Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(6А1) 2/3/2 При перемене направления действия тяги в обеих точках соединения знак $ в этих случаях меняется на обратный. Если в точке /=О тяга прикладывается по направлению движения, а в точке /=и — против него, то имеют место уравнения (6.25), (6.26) (со знаком плюс). Итак, при /=0 1/2 2,2 (1+ е)', ч = О, (6.42) 2/3/2 а при /=и р !/2 ~= — „, (1 — е)', Ч=О. (6.43) В двух последних формулах знак $ меняется на обратный при перемене направления действия тяги (тормозной импульс при /=0 и разгонный при )=п)з 124 6. Межорбигальные иерелегм Наконец, в случае, когда импульс прикладывается по касательной к гиперболической или параболической орбитам в апсидальной точке, справедливы соотношения (6.17). Добавляя к ним (6.38), получаем для указанной точки соединения зависимость н2 (1+ е) Р, т) = О, где знак минус соответствует разгонному импульсу и знак плюс — тормозному.
С помощью полученных в настоящем разделе результатов можно доказать, что оптимальная траектория не может содержать круговую орбиту с двумя точками соединения, если в обеих точках импульсы носят одинаковый характер (т. е. направлены или на разгон, или на торможение). Для определенности предположим, что оба импульса тяги направлены по вектору скорости, и рассмотрим первую точку соединения, в которой некоторая траектория переводится в круговую орбиту. Участок нулевой тяги, предшествующий кругу, должен быть эллипсом, касательным к кругу в своем апоцентре. Поскольку эта апсида является точкой соединения на эллипсе, то соответствующие компоненты вектора р в ней даются соотношениями (6.39).
С другой стороны,. те же компоненты р на круге определяются из уравнений (6.35) (со знаком минус). Из соображений непрерывности необходимо Р = ( — ) (1 — е) (73+ В (1 — е)). (6.45) Расстояние апоцентра эллипса от центра тяготения равно Ц(1 — е), откуда 1 — е' (6.46) Соотношение (6.45) теперь можно переписать следующим образом: Р(1 — е) = т.) + В (1 — е). (6.47) б.б.
Пврвкод между двумя круговыми орбитами !2о (6.49) 6.5. Переход между двумя круговыми орбитами Маневр перехода ракеты с минимумом затраты топлива с одной круговой орбиты вокруг центра тяготения на другую, концентрическую и компланарную первой, изучался Гоманом [3). Так как обе орбиты— старта и назначения — суть круги, из результатов для апсиды имеем далее Х=О и !к=Р, откуда прн помощи (6.!4) получаем Р(1 — е) = О+ В(1 — е)'. (6,48) Разрешая (6,47), (6.48) относительно В и Р, находим еВ = !(! — е) г — 1] Р, еВ = !т1 — е — (1 — е)'"] Р. Отсюда хо (стр. 116) определяется следующим обра- зом: гйтым хо= ~ — „) — 1= — е, (6.5П) и для этого значения точка г'=и будет доставлять р минимальное значение.
Следовательно, на эллипсе на- рушается условие (в) (стр. 76), в силу чего рассмат- риваемая траектория не может быть оптимальной. Аналогично доказывается, что случай, когда оба импульса прикладываются на круге в сторону тормо- жения, также не является оптимальным. Таким образом, приходим к заключению: еслипас- сивный участок, принадлежащий к оптимальной тра- ектории, имеет форму круга и не является конечным участком траектории, то две лежащие на нем точки соединения расположены па противоположных концах диаметра и импульсы тяги в них прикладываются в разные стороны относительно направления движения.
Следовательно, если круговая орбита является частью оптимальной траектории, то вне зависимости от того, является ли она конечным илн внутренним подинтер- валом траектории, все остальные пассивные участки должны иметь вид конических сечений с совпадаю- щими осями. б, Межорбиталелеие иерелегы предыдущих разделов настоящей главы следует, что орбитами перехода служат эллипсы с совпадающими главными осями, касательные друг к другу и к кру гам в своих апсидах. Рассмотрим сначала случай, когда имеется только одна переходная орбита — эллипс, касательный в апсидальных точках к двум круговым орбитам, как показано на рнс.
6.4. Будем считать направление вращений ракеты по обоим кругам одинаковым и предположим, что переход совершается с малого круга на Р и с. 6.4. большой. Таков тип перехода, открытого Гом а нем. Апснды А и В эллипса служат точками соединения, импульсы в которых прикладываются по направлению движения. Поскольку импульсы в точках А и В являются разгопнымн, соотношения (6.36) определяют компоненты вектора р в этих точках кругов, а уравнения (6.40), (6.41) — аналогичные компоненты в тех же точках, принадлежащих эллипсу перехода. Полагая Р=! (см. (3.69)), запишем условие непрерывности р в точке А: 0+1 = Я (1+ е)'(2 — е).
(6.51) Из геометрических соображений (рис. 6.4) непосредственно видно, что ОА=а= —,, 1 1+е ' (6.52) откуда 1л+1 = (1+ е) ~(2 — е). (6.53) б.б. Переход между двумя круговыми орбитами 127 Условие непрерывности р в точке В устанавливается с помощью уравнений (6.36), (6.41) аналогичным образом: + [1) (1 — е) (2+у)=(1 — е)ьа(2+а), (654) где 0' — значение В для внешнего круга, Ь вЂ” его радиус. Уравнения (6.53), (6.54) служат для определения постоянных 0 и 0'. Для того чтобы переход был оптимальным, каждая из этих постоянных, как показано в равд. 6.2, должна принимать значения нз интервала [О, 1).
Это приводит к следующему неравенству для величины е; 1 <(1+е)'т(2-- е) <2, (6,55) 1 ~((1 — е)'"-(2+ а) (2. (6.56) График функции у = (1 + х)и'(2 --.с) (6.57) представлен на рис. 6.5. Рассмотрение этого рисунка показывает, что у лежит в интервале [1, 2] для всех Р и с. 6.5. значений х нз интервала [ — х„ хг). Очевидно, что неравенства (6.55), (6.56) удовлетворяются при условии, что е принадлежит отрезку [О, ее), где ее — меньшее нз чисел х, и х,.
Пусть — яо хг — корни уравнения хз — Зх' + 3 = О. (6.58) б. Меееорбитальные иерелеты Путем численных расчетов находим приближенные значения корней х,=0,8794..., хи=1,347.... Отсюда 0 ( е ( 0,8794. (6.59) Из рис. 6.4 очевидно, что а = ОА = а(1 — е), Ь = ОВ = а (1 + а), (6.60) где а — большая полуось эллипса перехода. Разрешая эти уравнения относительно а и е, получаем а = — (а+ Ь), е = +, (6.61) а+1 где Р=Ь/а. Условие (6.59) можно теперь трактовать как неравенство для величины р; 1.(р (15,6.
(6.62) Таким образом, гомановский переход заведомо не оптимален, если отношение радиусов круговых орбит превышает 15,6. Этот результат был впервые получен Хелькером и Зильбером [2), которые показали, что можно найти Р и с, б.б трехим пульсный маневр, более экономичный по р а сходу топлива. Трехимпульсный переход проводится следующим образом (рис. 6.6). При помощи первого импульса, приложенного в точке соединения по касательной к исходной орбите, ракета выводится на эллиптическую орбиту, большая полуось которой превышает соответствующую величину гомановского эллипса перехода.
По касательной к эллиптической б.б. Переход между двумя круговыми орбигоми 129 орбите в ее апоцентре В прикладывается второй импульс, с помощью которого ракета переводится на новую эллиптическую орбиту, касающуюся большого круга в своем перицентре С. Третий импульс, приложенный в С против движения, выводит ракету на ее конечную круговую орбиту. Чем больше расстояние ОВ, тем экономичнее становится маневр; в пределе, при удалении точки В в бесконечность, эллипс перехода превращается в параболу, и величина импульса в точке В падает до нуля.
Однако при р>15,6 любой трехимпульсный маневр этого типа (точка В лежит вне большого круга) более выгоден по сравнению с гомановским. Маневр Гомана можно рассматривать как особый случай трехимпульсного перехода, когда В лежит на большом круге н величина приложенного в точке С импульса равна нулю. Поэтому, когда В лежит вне большого круга, трехимпульсный маневр можно рассматривать как развитие гомановского маневра, полученное с помощью малой вариации его программы регулирования тяги. Вот почему переход Гомана при этих условиях оказывается не оптимальным.
При р<15,6 малые вариации указанного вида программы Гомана приводят к увеличению расхода топлива, как и следовало ожидать. Однако при условии 11,9<р<15,6 (ОВ достаточно велико) Хелькер и Зильбер показали, что трехимпульсный маневр может оставаться более экономичным по сравнению с гомановским перелетом. Однако вариация гомановской программы для величины тяги, необходимая для превращения ее в соответствующую программу болеевыгодного трехимпульсного маневра, оказывается большой, вследствие чего эллипс Гомана продолжает оставаться оптимальным относительно малых вариаций— единственных вариаций, которые рассматриваются в нашей теории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
