Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 15
Текст из файла (страница 15)
5.1. с ракетой гг, ось ОУ перпендикулярна ОХ и проведена в плоскости орбиты по направлению движения; ОСЬ 02 ВВЕдЕНа раНЕЕ (рнС. 5.1). ПуетЬ Х, рот — ПрОЕК- ции вектора р на ятн оси, Тогда из (5.14) следует, что где г — радиус-вектор точки, проведенный из полюса О. Отсюда — = — — à — — — ° ди Зт дг т дг дв г' дв ге дв' (5.1 1) 97 дд участки нулевой тяги аналогичные проекции правой части уравнения (5.9) суть (5.15) р есть полная производная вектора р по времени в о невращающейся системе координат.
Пусть р — полная производная в системе координат, вращающейся с угловой скоростью Й относительно неподвижной системы отсчета, причем в некоторый момент времени оси обеих систем совпадают. Тогда связь между обеими производными хорошо известна (см., например, Лоуден, стр. 240, и [8*, стр. 79!): Р = Р+ ьг Х Р. (5.16) Заменяя вектор р в этой формуле его производной р, получаем р=р+Я Хр+22Хр+-Я РЯ вЂ” Яр (517) Пусть подвижная система координат ОХУя в произ.
вольный момент времени вращается с угловой скоростью а =ОК, (5.18) где К вЂ” единичный вектор оси Оз. Подставляя значение 11 в (5.!6), (5.17), получаем соотношения, определяющие Р, р в зависимости от локальных производных (взятых в системе отсчета ОХУз): р=р+ОКХ р, (5.19) р = р+ ОК Х р+ 20К Х р + ОЯ(К ° РК вЂ” р). (5.20) Полагая в соотношении (5.20) р=гй (5.21) приходим к равенству р= ге)+2ге) +(г — гОг) е)+(гО+2гО)К Х е)+ +2г01с Х 9+ гОЧс 9К (5.22) 7 Д. Ф.
Лоуячн 9В Б, Базис в нвютоновоя поле тяготения На основании (5.2!) имеем К=ги, 1с=го, ч=гтв. (5.28) Поэтому три компоненты (5.15) правой части урав- нения (5.9) можно переписать следующим образом: т' и' гт ~' (5.29) Приравнивая их соответствующим составляющим (5.27), получаем уравнения и — 2о = — и, Зг г он+ 2и' = О, твн+ ш=О, (5.30) (5.31) (5.32) которые определяют вектор Ч, а следовательно, и ба- зис р на кеплеровой дуге. которое при помощи уравнений движения (5.1), (5.2) сводится к виду ло.о.о т р=гЧ+2гЧ+2гОКХт1+гйтК ЧК вЂ” —,, Ч (523) Обозначив дифференцирование по О в системе ОХУа штрихом, запишем ч=бч', (5.24) Ч = б'Чи + 6Ч' (5.25) Подставляя эти соотношения в (5.23), преобразуем его при помощи уравнений (5.2) и (5.4) к окончательной форме р= ~з ~Ч +2КХЧ'+К ЧК вЂ” — "Ч).
(5.26) Таким образом, если Ч имеет проекции и, о, тв на оси ОХ, ОУ, Оа соответственно, то из последнего уравнения следует, что левая часть соотношения (5.9) дает на те же оси проекции т— (ии — 2з' — — и, пн+2и' — — о, тон+я — — та). (5.27) 5.!. Участки нулевой тяги Так как рассматриваемое поле стационарно, существует, как известно, первый интеграл уравнений (5,30) — (5.32), даваемый зависимостью (3.40). Подставляя (5.2!) в (5.19), получаем р = гЧ+ гЧ+гОК Х Ч (5.33) что в силу (5.24) эквивалентно соотношению Р =гО(Ч'+1с Х Ч)+гЧ, (5.34) означающему, что проекции производной стемы ОХуа равны р=(гО(и' — о)+ги, г0(о'+и)+го, р на оси си- гОча'+ гчо).
(5.35) Аналогично (5.36) (5.37) (5.38) р=(ги. го, гто), а=( — —,",, о, о), н = (г, гО, 0). Теперь (3.40) немедленно дает ге Огг'+ ггОто'+(г'+г'Ог + Я и = сопз1, (539) г) причем значение постоянной равно нулю для случая, когда время перелета не фиксировано заранее. С уче- том (5.3) — (5.5) можно записать этот первый инте- грал в виде и'е з(п) (1+ с соя ))+ о'(1+ с соз 1)'+ + и (2+ ее+ Зе соз 1) = С, (5.40) где С вЂ” постоянная и 1' = Π— со (5.41) — истинная аномалия. В случае е=О кеплерова дуга есть круг радиуса 1, и уравнения (5.30) — (5.32) тогда принимают вид (5.42) ои+2и'=О, (5.43) язв+та =О.
(5.44) Б. Базис в ньютоновом поле тяготения Разрешая их и подставляя результат в (5.28), полу- чаем Х = А сов !+ В в!п !+ 2С, (5.45) !л = 2В сов ! — 2А в!п )' — 3С!+ Р, (5.46) н=Есов~+Рв!п), (5.47) где А, В, С, Р, Е, Р— константы интегрирования. В этом случае первый интеграл (5.40), очевидно, идентичен интегралу уравнения (5.43). Если эксцентриснтет отличен от нуля, целесообраз но заменить уравнение (5.30) первым интегралом (5.40).
Интегрируя (5.3!), находим о' = Ае — 2и, (5А8) где А — произвольная постоянная. Далее исключаем о' из первого интеграла; это дает и'в!и 1(1+ е сов !)+ и(е — сов ! — 2е сов'!) = =С вЂ” А(1+есов!)з. (5.49) Умножая это уравнение иа интегрирующий множитель (1+е сов!)-зв)п-з! и интегрируя полученное уравнение, получаем и=(1+есов!)(Асов!+ Вез!п)+ С/), (550) где Н! Ут — в!п~ ~ з,аг!(!+гсов!)т (5.51) и  — произвольная постоянная. Последний интеграл можно выразить через известные функции, соответствующий результат принадлежит Лоудену 11!.
Однако в настоящей монографии рассматриваются главным образом проблемы отыскания оптимальных траекторий для маневров с нефиксированным временем. В таких задачах С=О и окончательный результат ие зависит от 1т. Подставляя и из (5.50) в (5,48) и выполняя интегрирование, получаем о = (1+ е сов )) ( — А в!и! -+ В (1+ е сов !) + 101 ДЛ Участки нулевой тяго где сФ) + 1+ ввоз) 7, (5.53) в(1+асов)) вз!п) и Р— произвольная постоянная. Уравнение (5.44) для ш интегрируется без труда; в результате имеем н2=Есоз ~+ Рз(п ~, (5.54) где Е и Š— постоянные интегрирования. Из полученного следует Л = А соз 7+ Ве з(п 7 + С72, (555) 12= — А21п~+В(1+есоз|)+ 1,„~'," +С72, (5.56) ч=(1+есоз)) (Есоз)+Е21п)), (5.57) причем параметр 7 входит в константы А, В, С, Р, Е и Е. Из соотношения (5.19) имеем р=(р'+1с Х р)О.
(5.58) Таким образом, если проекции вектора р на оси ОХУа суть $, 2), ~, то ~=(Л' — р)О, 21=(12'+Л)О, ~=у'О. (5.59) Подстановка в эти уравнения значения О из (5.4) и выражений для Л, 12, т из (5.45) — (5.47) либо из (5.55) — (5.57) дает возможность определить компоненты производной базиса в явной форме. При е=О они имеют вид , 1/2 — (А з1п ~ — В соз (+ ЗС) —,Р), (5.60) а' 2!2 21= — ~„, (Асоз1+В 21п1+С), (5.61) ам 2тг тза (асов~ — Ез(п~), (5.62) а' 102 о.
Базис в ньютоновон поле тяготения где а — радиус орбиты. При ечьО эти формулы имеют вид (5.63) 112 21 = — „, ]-А(е+ сов Г)+Ое з|пг+Ссоз ~], (5.64) гз!2 1/2 Ь= тз,2 [(Е+СОЗ))тт — ЕЗ)П~], (5.65) где е в~о( — соз! т1 у,— В, — —,созес~. (5.66) 5.2. Участки промежуточной тяги Форма базиса для общего вида участка промежуточной тяги в гравитационном поле с притяжением, обратно пропорциональным квадрату расстояния от (единственного) центра тяготения, была неизвестна селение яги Р ис. 5.2. до 1962 г. Однако в 1961 — 1962 гг.
проблема была решена (Лоуден ]3, 4]) для частного случая, когда рассматриваемый участок лежит в плоскости, проведенной через центр тяготения. В данном разделе рассма. тривается метод отыскания такого решения. Допустим, что в момент 1 ракета )г представляет собой точку с полярными координатами (т, 0), движущуюся по дуге переменной тяги, причем в тот же момент вектор тяги двигателя составляет угол грс трансверсалью по направлению движения (рис.
5.2). Пусть 1ОЗ 5.Х участки праиежутачнаа тнги угол, образуемый вектором тяги с начальной полярной осью (6=0), тогда ф= —" — р+в. 2 Выпишем уравнения движения в проекциях на направление вектора тяги и перпендикуляр к нему. Пусть а, Ь вЂ” орты вектора тяги и перпендикуляра к нему, направленные в соответствии с рис. 5.2.
В момент 2 указанные векторы вращаются с угловой скоростью чр, откуда следует а =ФЬ, Ь= — фа. (5.68) Пусть и, тв — проекции скорости ракеты на рассматри- ваемые оси. Тогда имеется соотношение чт = па + твЬ. (5.69) путем дифференцирования которого с учетом (5.68) можно получить у = (и — таФ)а +(Й+ пФ) Ь. (5.70) Выписывая уравнение движения ракеты (2.!) в проекциях на оси с ортами а и Ь, приходим к результату й — Я$=~ — тг з1п ф, (5.71) та+пф= — тсозф, т (5.72) где (5.73) — реактивное ускорение. Обратим внимание на уравнение (3.36), описывающее базис.
Известно, что на участке переменной тяги базис коллинеарен вектору тяги и имеет постоянную величину. Поэтому можно записать (5.74) р=ра, 104 Б. Базис в нзютоновон поле тпеотения где р — константа. Дважды дифференцируя последнее соотношение по т и используя (5.68), получаем р = р( — Ф'а+ ФЬ). (5.75) Проекции левой части уравнения (3.36) на оси а и Ь равны — рФ', рф соответственно. Обращаясь к формулам (5.15) предыдущего раздела, замечаем, что правая часть уравнения (3.36) в радиальном и трансверсальном направлениях соответственно имеет составляющие —, р з)п ф, — —,, р соз ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
