Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3.2 теорию, в результате чего отсутствие решения для дуг МТ не будет более служить помехой для расчета Упражнения оптимальных маневров в окрестности центра тяготения, Этот случай часто встречается на практике, однако даже тогда, когда указанное приближение не оправдано, особенности истинного маневра удается установить при помощи приближенного решения. Так как точные характеристики оптимального маневра, во. обще говоРЯ, не ЯвлЯютсЯ кРитическими, Удовлетворительную программу регулирования величины тяги можно разработать сравнительно простыми средствами. Такого рода приближением мы будем заниматься в следующей главе.
ЛИТЕРАТУРА 1 1 а те беп О. Р., Рппйагпеп1а!з о1 зрасе пач!канон, А ВНГ. !атегр!апет. Зос., 13, № 2, 81 — 10! (1954). 2. Е а тч6 е п О. Р., Ориша! езсаре 1гош а с!гсп1аг огЬН, АМголаи(. Ас(а, 4, № 3, 218 — 233 (!958). 3 Ьавгйеп О. Р., ОР1ппа! рочгегей агсз 1п ап !пчегзе зйпаге 1ачг Ве!й, Х. Атег. )(осйеГ Бос., 31, № 4, 566 — 568 (196!). 4, Ьа чгй еп О. Р., ОрШпа! )п1егшей!а1е-!Ьгцз( агсз !п а ягачнаИопа! Ве16, Аз(голаий Ас1а, 8, № 2, 106 — 123 (1962).
5. 1Чеа1ЬегЬпгп С. Е., Айчапсез чеыог апа!уз!з, Ьопйоп, Веп, 1928, р. 7, 6". Дубо шин Г. Н., Небесная механика. Основные задачи и методы, Физматгиз, М., !963. 7*. Ко ч и и Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, Изд, АН СССР, М., !961. 8*. Л у р ье А. И., Аналитическая механика, Физматгиз, М., !961. Упражнения 1. Оптимальная траектория заключена в плоскости, проведенной через центр ньютонова поля тяготения, Р— точка, где участок ПТ сменяется кеплеровой траекторией, причем в точке Р импульсная тяга не прикладывается.
Введем обозначение д=рт. Используя результаты упражнения 2 (гл. 3), показать, что в точке Р выполняется соотношение й4~7 Зу( — = — — з (3 — 5з') ~ц4 гз в что р принимает в Р максимальное значение. (Указание: используя результат упражнения 2, направить ось Ох~ по ОР.); 2.
Показать, что в любой точке на спирали ПТ круговая орбитальная скорость о,р определяется соотношением у (1 — Зз')пз окр 112 5. Базис в ньютоновом иоле тяготения в силу чего уравнения (6.108), (6.!09) можно записать в виде бз (1 — 2э') соз гр (1 — 3 )'г (3 — бв) (3 — 4зэ) (1 — Ззз) Нт 3 — бзз Показать, что на участках спирали, где ~р мал, скорость ракеты приблизительно равна о„р. 3. Показать, что характеристическая скорость перелета вдоль отрезка спирали ПТ от э э~ до э зз, где э,(эз и эз мало, дается приближенной зависимостью )г Х Вычислить с той же степенью точности характеристическую скорость лля гомановского перелета (гм.
рис. б.4) между двумя орбитами и убедиться, что она меньше г'. 6. МЕЖОРБИТАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ 6.1. Введение В настоящей главе ранее установленные результа. гы используются для решения целого ряда задач, связанных с оптимальным перелетом ракеты между орбитами в поле с гравитационным притяжением, обратно пропорциональным квадрату расстояния от притягивающего центра. Для простоты будем далее предполагать, что движение происходит в плоскости, содержащей центр тяготения, и время перелета рассматривается как переменная, значение которой также подлежит оптимизации.
Первое предположение означает, что во внимание принимаются компоненты базиса, лежащие только в плоскости движения. Второе означает, что входяшую в формулы предыдущей главы константу С следует положить равной нулю. В качестве дополнительного упрощения примем, что все участки максимальной тяги аппроксимируются импульсами. 6.2. Базис на круговой орбите На дуге НТ, соответствующей круговой орбите, из уравнений (5.45), (5;46) следует Х = А соз ~+ В з1п ~ = Л з(п (~+ Ц, (6.1) и=2Всоз) — 2Аз!п(+П=2Ясоз()+1,)+О, (6.2) где Я = )/"А'+ Вз, (и ~з — — А/В.
Надлежащим выбором полярной оси отсчета Г=О указанные уравнения приводятся к виду Х=Яз1п~, р=2Ясоз~+О. (6.3) 114 б. Межорбитальные перелеты Следовательно, геометрическое место точек Р(Х, р) на плоскости 1., 1е есть эллипс, малая ось которого парад лельна оси Х и равна 2/г, большая ось параллельна оси р и равна 4К, а центр находится в точке (О, 0). Указанная р-траектория для круговой орбиты пред. ставлена на рис. 6.1, рассмотрение которой показы.
вает, что на каждом обороте изображаюшей точки по годографу модуль базиса р(=ОР) может иметь Р и е, 6.1. два максимума и два минимума либо только один максимум и один минимум в зависимости от вел ичины В. Та к, при В = 0 полюс О совпадает с центром эллипса, р достигает максимума, когда Р является одной из апсидальных точек, и минимума, когда Р находится на одном из концов малой оси, Однако если полюс О совпадает с фокусом, то р принимает максимальное значение в одной апсиде и минимальное в другой, причем другие стационарные точки отсутствуют.
Аналитически это следует из (6.3): Р'=У+р'=Зйисоза/+4ДОсоз/+В+От, (6.4) т. е, Р' принимает стационарные значения при /=О и и, а также при условии Загсов /+ 2О = О. (6.5) Последнее уравнение имеет действительное решение только в случае 1Р~ (ЗЯ/2. Простой анализ показывает, что при 1е)) (ЗЛ/2 величина Р' (а следовательно, и Р) имеет максимум, где /=О или и, и минимум, бд. Базис на круговой орбите 11о где е /=я+агссоз(20/3/7). Если 0)~ЗР/2, величина р' остигает максимума при /=О и минимума при /=и.
Е ли р( — ЗР/2, р' имеет минимум при /=О и максимум при /=и. В частном случае, когда И=О, р-траектория вырождается в точку, а величина р постоянна , а всей круговой орбите. учитывая эти результаты совместно с условиями (а) — (г), приведенными на стр.
76, получаем, что если круговая орбита составляет часть оптимальной траектории, то двигатель включается в каждой или одной из точек /=О и /=л (за исключением /с=О, когда две любые точки орбиты могут быть точками соединения). Однако во всех случаях в точке соединения Х=О, в силу чего тяга должна быть направлено по перпендикуляру к радиус-вектору. Поскольку ни в одной из точек спирали с промежуточной тягой вектор тяги не ориентирован подобным образом, то из условия (а) следует невозможность перехода круговой орбиты в спираль либо, наоборот, спирали — в круговую орбиту. Следовательно, допустимы касательные к круговой орбите импульсы тяги. В любой точке соединения р =Р, что соответствует абсолютному максимуму. Поэтому если на круговой орбите есть две точки соединения, то имеются две возможности: 1) либо Я=О и й=+Р; 2) либо точки соединения лежат на противоположных концах диаметра, /=О, и и Р=О, /(=-+Р/2 Таким образом, е,=О, 1с +Р, или Х = +' — Р з) и /, /с = + Р сов /.
(6.6) 2 В первом случае тяга в обеих точках соединения приложена по направлению движения либо в противоположную.сторону в зависимости от выбора знака. Во втором случае тяга направлена по вектору скорости в одной точке и противоположно ему — в другой, В равд. 6.4 будет показано, что первый случай недопустим. Однако, если круговая орбита является заключительным подиитервалом оптимальной траектории, она содержит только одну точку соединения, в которой р 116 Е Межорбигальные перелеты принимает свое максимальное значение Р, причем соединение должно иметь место в одной из точек 7=0 и 1"=и. Это можно обеспечить, приняв Х = — (Р— 11) в(п7', 1х=(Р— О) сов 7+ ху, (6.7) 1 где ОЯ(Р.
Тогда при выборе знака плюс соединение происходит при 1'=О, а при выборе знака минус — при )=и; тяга направлена по движению в первом случае н противоположно ему — во втором. Будет показано, что возможности соединения в двух точках (6.6) со.
держатся в формуле (6.7) при экстремальных значениях й (т. е. 0 и Р). Если на точку, движущуюся по круговой орбите, действует импульс тяги, приложенный по касательной к траектории (ио необязательно в направлении движения), точка переходит на некоторую коническую орбиту. После приложения импульса мгновенное движение точки происходит под прямым углом к радиусу, проведенному из центра тяготения, т. е. пассивный участок траектории начинается из апсиды конической орбиты.
Аналогично доказывается, что круговая орбита может возникнуть ~олько после приложения импульса тяги в апсиде конической орбиты. 6.3. Базис на конической орбите Рассмотрим сначала случай, когда коническая ор. бита начинается в апсидальной точке или входит в нее после приложения в апсиде трансверсального импульса тяги. В этом случае предыдущий (или последующий) участок заведомо является кругом. Уравнение конического сечения в полярной системе координат имеет вид —,=1+есов~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
