Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Таким образом, оптимальных маневров при уело. вии р>15,6 не существует. Если переход совершается по трехимпульсной схеме, то путем неограниченного увеличения ОВ можно сократить расходы топлива и приблизиться к некоторому нижнему пределу. Однако 1зо 6. Межорнитальпые перелеты этот нижний предел в действительности недостижим ни при каком конечном значении ОВ, в силу чего и не соответствует какому-нибудь практическому маневру. 6.6.
Оптимальные маневры ухода Если ракета приоорела достаточно большую скорость для ухода нз гравитационного поля н движется на заключительном пассивном участке, то, согласно доказанному в разд. 3.3 ~уравнение (3.59)), базис на нем определяется уравнением р = те. (6.63) В частности, когда притяжение поля изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра тяготения, последнее соотношение выполняется на гиперболическом или параболическом участках траектории ухода. В силу условий, приведенных на стр. 76, в любой точке соединения на этом участке или в любой точке ее сопряжения с дугой ПТ производная р должна обращаться в нуль. Следовательно, в такой точке и производная д равна нулю.
Однако д обращается в нуль только в апсиде траектории и ни в какой другой точке. В этой точке вектор ч (а значит, и р) перпендикулярен к радиус-вектору, откуда следует, что она не может принадлежать участку ПТ. Таким образом, апсида является точкой соединения, в которой импульс прикладывается по касательной к траектории. Как и в равд. 6.3 (стр. 120), можно сделать вывод, что оптимальная траектория ухода не может содержать участки ПТ и образуется только из конических сечений с совпадающими осями, касательными друг к другу в апсидальных точках. Рассмотрим теперь одноимпульсный маневр ухода с круговой орбиты, который уже обсуждался в равд. 3.3.
Там было показано, что если на ракету, обращающуюся по круговой орбите, действует импульс тяги в направлении ее движения, то аппарат переходит на гиперболическую орбиту и удаляется от центра тяготения, причем на гиперболической орбите 6.6. Онгинальные манеерм ухода выполняются все условия оптимальности маневра. На этом пассивном участке базис и его производная определяются уравнениями (3.55). Остается решить вопрос, удовлетворяются ли условия оптимальности также и на исходной круговой орбите.
На круговой орбите компоненты базиса опреде,пяются из (6.7) и, поскольку тяга направлена по дви. жению, следует взять Р со знаком плюс и считать точку )=0 точкой соединения. Проекции вектора р в точке соединения тогда можно найти при помощи уравнений (6.36). Если и†скорость аппарата сразу после импульса, то (3.55) показывают, что р, р непрерывны в точке соединения при условии 1Г2 Р=)~, — '„(Р+Р) = — ",, 2аал а (6.64) где а — радиус круговой орбиты. Если )гар — — уь/а'ь— скорость обращения аппарата по круговой орбите, то Р=21,р — 1.
(6.65) — 1х — — = — 1л, 2 т 1 2 2 а 2 (6.67) или = Ь'~ — 2Ъ'„р. (6.68) О~сюда ясно, что ракета может покинуть поле только при условии 1 ))~ )' 2 1 р 1 Однако условия оптимальности требуют выполнения неравенства 0(Р4Р(= г), откуда 1 ьр~(1 ~(2Р',р. (6.66) Первое из этих неравенств, очевидно, удовлетворяется. Смысл второго неравенства лучше всего пояснить следующим образом. Пусть г' — скорость на гиперболической орбите в бесконечности, т. е. предельная скорость удаления от центра тяготения.
Так как полная энергия аппарата на гиперболической траектории постоянна, то можно записать б. Межораитальпые перелеты Величина )', носит название скорости ухода с кру говой орбиты. Если )т.(2$'„р, то из соотношения (6.66) следует, что Ь' (Ь;. [6.69) Таким образом, рассматриваемый маневр ухода не может быть оптимальным, если предельная скорость, с которой аппарат удаляется от центра тяготения, превышает скорость ухода с круговой орбиты.
Этот результат принадлежит Лоудену [5[. Если тт > 'ет„ то уход, как показано в работе [5], можно выполнить более экономично с помощью двух- импульсного маневра. Сначала к аппарату прикладывается тормозной импульс, в результате чего аппарат переходит на эллиптическую орбиту, которая касается круга в апоцентре. При достижении ракетой пери- центра по направлению движения дается второй импульс с целью увеличить скорость аппарата до величины, необходимой для совершения маневра с предельной скоростью тт„.
Чем ближе вторая точка соединения к центру тяготения, тем более экономичным становится маневр; однако, в силу того что эта точка не может совпадать с центром тяготения, условия оптимальности невыполнимы и оптимальный маневр не существует. 6.7. Общий случай оптимального перехода Если оси двух компланарных орбит не совпадают, переход между ними нельзя совершить прн помощи последовательности эллипсов, касательных друг к другу в своих апсидальных точках, так что развитая в предыдущих разделах теория неприменима.
Отсюда следует, что участки ПТ нельзя более исключать из состава оптимальной траектории, и действительно, они могут оказаться более приемлемыми по сравнению с рассмотренными ранее типами участков. Следует также помнить, что найденные нами условия оптимальности могут служить только для определения траекторий, оптимальных относительно малых вариаций программы тяги.
Это означает, что в отдельных б.7. Общий случай оагимальыого перехода 133 случаях может существовать целая совокупность оптимальных траекторий, однако у нас нет никакого критерия, за исключением прямого сравнения соответствующих значений характеристической скорости, для выделения абсолютного оптимального типа перехода из найденной совокупности.
Так, при пересечении заданных орбит переход между ними может быть совершен путем приложения одного импульса в точке пересечения. Последний полностью определяется, если элементы орбит известны, а вместе с этим находится и базис в точке пересечения.
Подставляя этн данные для точки пересечения двух орбит в уравнения (5.55), (5.56), получаем четыре условия. Еще два дополнительных соотношения даются условием непрерывности р в точке соединения. Эти шесть уравнений позволяют найти постоянные А, В, 0 на двух орбитах, после чего базис полностью определяется всюду. При условии, что модуль найденного таким путем базиса нигде не превосходит единицу, этот тип перехода дает относительный экстремум. Однако одновременно могут существовать также переходы с двумя и большим числом импульсов, удовлетворяющие всем необходимым условиям, так что каждый из ннх является относительным оптимальным переходом.
Ясно, что на современном уровне теории вначале приходится выбирать порядок чередования различных участков тяги, н только после этого наши условия позволяют найти относительный экстремум из класса всех программ с принятой картиной распределения участков тяги по траектории. Однако не существует критерия, прн помощи которого можно было бы заранее найти структуру абсолютного оптимального управления.
Проведенный в равд. 4.1 анализ частного случая, когда гравитационное поле однородно, наталкивает нас на мысль, что любой участок промежуточной тяги без дополнительных затрат топлива можно заменить двумя отрезками импульсной тяги, разделенными пассивным участком. Однако численные расчеты приводят к существованию таких орбит, между которыми переход можно произвести при помощи одного 134 б.
Л1ежорлнгальнме перелеты участка промежуточной тяги и для которых лучший двухимпульсный перелет требует большего количества топлива. Таким образом, представляется вероятным,что участок (участки) ПТ будет, вообще говоря, суще ствовать на оптимальной траектории. В этой связи читатель отсылается к статье Лоудена (7, разд. Х), где показано, что величина базиса всегда максимальна (как и требуется) в любой точке соединения дуг ПТ и НТ. Однако, исходя из условия Якоби (см, равд. 1.11), которое в настоящей книге не используется, следует ожидать, что длительность любого участка ПТ в составе оптимальной траектории не должна быть слишком большой.
Этим,в частности,можнообьяснить отмеченные в работе 17, равд. Х1] преимуще. ства двухимпульсного перехода между двумя квази- круговыми орбитами по сравнению с соответствующим переходом по дуге промежуточной тяги в виде многовитковой спирали. Поскольку до сих пор мы не располагаем возможностями распознавания типа оптимальной программы регулирования тяги для абсолютного оптимального перехода между двумя компланарными орбитами, то в последних разделах настоящей главы мы займемся изучением локальных оптимальных переходов двух простейших возможных видов: одно- и двухимпульсных переходов при отсутствии участков промежуточной тяги. 6.8.
Однпимпульсные переходы Любую эллиптическую орбиту в заданной плоскости, проходящей через центр тяготения, можно полностью задать тремя элементами; параметром 1, эксцентриситетом е и долготой ы пернцентра относительно некоторой оси отсчета 8=0. Рассмотрим две орбиты с элементами (1', е' ы') и (1, е, в), которые по предположению пересекаются в некоторой точке Р. Соответствующий импульс, приложенный в Р, вызывает переход с первой орбиты на вторую и, как показано в предыдущем разделе, полностью определяет базис во всех точках обеих орбит. В этом разделе мы выведем пзз д В Одноомпальсиые переходы уравнения, удобные для отыскания базиса на обеих орбитах. Если после этого окажетсЯ, что модУль найденного базиса нигде не превосходит по величине еди„ипу, то, как известно, переход будет локально оптимальным.
Пусть (г, О) — полярные координаты точки Р, а (', 1 — истинные аномалии последней на двух орбитах. Тогда имеем уравнения е' сов 7' = —, — 1, (6.70) есоз,г= — — 1, (6,71) 7' =Π— со', (6. 72) 7'= 0 — со, (6. 73) определяющие г, О, 1' и )'. Обозначим через <р угол, образованный импульсом тяги Т с перпендикуляром к Рис. вл. радиус-вектору ОР в сторону движения (рис, 6.7). Составляющая В' скорости ракеты в точке Р, перпендикулярная Т, не изменяется от этого импульса н является для обеих орбит одинаковой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
