~~ета запускается из фиксированной точки поля с заданной скоростью, и ее конечная масса Мс (по израсходовании всего запаса топлива) также известна. Значения хс и ос прн г=г, не определены заранее, но требуется совершить маневр таким образом, чтобы полная энергия аппарата М ~~ (лт лз хв)+ о (от+пз+пз)1 (3.52) в момент с=сс была ваксимальна.
Здесь У потенциальная функция поза Время (т достижения конечной точки траектории считается свободныц для выбора. та а Общая теория оятимаеьиых траекторий ракет Так как Мт известно, будем минимизировать величину У = — Ъ' — — (о'+ п2+ з2) (3.53) Л4 = Фп Л = —, дГ 4 дх Л2 ~2 ЛЗ и3 ! дх, ' 3 дх, ' Поскольку д*ьт/дхь= — де, эти условия эквивалентны следующему требованию (1-14): р=2т, р=я.
(3.55) Кроме того, из условия (1.47) в момент 1=14 следует Лезь+ Л443Х, + Л,М = О. (3.56) Согласно (3.37), очевидно, что уравнение (3.56) представляет собой первый интеграл на оптимальной траектории, справедливый во всех ее точках. Ему можно придать форму р и — р тт+ит=О, (3.57) которая была введена в связи с уравнением (3.37). Поскольку при 1=1, справедливы соотношения (3.55), уравнение (3.57) в этот момент приводится к виду хт =О. (3.58) На дуге НТ полная энергия аппарата остается постоянной. Поэтому произвольный маневр ухода можно продолжить при помощи произвольной по длительности дуги такого вида.
Это наводит на мысль, что если условия (3.55), (3.58) удовлетворяются в какой- либо одной точке участка НТ, они удовлетворяются во всех точках этого участка, Поскольку т=О, условие (3.58) здесь тривиально. Допустим, что на участке НТ мы выбрали базис, тождественно равный вектору скорости: Л;= по (3.59) где все значения вычисляются в момент1=14.Согласно (1.46), при 1=14 должны выполняться соотношения 8.8 Частные случаи конечных условий уравнения (3.!5) для базиса удовлетворяются тогда при условии дд, (3.61 l дх~ ' ) Однако ддт . дтУ . дус о — = х = х — = д .
(3.62) 7 дхс / дхсдхй l дхт Отсюда следует, что соотношение (3.59) является воз. можным решением, которое определяет базис на дуге НТ. Поскольку базис описывается векторными уравнениями второго порядка, решение последнего однозначно определяется, как только заданы значения базиса и его первой производной в одной точке. Так как решение (3.59) удовлетворяет условиям (3.55), оно является истинным решением на заключительной дуге НТ. В силу сказанного отбросим возможность, заключающуюся в том, что конечный участок траектории является пассивным, и предположим, следовательно, что тп не обрашается в нуль при 1=1,. Тогда из условия (3.58) в конечный момент имеем я=О. (3.63) Так как при 1= 1, двигатель работает, конец интервала движения должен совпасть с моментом полного выгорания топлива, и первое из условий (3.55) пока. зывает, что в этой точке тяга направлена по вектору скорости (3). Если импульсная тяга допустима, траектория должна заканчиваться либо точкой соединения, либо участком промежуточной тяги.
В любом случае в конце те=О, согласно условию (3.63), и мы не получаем ничего нового по сравнению с утверждениями (а) — (г), установленными на стр, 76. Здесь уместно заметить, что все эти условия весьма естественно и просто Тогда из уравнений движения (3.1) следует, что на дуге НТ 'н=кг (3 60) ав Х Общая теория оатииаяькмя траекторий ракет выполняются в частном случае, когда начальное движение ракеты перпендикулярно силовому полю. В предположении, что все топливо мгновенно расходуется в начальный момент, результирующая импульсная тяга должна быть направлена по вектору скорости. Тогда вся траектория представляет собой одну изолированную точку соединении, в которой базис и его производная определяются уравнениями (3.55). Отсюда р р =ч а'=О, (3.64) так как ч и и перпендикулярны.
Это означает, что р=О, как того требует условие (г). Условие (б) также, очевидно, выполняется, а условия (а) и (в) являются лишними. Следовательно, этот элементарный маневр является кандидатом в класс оптимальных маневров. В частности, рассмотрим аппарат, который обращается вначале по круговой орбите вокруг притягивающего тела со сферической симметрией. Для выполнения маневра по уходу из сферы притяжения можно приложить импульс тяги в любой точке орбиты по касательной к ней.
Если импульс имеет достаточную величину, ракета удалится на бесконечность по ветви гиперболы. Такой маневр ухода удовлетворяет всем нашим условиям оптимальности; однако позднее будет показано (стр. 132), что если в качестве точки старта выбрать предшествующую моменту соединения точку круговой орбиты, включив тем самым последнюю в оптимальную траекторию, то тогда на этой орбите не будет выполняться условие (в), как только конечная скорость ухода превысит некоторую критическую величину. Доказано, что в этом случае более экономичным оказывается некоторый альтернативный маневр. Вторая задача посвящена минимизации характеристической скорости маневра, который переводит ракету из одного заданного положения в другое.
Скорость аппарата в обеих конечных точках предполагается заданной. Тогда на основании (2.7) имеем /=с!и — ' ми м, (3.65) Литература 81 и условие (1.46) означает, что при ! !г (3.66) Если время перелета не фиксировано, то, согласно (1,47), в конечной точке должно быть Л$8; — Лго, — хт = О, (3.67) )$ случае стационарного поля (3.67) справедливо на всей траектории, С учетом (3.29) из условия (3.66) вытекает, что при (=7$ х = — (Р— 1). М (3.68) ЛИТЕРАТУРА 1. 1.
а ч аеп О. Р., М!пипа! гос)ге! 1га!ес1ог)ез, !. Агиег. )(исае! Юос., 23, № 6, 360 — 382 (1953). 2. ь а ю 6 е п О. Р., 51а$!опагу гос(ге1 1га)ес1ог1ез, $)иагь А Месм, 7, № 4, 488 — 504 (1954). 3. 1 а и 6е и О. Р., Ор(ипа1 ргонгаппп!пя о! гос)ге! йгоз$6!гесПоп, Аыгоиаи!. Ас!а, 1, № 1, 41 — 56 (1955). 4. Еаигпеп О, Р., !п(егр!апе1агу гос)се$1га)ес1опез, Аачапсез )и Брасе Яс!еисе, Чо!. 1, С)гар. 1, )Чеаг Уогк, Асабега!с Ргезз, !959. 5. Е а вт 6 еп О. Р., Орнгаа) (и!еггаежа$е-йгиз1 агсз 1и а Кгач!!анапа! !!е!й Азггопаи!.
Ас(а, 8, № 2-3, 106, 123 (1962). 6. 1.е ! $га а пи О., Ех1гегпа! гос(ге1 (га)ес1оыез 1и ромпоп ап4 1!гас йерепйеп! 1огсе !!е!6з, Агпег. Аз1гопап1, Бос. 7й Апп. Меег!пк, Оаназ, Ргерг(п1, 61-30, !961, 6 д. о. лета и Теперь предположим, что импульсная тяга допустима. Тогда, если заключительный подинтервал представляет собой дугу НТ, соотношение (3.49) справедливо всюду на этом участке и (3.68) удовлетворяется при условии Р=1. (3.69) Если конечный подинтервал есть дуга ПТ, то на ней х=О и Р=Р и снова условие (3.68) может выполняться только при Р=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
