Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Пусть оы оа — радиальная и трансверсальная составляющие скорости ракеты в точке Р орбиты (1, е, со). Тогда (6.74) К=она!и ~р — о,созср. а. Межорбитальпьье перелеты При помощи (6.18) можно переписать последнее уравнение в следующем виде: 1 l"Т аз!п)= — !нср — %' у '— зес р. г У (6.75) Для второй орбиты получается аналогичная зависимость: и е' з)п 1' = — !н ср — Ю 1/ — зес ~р. (6.76) г т т А' сов !'+ В'е' з! п 7"' = А сов 7+ Ве з! и 7 = в!и ~р, О' А' — А'з!п !'+В'(1+е'сов 7')+ = — А з)п !+В(1+е сов !)+ = сов <р, ! 1+е'сов!' / ! 1+есоа! В [ — А'(е'+ соз [')+г)'е' з(п 1') = = Г'~ [ — А (е+ соз 7) -+ Ое з1п(1.
(6.77) Последние уравнения дают достаточное количество условий для определения А, В, О, А', В', Р'. Разрешая (6.77) относительно А и используя (6.75) и (6.76) по редукции, находим е [/ 1 А = (Р' — + з!наср. (6.78) Из второго уравнения системы (6.77) имеем (6.79) ! Ве в!и 1" = з! и р — А сов 7'. Соотношения (6.75), (6.76) служат для определения (т' и р. Запишем теперь уравнения, выражающие, что р служит единичным вектором по направлению импульса в точке Р и что производная р в указанной точке непрерывна.
Согласно равенствам (5.55), (5.56), (5.63) и (5.64), требуемые условия принимают вид б. Мемарбитальньи перелеты 138 Вь<читая последнее соотношение из (6.84), получаем значение характеристической скорости <и (т = с/ — 1/' = —,(/' — /л") зес ф.
(6 86) 6.9. Двухимпульсиые переходы Пусть (/ь еь а«), (/м еь атз) — орбиталы<ые эле. менты двух компланарных орбит с одинаковыми направлениями обращения. Предполагая, что переход между указанными орбитами происходит по двухнмпульсной схеме, обозначаем через (/, е, е<) элементы орбиты перехода. Последняя пересекает заданные орбиты в двух точках Р<, где <'= 1 или 2 в зависимости от того, лежит ли точка на первой или второй орбите, Обозначим через (гь 9<) полярные координаты точек Рь через ф< — углы, образуемые импульсом тяги с перпендикуляром к радиус-вектору в точках Рь а через (Р< — составляющие скорости, перпендикулярные к импульсам. Тогда значения постоянных А, В, 0 на орбите перехода, вычисленные в точках Р, и Р,, должны быть одними и теми же.
Прежде чем выписать эти условия, удобно ввести новые переменные, положив 1 Р= < е (6.87) 1 3< =— т Я7< 2<= а<а ф< (6.88) Тогда указанные три условия принимают следующий вид: (Е< — з</Е<) 81п ф, = (Я, — з,/2,) з(п ф<, (6.89) (з, — Р) (1 + Р«з/Е<) сов ф, + (з, — 2<ри) а < и <р, 1я <р, = = (з, — Р) (1 + Р«э/Ез) сов <р, + (з, — Е,р<т<) зш р, 1д <р,. (6.90) (1 + <,лР) соз р, =(1+ ',<а) соз р . (6.91) Б.у.
Двухинпульеные переходы 139 Ч, соя (О, — о,) = я, — р„ Ч соя (О, — о) =- я, — р, Ч соя (О, — о) = яг — р, Чг соз (Ог ог) — Яг Рг. (6.92) (6.93) (6.94) (6.95) Тогда для каждой точки соединения имеют место два равенства вида (6.75). Приведем их: Ч, я!и (О, — о,) = (я, — рьгх,,) 1д фп Ч я ! и (О, — о) = (я, — р'ггх.,) 18 фо Ч Я!и (Ог — о) = — (Яг — Рпдг) 1К фг, Чг (г г) (г Рг г) ыфг' (6.96) (6.97) (6.98) (6.99) При помощи одиннадцати уравнений (6.89) — (6.99) можно найти одиннадцать неизвестных величин: яь яь ОьОь2ь2г,фьфьр Ч о.
Решение указанной системы уравнений было найдено (Лоуден (6), Плиммер [8) и Смит (9)) для следующих случаев: 1) оси заданных орбит лежат на одной прямой и 2) заданные орбиты идентичны во всем, за исключением их ориентации (задача о повороте оси орбиты). В заключительном разделе мы получим решение для случая перехода между заданными орбитами с малым эксцептриситетом. !О" Способ разрешения этих уравнений, данный в работе Лоудена (6], сводится к определению характеристической скорости (г маневра перехода в зависимости от элементов (1, е, о) и составлению условия стацнонарности )г относительно всех малых вариаций этих элементов. Чтобы замкнуть систему, определяющую оптимальную орбиту перехода, нужно записать уравнения связи величин яь Оь Яь ф; с элементами орбит.
Обращаясь к уравнению орбиты в полярных координатах (6,8), получаем четыре условия, выражающие, что точки соединения (гь О;) лежат на соответствующих орбитах: 140 б. Меаеорбатальпые перелеты 6.10. Переход между заданными орбитами с малым эксцентрнситетом Пусть (Рь ед2, ь2!), (Ре, еде, а!2) — элемент двух почти круговых компланарных орбит в поле одного и того же центра тяготения (е — малая величина).
Предположим, что все одиннадцать характеризующих оптимальный двухимпульсный переход величин, описываемых уравнениями (6.89) — (6.99), суть регулярные функции е при достаточно малых значениях последнего. Тогда можно представить их в виде ряда по степеням е. Удобно обозначить эти одиннадцать неизвестных символами з2, зе, ..., а2 и записать степенные ряды в виде э=э!+аз!+етз,"+ ..., ь2= ь2+еа2 +ееь2 + (6.100) Вычислим эти разложения с точностью до членов первого порядка относительно е. Результаты, к которым мы придем, принадлежат Смиту (9).
(Замечание. Штрихи в (6.100) указывают порядок относительно а и не обозначают, как раньше, дифференцирование.) Заменяя д„да в (6.89) — (6.99) значениями е212, едь соответственно, подставляя разложения в степенные ряды (6.100) и приравнивая члены нулевого порядка в обеих частях каждого из уравнений, получаем следующие соотношения; (х ! — з2/~!) з(п ф! — — (Еа — за!22) з(п 2р,, (6.101) (з! Р) (1+ р"'2Е!) соз 2р, +(з! — 22Р222) з(п !у, 122 ф, = =(за — Р)(1+ Р'Ч72) соз 2р,+ +(за ~2Р ! ) з2п фа 16 фа, (6.102) ( 2+Р1 ( ет+Р 04 з! — р,, (6.104) 21 С ОЗ (О, — а2) =' Х! — Р, (6.105) су соз (О, — ь2) = з, — Р, (6.106) буб. Переход между орбитами с маемлг эксцеитриситетом 141 0= зг — Рг (6ПОУ) 0= (з, — ЕгР',~г) 1Яйп (6.108) гу з!п (6, — в) = (зг — Лгриг) 1д грг, (6.109) с/ э!п (6, — в) = (з~ — Л,риг) 1я гр,, (6.110) 0 = (эг — ЕгРЩ 1д Чгг.
(6.111) Последние зависимости, очевидно, идентичны соотно- шениям (6.89) — (6.99), в которых г!г и е/г положены равными нулю. Следовательно, решение этих уравне- ний соответствует оптимальному двухимпульсному переходу между двумя круговыми орбитами, т, е. го- мановскому переходу. В предположении, что переход происходит с меньшей орбиты на большую, для гома- новского перехода известно грг =эре=О, О, — в=О, Ог — в=п, (6.112) эг = Р» эг=Рг Уравнения (6.! 04) — (6.! 11) удовлетворяются, если принять 1 1 Р = 2 (Рг + Рг), Ч = 2 (Рг — Р,). (6.113) Пусть аь аг — радиусы круговых орбит, тогда Р,=1/аь Рг=1/аг и в силу (6.1!3) параметр и экс- центриситет орбиты перехода с точностью до членов первого порядка относительно е равны: 1 2аа, (6.114) р а,+аг ' а=у= (6.115) р а,+аг ' Эти результаты следуют также из геометрических со- ображений (см.
рис. 6.4). Пока в не определено, ориентация гомановского эллипса перехода остается произвольной. Уравнение (6.101) удовлетворяется, так как грг -— =г!ге=О. Соотношения (6.102), (6.103) приводятся к виду 2 ! "2+(р, +р)ги( — + — ) =О, ар~+ рг р~+Зрг Лг Лг 142 б. Межорбигальные перелеты Отсюда )г 2(р +р)~ ~ )г2(р +р.) р,.+ зр, ' зр, + р, ' . 18) Вернемся к рассмотрению членов первого порядка относительно е.
Подставляя найденные в нулевом приближении значения переменных в (6.89) — (6.99), получаем следующие уравнения относительно членов первого порядка: (Лг — р,/Е,) ф, = (2, — р,~Х,) ф„(6.119) ггг2' 1 2рггг2 21 Р Р М =(з,' — р')(1 + р Ч2г)+ (р — р) — — — /. Р 2 2 (6.120) (6.121) (6.130) ег+Р 7гр е2+ Р у ~,' р' Егр (, 2,р 22,р гу,соз(о — о,) =-з'„ л = яг —,и, — гу' = я,' — р'.
— гу, сов (о — о,) = я,', гу, в1п (о — о,) = (р, — Е,р',гг) фп гу (8', — о') = (р, — ~,р'и) ф', гу А о ) =(рг ~гр ) фг — гу, з(п(о — о„,)= (р, — Уер,'Р) ф',. Разделив (6.129) на (6.!26), получаем чг егв (о — егг) (Рг Егрг ) фг ()г е1п (э иг) (Рг — Лгр~г ) Чгг (6.122) (6,123) (6.124) (6.125) (6.126) (6.127) (6.128) (6.129) д 10, Переход междя орбитими с моеым эксиеитриситетом 143 Исключая отношение ~р'/ср,' при помо1цн (6.! 19) и подставляя Яь Яэ из (6.118), записываем последнее соотношение в форме Мп(а — а) о, (Р) э1п(в — в ) о, (Р / (6.131) где после упрошений 1+ Зх — 1' 2 (1+ х)эп 3+ х — 1тт — (1+ х) зп Уравнение (6.131) определяет а.
Разрешая его относительно 1д а, находим ( ) э1п а1 + 51п вт (6.133) () соэ в! + сои ат (6.132) гдт (6. ! 34) Р(х) =х. (6.135) Отсюда с той же степенью приближения имеем гь э~Р, е, о,р, е, ' (6.136) где еь ез — эксцентриситеты заданных орбит. Следовательно, уравнение (6.133) можно записать в следующей приближенной форме: 1да= е1 э(п в~ + ет ипат е, соэ в, + е, соэ в, (6.137) откуда ясно, что если е,»еа то а=аь а если ет»еь то а=ам Это означает, что ось эллипса перехода стремится совпасть с осью заданной орбиты с большим значением эксцентриситета. Это правило График Р(х) грубо можно аппроксимировать следующей зависимостью; 144 б. Ь!ежорбитальньге перелеты тяготения эксг(ентриситетое. В частности, когда одна из орбит является круговой, ось эллипса перехода л .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
