Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(6.8) Уравнения (5.55), (5.56) показывают, что базис на орбите дается соотношениями Х = А сов 7'+ Ве в1 п )', (6.9) р= — Ав(п7+В(1+есов7)+ "" . (6.10) 6.3. Базис на нонииесноб орбите 117 Одна из апсид 1=0 или и должна быть точкой соединения, в которой тяга направлена по перпендикуляРу Рис. 6.2, к радиус-вектору г. Допустим, что такой точкой служит )=0; тогда в ней Х=О и 1сл=р. Следовательно, необходимо выполнение условий А=О, (6.11) В(1+е)г+р=+р(1+е), (6.12) откуда Х=Вез1п7', (6.13) Р=В(1+есозу)+1+е (6.14) и ттг ,рг — У+1сг — Вг(1+ ег)+2ВЕ)+ 2В'х+ — е ° (6.15) где х = е соз 7.
Вводя обозначение Р = Р— В' Х Х (1+- е') — 2ВО, запишем — = 2В'— ар 21Зг атр 6Р' — (6.16) дх 11 1 «)а ' бхг (1+х)' Отсюда если В не ~анно нулю, то Р имеет минимум пРи х = хо=(Вг/Вг) тз — 1, и соответствУющий граФн» приведен на рис. 6,2. Следует рассмотретьдваслучая. б. Межорбитальпые перелеты В первом случае коническим сечением является эл. липс с эксцентриситетом е(1, х на орбите меняется в диапазоне ( — е, е).
Тогда, если х, лежит внутри этого интервала, из рис. 6.2 очевидно, что р' (а зна. чит, и р) принимает максимальные значения на линии апсид 1 =0, )=и и минимальные — в двух точках, где е соя 1 =х,. Если х, лежит вне указанного интервала, максимум р' достигается в одной апсиде и минимум- в другой; других стационарных точек, помимо указан. ных, на орбите нет. Во втором случае коническое сечение является параболой или гиперболой (е)~1), х изменяется в диапазоне ( — 1, е), никогда не достигая, однако, значения — 1. Затем, если х, принадлежит этому интервалу, максимум р' достигается при 1 =0 и минимум — в двух точках, где е соя1"=хп. Если х, лежит вне указанного интервала, р' принимает минимальное значение в апсиде 1=0 и другие стационарные точки отсутствуют. В каждом из этих двух случаев рз -ь оо при х -ь — 1, и условие (в) (стр.
76) невыполнимо. Если О=О, из уравнений (6.13), (6.14) следует, что р-траекторией является круг с центром в точке (О, В) и радиусом ~В)е; р имеет максимум при 1=0 и минимум при 1=я. Таким образом, во всех случаях не может быть больше одной точки соединения, причем импульс прикладывается в апсиде 1=0. Этот случай 0=0 единственно возможен, когда коническое сечение — парабола или гипербола.
Здесь допустима только одна точка соединения — апсида, а сама дуга должна служить заключительным участком оптимальной траектории. Полагая в (6.12) — (6.14) В=О, получаем выражения для проекций базиса Х=+.— я!п(, р=+ (1+есоя1). (6.17) Ре Р 1+е ' 1+е Однако уравнения (5.3) — (5.5) показывают, что ту= а 1/ 1 я1п(, о,= ей = ~тт —,(1+есоя1), (6.18) где от, оа — радиальная и трансверсальная составляющие скорости и точки, движущейся по орбите. Сопо- б.д. Баеис на конической орбите 119 (6.22) валяя (6.17) и (6.!8), можно записать (6.19) С точностью до численного множителя последний ре- зультат совпадает с решением для базиса в виде (3.59) . Возвратимся к эллиптическому случаю, когда 0 не равно нулю. Если х, не лежит в интервале ( — е, е), на орбите возможна только одна точка соединения, причем эллипс должен служить заключительным уча- стком траектории. Тот же вывод всегда справедлив и в случае 0=0.
Если х, принадлежит указанному интервалу, обе апсиды могут являться точками соеди- нения, но при этом необходимо также выполнение условия Р=Р при (=п, которое приводит к уравне- нию В (1 — е)' + О = + Р(1 — е). (6.20) Если в (6.12), (6.20) одновременно принят знак плюс, так что в обеих апсидах импульсы ориентиро- ваны по направлению движения, то, разрешая эти уравнения относительно В и )й, находим В = о, й = — Р (1 — е').
(6.21) 1 ! 2 ' 2 Если в обоих уравнениях взят знак минус, что соот- ветствует тормозному характеру обоих импульсов, знаки В и 0 меняются на обратный. Для двух ука- занных случаев х,= (1 — е')" — 1, и легко проверить, что хо лежит в интервале ( — е, е). Отсюда !с = + — Ре з!п '1, 1 1с= ~ — Р(1+есоэ(+ 1+„„!). (6.23) Если в уравнении (6.12) примем знак плюс, а в (6.20) — минус, так что импульс оказывается разгон- ным в пернцентре и тормозным в апоцентре, то в ре- зультате получим формулы В = —, В = —, (6.24) Р Р (1 — е') 2е ' 6. Межорвитальные лерелеты где В+ Р— А е!п1 1+е сов( (6.29) где, как и раньше, х,= (1 — е')Ч вЂ” 1. Знаки В и 0 меняются, если в уравнении (6.12) взять отрицатель.
ный знак, а в уравнении (6.20) — положительный. Та ким образом, имеем Х=+ — Рв1п(, 1 2 1с= -ь — (1+асов(" — +, ). (6.26) Так как при 1 и всегда А=О, импульс во второй апсиде также направлен по касательной к орбите. Отсюда очевидно, что ни предшествующий конической орбите участок, ни сменяющая ее дуга не могут являться участками промежуточной тяги, поскольку на последних направление тяги не может быть трансверсальным. Следовательно, оба окаймляющих участка также являются коническими сечениями, которые в своих апсидальных точках касаются рассматриваемой конической орбиты. Таким образом, для оптимальной траектории можно сделать следующий вывод: если один из составляющих траекторию пассивных участков представляет собой коническую орбиту, которая возникает (либо сменяется) при помощи импульса тяги, приложенного в апсидальной точке по касательной к орбите, то тогда и все остальные участки являются пассивными и точки соединения всегда совпадают с их апсидальными точками.
В частности, вывод справедлив также и тогда, когда один из составляющих участков представляет собой круг. В общем случае, когда компоненты базиса на конической орбите задаются соотношениями (5.55), (5.56) при С=О, удобнее снова перейти к его проекциям на главную ось конического сечения и перпен- ДикУлЯР к ней. ПУсть Хм 1се — компоненты вектоРа Р по указанным направлениям соответственно. Тогда Хе —— Х сов ~ — р в1п ~ = А — Я в(п), (6.27) 1с, = Х в1п) + 1л сов | =- Ве+ Я сов 7, (6.28) 121 бХ Производнав базиса Ооозначая через у расстояние точки конической орбиты от ее главной оси, получаем у = г з! и 7".
(6.30) рассматривая последнее соотношение совместно с (68), убелимся, что (6.29) эквивалентно зависимости О=В+ — — — р. В А 1 (6.31) уравнения (6.27), (6.28) показывают, что точка Р(Хо, мо) находится на расстоянии Я от точки (А, Ве) в плоскости Хв, рм как показано на рис.6.3. Геометрическое место этих точек при изменении 7 можно найти все Р и с.
6.3. с помощью зависимости (6.31). Это и есть р-траектория. Точный вид этой кривой определяется значениями постоянных В, ВД, А/1, е, однако для частных случаев графики показывают, что р имеет либо два максимума и два минимума, либо только один максимум и один минимум, как было установлено для случая А=О. 6А. Производная базиса Производная р непрерывна в точке соединения.
Прежде чем приступить к приложению полученных нами ранее результатов, целесообразно найти компоненты этой производной в точках соединения для всевозможных случаев, рассмотренных в двух последних разделах. 9 д. Ф. Леудее 122 6. Межорбитальмые перелеты Так, с учетом уравнения (6.7) соотношения (5.60), (5.61) показывают, что компоненты базиса на круге радиусом а имеют вид 112 г 1 — зд 2 (Р— 2-)) соз 7 + 2-)~, а212 ~2 122 Ч= — — ',(Р— В) пт.
аи (6.32) в то время как прн г=п ь= Чп' — „,. Ч=О. Р (6.34) 2а"2' Если в обеих точках соединения направление тяги одинаково (по движению либо против него), то (2=Р и соотношения т2 ' 1=+у'тт,ент Ч=О (6.35) имеют место всюду на орбите, причем знак минус берется в случае разгона, а плюс — в противном случае. Если на круге имеется только одна точка соединения, в которой тяга направлена по вектору скорости, в уравнении (6.32) следует принять знак плюс. В этом случае соединение производится в точке 1=0, где В том случае, когда тяга направлена против движения, берется знак минус, точкой соединения служит точка )=ет, в которой 112 Р+ Е) 1=у 32, Ч=О. 2а (6.37) При наличии двух точек соединения тяга в одной направлена на разгон, а во второй — на торможение; это означает, что 1.1=0, разгонный импульс дается при 1=0, а тормозной — прн (=и.
При 1=0 имеем 1= — у112 — 2, Ч= — О, Р (6.33) 2а бзь Паоизводиаз базиса Обращаясь к уравнениям (5.63), (5.64), получаем, что в случае приложения импульса тяги по касательной к орбите в апсиде /=О 1/2 $ = — — „, (1+ е) 119+ В (1 + е)), Ч = О. (6.38) /зп Если апсида /=и является точкой соединения, в которой тяга направлена по касательной к орбите, то в указанной точке 1/2 ~= — — ",„, (1 — е)(О+ В(1 — е)), ч=О. (6.39) Если импульсы тяги прикладываются в обеих апсидах по направлению движения, то справедливы уравнения (6.22), (6.23) (со знаком плюс), из которых при /=О следует р 1/2 в = — — „, (1+ е)'(2 — е), ч = О, (6.40) 2/з/2 а при /=и р 1/2 а = — — „(1 — е)'(2+ е), Ч = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
