Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 22
Текст из файла (страница 22)
жит на одной прямой с осью эллиптической орбиты Этот результат был получен в одном из первых раз. делов настоящей главы. После определения от члены первого порядка всте. пенных разложениях элементарно находятся из (6.119) — (6.129). Однако на этом этапе величина мг остаемся неизвестной и в случае необходимости мо.
жет быть получена только из рассмотрения членов второго порядка. Можно показать (Смит «9]), что найденное указанным методом решение первого порядка для орбиты перехода идентично с той же степенью прибли жения оптимальному эллипсу, соприкасающемуся с обеими заданными орбитами. Этот соприкасающийся эллипс был предметом исследования в работе Лоудена «4]. Однако в общем случае эллипс такого рода не образует оптимальную орбиту перехода, хотя обычно и близок к ней.
ЛИТЕРАТУРА !. В еп д ег Р. Г., Ор1!пвв сор!апаг 1»чо-!гпрпЬе 1гапз!егв Ье. 1жееп еп!рпс огЬ1Ь, 1пйпи1е о! Аегопаи!. Яс(епсев Рте. Рпп1 62-64 1962 2. Нос! нег И. Е., 5 ! ! Ьег К., ТЬе Ьреп!риса! 1гапз1ег Ьебнееп с!гси!аг сор!апаг огЬИв, Аппу Ваппик МЬвие Анепсу, Иедз1опе Агвепа(, А!а.
Вериг! № РА-ТМ-2-59, !959. 3 Н о Ь в а п п '»Н., Р!е Егге!сЬЬаг1сеИ бег Н!пнпе!вйогрег, Мип!сЬ, О!ИепЬоигя, !925. 4. 1 а тч с! е п Р. Е., Орива! 1гапв1ег гла 1апнеп!!а! е1Прзез, А Вгп. !лтегр(але(. Бос., 11, № 6, 278 — 289 (!952). б.
Ь а ж д е п Р. Р., Езсаре 1о 1пиппу 1гов Ыгси!аг огьпв, А Впт. 1лтегр!апет. Вос„12, № 2, 68 — 7! (!953). 6. Л о у де н Д. Ф., Импульсный переход между эллиптическими орбитами. Методы оптимизации, гл. Х1, «Наука», М., 1965, 387 — 4!5. 7' 1. атч д еп Р. Е., Орпва! )и!егвеб!а(е 1Ьгпз1 агсв !и а дгапгаИопа! ИеЫ, Аыголаит.
Асга, 8, № 2-3, !Об, !23 (!962) 8 Р!!ввег К, Х. А., Гие! геявгевепЬ 1ог 1п!ег-огЬ~1а! 1гапз(ег о( а госйе1, Ргос. о! 1Ье Х(Ь !п1егпа(. Аз1гопаи1, Сопнгезв, Н)еппа, Брг!пнет-Нег!ад, !960. 9. 5гп11Ь О. С., ТЬе са!сша1юп о( папина! огЬИв, Аыгоааа(: Асга, 5, № 5, 253 — 265 (!959), Упражнения 145 Упражнения 1 Отношение радиусов двух компланарных круговых орбит, „ежду которыми совершается переход по трехимпульсной схеме Ртькера — Зильбера, равно р=Ь(а>1, расстояние от центра тяго- ения до точки соединения, не лежашей ни на одном из кругов, равно с>Ь. Показать, что характеристическая скорость маневра дается формулой 1гг У ~ ] 2(Рх — 1) +ьг2 х гГз(1-~-х)грт — ргрз — ! 1' Ь ( х" (рх+1) Гт где к=с,'Ь.
Показать, что знаки производной аУгах и выражения Зр+ 1+бр(р+1) х — рз(р — 9) хз одинаковы при х>! и что У вЂ” монотонно убывающая функция для всех х при р > 15,6. Показать, что для указанных значений р трехимпульсный тип перехода экономичнее гомановского перехода дяя всех х)~ !. Изобразить график У(х) при а<15,6 и показать, что если р>11,94, то трехимпульсный переход более экономичен при достаточно больших значениях х.
2. Ракета, движущаяся по круговой орбите радиуса а со скоростью оьр, должна уйтн на бесконечность с остаточной скоростью и, Показать, что характеристическая скорость двухимпульсного перехода, описанного в конце равд. 6.6, дается выразкением Ь' = они [1' 2 (х + р') на — Р 2 (х + 1) 'Гт + 1], где р='о/(гг2 рхр), к=а/а', а'(<а) — расстояние второй точки соединения от центра тяготения.
Показать, что при условии р> 1 скорость У монотонно убывает с ростом х, в силу чего двухимпульсный маневр более экономичен, чем уход при помощи одвого касательного импульса для всех х > 1. Послесловие переводчика Исследование оптимальных космических траекто. рий является одной из наиболее привлекательных за. дач астродинамики, которая служит естественным продолжением и развитием классической небесной механики и отличается от последней объектом анализа [управляемые искусственные небесные тела— космические летательные аппараты). Количество публикаций на эту тему за последние годы во всем мире неизменно растет, так что удерживать в поле зрения весь этот поток информации становится затруднительно и специалисту.
Поэтому назрела очевидная потребность в обобщающих трудах, подводящих итоги развития определенных областей космонавтики. Ряд обобщающих публикаций, частично восполняющих указанный пробел, можно разделить на две группы. Монографии н обзоры [1 — 5[ освещают ряд специальных аспектов общей теории и вряд лн могут служить для начального ознакомления с предметом. Интересный, хотя и не всегда однородный материал собран в сборниках [6 — 8), Ко второй группе относятся кМеханика полета> Миеле [91 и превосходная книга группы известных специалистов и профессоров [Беллмана, Брекуэлла, Эдельбаума, Фолкнера, Калабы, Келли, Коппа, Миеле, Лоудена и др.), вышедшая под обшей редакцией Лейтмана [10[. Две последние книги выгодно сочетают простоту и наглядность изложения с научной строгостью, что делает их незаменимым пособием для начинающих, а умелый отбор материала и обширная библиография— незаменимым справочником для инженеров н научных работников, специализирующихся в области динамики полета.
Послесловие аеревод«ика 147 Предлагаемая ныне издательством «Мнр» вниманию советского читателя монография Лоудена примыкает к последней группе. Дерек Ф, Лоуден являешься профессором математики Кентерберийского университета в Крайстчерче (Новая Зеландия). Его имя много говорит специалисту, Вместе с Д. Е. Охоцимским, Т.
М. Энеевым, Лейтмаиом, В. А. Егоровым, А. А. Космодемьянским и Миеле проф. Д. Ф. Лоуден является основоположником современной теории оптимального движения космических аппаратов. Его ученики работают в ряде научно-исследовательских центров США, связанных с программой освоения космического пространства. Строение книги очевидно из оглавления, направленность — из «Предварительных замечаний». Однако подлинное ее значение, по нашему мнению, существенно перерастает рамки, указанные самим автором. Минувшее десятилетие в истории науки ознаменовалось формированием и торжеством новых направлений вариационного исчисления: теории оптимальных процессов (принципа максимума Л.
С. Понтрягина), динамического программирования Беллмана, принципа оптимальности В. Ф. Кротова, функциональных методов (Дубовицкий, А. А. Милютин). За годы, прошедшие с момента появления первых работ, посвященных исследованию оптимальных траекторий ракет с помощью динамического программирования (1Ц и принципа максимума (!2), была показана эффективность этих методов. Особую популярность за последние годы завоевал принцип максимума, с которым связан большой прогресс, достигнутый во всем мире при решении практических задач со сложными ограничениями. (Метод динамического программирования применительно к динамике полета справедливо можно отнести к методам будущего, так как эффективность его в большей степени связана с возможностями вычислительной техники.) В связи с очевидными достижениями, полученными на пути использования современной теории оптимальных процессов, у некоторых молодых научных работников сложилось превратное представление о 148 Послесловие переводчика возможностях классических методов.
Книга проф. Лоудена, как, впрочем, и исследования В. А. Троян кого (см., например, [13, 14, 22!), свидетельствует о далеко не исчерпанных возможностях классического варнационного исчисления. Все необходимые сведения из вариационного исчисления изложены автором в первой главе в современном стиле, удобном для анализа управляемых систем.
Что касается содержания монографии, следует особо выделить приведенные в гл. Ч основополагающие результаты, полученные автором при исследовании так называемого особого оптимального управления в центральном ньютоновом поле. Автор отмечает необходимость построения поля особых экстремалей с целью обнару>кения сопряженных точек.
Этот круг идей автора привлек к себе живейший интерес и породил интересную дискуссию. В частности, в 1964 г. де Вебек и Гертс [15) показали, что в случае отсутствия ограничений на угловую дальность или время перелета спираль Лоудена (т. е. траектория с промежуточной величиной тяги) не может являться оптимальной траекторией. Аналогичный случай был обнаружен также Коппом и Мойером [16).
Обзор работ по теории особых экстремалей содер>китса в докладе Роббинса [23], где также показано, что экстремали этого типа являются в ряде случаев абсолютными. Материал последней главы, посвященной импульсной теории перелетов, не дублирует содержания известных статей Лоудена [1?, 18) в сборниках [6, 101 Последние, равно как и обзор основных работ Лоудепа до !959 г., выполненный Хаком [19), можно рекомендовать в качестве дополнения к настоящей монографии.
За время, прошедшее после ее издания в Англии (!963 г.), теория импульсных переходов (как, впрочем, и другие разделы интенсивно развивающейся астродинамики) обогатилась рядом интересных результатов, из которых мы отметим работу В, И.Чарного [20), где дано строгое доказательство того, что многоимпульсный переход состоит из соприкасающихся в апсидальных точках дуг конических сечений. В развитие этого С. В.
Дубовским [2!) было показа- Литература 149 но, что случай перехода посредством приложения импульса в точке пересечения двух эллипсов (см. равд. 6.8 настоящей монографии) с малыми эксцеитриситетами соответствует не минимуму, а максимуму функционала. Кроме того, в работе (21) показано, что оптимальное число трансверсальиых импульсов в апсидальных точках при переходе между соосными эллиптическими орбитами не превышает четырех, считая и бесконечно удаленные точки, а также дано обобщение результатов Хелькера и Зильбера на случай перехода между эллиптическими орбитами (ранее эти результаты были известны только для круговых орбит).
В работе Марека [24] дано исследование оптимальных переходов между близкими квазикруговымн (в том числе и некомпланарными) орбитами, а также построены «области достижимости» переходов с заданным значением А)7 (в пространстве приращений орбитальных элементов). С выходом настоящей монографии советский читатель получит еще одну книгу, представляющую большую научную ценность. В. К. Исаев ЛИТЕРАТУРА 1. Попом а ре в В. М., Теория управления движением космических аппаратов, «Наука», М., !965.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
