Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Предположим, что в заданный момент аппарат достигает своего конечного положения с заданными значениями горизонтальной скорости и массы, т. е. Т, и~ и М, все фиксированы. Приняв д= — Лп (4.27) получим при (=Т из конечных условий (!.46) Л =Ла — — О, Л =1. (4.28) Из (4.2) имеем Л„=т — Ф, Л, =О, Л„=1, Ле — — О, (4.29) где т — дополнительная неизвестная константа. Базис направлен по оси Л„ в положительную сторону, если !<т, и в отрицательную, если !>т. Таким Подставляя иь о, из (4.22), (4.23), находим, что угол чр должен быть таков, чтобы (4.25) 90 4. Оптимальные траектории в однородном ноле образом, О=О или х и р-траектория состоит нз от.
резка оси ),„между точками (т, О) и (т — Т, О). По. скольку Хи, Хв оба обращаются в нуль при 1=т, в этом случае х может терпеть разрыв. Из (4.11) мы находим е х= — —, 4(т, ) М ' (4.30) х=+ —, Ф) т. ~ М ' Таким образом, до момента 1=т х убывает, после чего начинает возрастать. Соответствующий график представлен на рис. 4.1, а или б. Если рис.4.1корректен, то х)0 всюду и участок максимальной горизонтальной тяги, направленной в сторону положительной Р и с, 4.1, полуоси, без паузы сменяется участком максимальной тяги, действующей в противоположную сторону. Продолжительность полного выгорания горючего полностью определяется известным значением макси.
мального секундного расхода и в общем отлична от требуемой величины Т. Таким образом, нормальный случай представлен на рис. 4.1,а: участок максималь. ной тяги, на котором О=О, сменяется участком нулевой тяги, за которым в свою очередь следует второй участок максимальной тяги, на котором О=х. Интегрирование уравнения горизонтальной компоненты движения (при О=О или х) показывает, что 42. Частные задана онечная горизонтальная скорость в результате двух активных участков равна и, = с1п — — с1п — = с 1и, (4.31) Мо % '14оМ, Мо М Л42 где М; — масса ракеты в конце первого активного участка.
При условии, что данное значение ио не превосходит по величине с 1п тт', это уравнение определяет М, в диапазоне Мо)Ме)Мь Оптимальная траектория теперь полностью определена, продолжительность пассивного участка равна разности между полным временем Т и промежутком, необходимым для сгорания всего топлива с максимальным секундным расходом. В заключение рассмотрим задачу о перелете ракеты с минимальным расходом топлива между двумя фиксированными точками в однородном поле. Будем считать, что время движения задано и допустима импульсная тяга. По предположению значения скорости аппарата на концах интервала движения известны и таковы, что условия (4.5) и (4.6) не могут выполняться одновременно.
В этом случае в состав оптимальной траектории не может входить участок ПТ и траектория ракеты должна быть сформирована из участков НТ, сопрягающихся в точках соединения; р-траектория не может выродиться здесь в изолированную точку и представляет собой прямую линию, которую описывает изображающая точка при движении с постоянной скоростью. Отсюда следует, что р может иметь не более одного стационарного значения, причем последнее является минимумом. Выше, однако, было доказано, что в точках соединения, не совпадающих с концами интервала движения, р должно принимать максимальное значение, равное единице.
Отсюда заключаем, что иных точек соединения, кроме концов интервала движения, быть не может. Если соединение имело бы место только на одном из концов, это означало бы, что возможен оптимальный перелет без вариации направления тяги, что в действительности соответствует особому случаю, когда одновременно выполняются условия (4.5), (4.6). Таким образом, оба 92 4. Оптимальные траектории в однородном лоле конца являются точками соединения, и нетрудно до казать, что импульсы, которые должны в них прикла дываться, однозначно определяются краевыми условиями и временем перелета. Элементарный анализ этой проблемы читатель может найти у Лоудена [2], а детальное доказательство того факта, что рассмотренный только что тнп перелета является абсолютной экстремалью,— у Эвинга [1].
ЛИТЕРАТУРА 1. Е вг(п 6 О. М., А (ппдашеп1а! ргоЫепт о1 пач!яаиоп 1п (гее зрасе, Оиаг!. Арр!. МаЯ., 18, № 4, 355 — 362 (1961). 2. 1.аж 6еп )у. Р., Ма!кеша!(са! ргоЫепы о1 аз1гопаписз, Ма!д Оаг., 41, № 337, 168 — !79 (1957). 3. 1.е11пт а пи О., Оп а с1азз о1 чаг!аиопа! ргоЫешз 1п тоске! 1икЫ, У.
Аеголаий Зсь, 26, № 9, 586 — 591 (1959). 4*.0хоци иск и й Д. Е., Э пеев Т. Н., Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли, Уел. физич. наук, 63, вып, 1а (1957). 5*. Исаев В. К., Принцип максимума Л. С.
Понтрягина и оптимальное программирование тяги ракет, Автоматика и телемеханики, 22, № 8 (196!). 6*. И с а ее В. К., Дополнение к работе «Принцип максимума Л. С. Понтрягина и оптимальное программирование тяги ракет», Автоматика и телемеханики, 23, № 1 (!962). 7*.1.е11 шеи и О., (Чо1е оп «А с!азз о( чапанопа! ргоЫешз !п тоске! П!6Ы», У.
Авто/Зрасв Зсг., 29, № 8 (1962), Упражнения 1. Пусть хз, х, — векторные координаты точек отправления и назначения в однородном поле с гравитационным ускорением К, а ча, ч1 — скорости в этих точках соответственно. Показать, что р-траектория лежит в плоскости, параллельной векторам 1 х~ — Ха — ч»Т — — ЯТ 2 ч,— ч,— нТ, где Т вЂ” время перелета. 2. Пусть ч — текущая скорость ракеты; геометрическое место точек, образуемых концом вектора ч прй движении аппарата, называется его годографом.
Показать, что в случае отсутствия гравитационного поля отношение !7 начальной массы к значению массы в конце маневра связано с длиной Е соответствующего маневру годографа соотношением с! п )с = й. 93 Упражнения 2, Используя обозначения равд. 4.1, показать, что задача об оптимальном по РасходУ топлива пеРелете междУ двУмЯ точками при отсутствии поля эквивалентна следующей: соединить дзе точки Ао, Аь заданные радиус-векторами чэ, ч, соответственно, годографом минимальной длины, удовлетворяющим дополнительному условию ч Лу = х, — хэ, Показать, что последнее условие эквивалентно требованию так распределить массу й — 1, по годографу, чтобы центр масс б оказался в точке с радиус-вектором (х, †)Ф~ — Гэ).
Зафиксировав Гэ,ть показать, что годограф оптимального перелета образован двумя отрезками Аэб, 6Аь откуда следует, что оптимальный перелет совершается путем приложения импульсов тяги в конечных точках. (Указание: для годографа минимальной длины масса П вЂ” Ге должна быть сосредоточена в точке 6.) 4. Используя обозначения равд. 4.2, рассмотреть задзчу максимизации дальности в горизонтальной плоскости, проведенной через точку старта О. Значения начальной и конечной масс Мэ,М~ заданы, полное активное время переменно. Пбказать, что р-траектория представляет собой отрезок прямой, проходящей через начало координат, и что модуль базиса монотонно убывает. Показать, что на первом участке секундный расход топлива максимален и веитор тяги составляет постоянный угол с горизонтом; на втором участке совершается баллистический полет, 6. БАЗИС В НЫОТОНОВОМ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 5.1.
Участки нулевой тяги Предположим, что ракета движется в поле фиксированного центра тяготения О, величина силы притяжения на единицу массы составляет у/г', где г — расстояние ракеты от центра О. Тогда, как известно, траектории пассивного движения представляют собой кеплеровы конические сечения с фокусом в точке О. Задача настоящего раздела заключается в отыскании формы базиса, соответствующего этой дуге.
Пусть кеплерова дуга представляет собой коническое сечение, лежащее в плоскости х, у ннерциальиой декартовой системы координат Охуг. В качестве начала отсчета О примем центр тяготения (фокус конического сечения). Пусть г, Π— полярные координаты ракеты, движущейся по орбите относительно полюса О и начального луча Ох, тогда уравнения движения точки можно представить в виде гОг т (5.1) г2 ' гО+ 2гО = О. (5.2) В учебниках по классической динамике (см., например, Лоуден, стр. 89, и [6"), стр. 212) показано, что из этих соотношений следует уравнение конической орбиты в форме —,=1+есоз(Π— Й), (5.3) где е — эксцентриситет, 1 — параметр орбиты и а— угловое расстояние перицентра (точки наибольшего сближения с центром тяготения).
Будем называть а долготой перицентра. Уравнение (5.2) можно прони 95 5.Л уеавтки нулевой тяги тегрировать и получить отсюда закон сохранения момента количества движения ракеты относительно центра тяготения г~О= ~/у1. (5.4) При этом в процессе движения аппарата угловая скорость 0 считается положительной. Дифференцируя (5,3) по времени и используя (5.4), получаем следующее уравнение движения: г = е 1/ т з1п (Π— ео). Г ! (5.5) Рассмотрим теперь зависимости (3.15), описывающие базис. При выводе соотношения (3.62) было показано, что если существует скалярный потенциал, определяющий поле, то длг дд'ю дхе дх которые можно представить в векторной форме р=р ра (5.8) В подходящем случае это уравнение можно использовать для замены соотношения (3.36).
В качестве третьей возможности отметим, что по правилам векторного анализа (см., например, [5) и(7*, стр.!26)) оператор р Ч можно заменить оператором рд/дз, где о/Дз означает дифференцирование по направлению р, вследствие чего (5.8) эквивалентно также уравнению Р=Р д дя (5.9) В рассматриваемом случае т й= — — Г Гз е (5.10) Таким образом, уравнения (3.15) эквивалентны зависимостям (5.7) 96 5 Базис в нвютоновом поле тяготения Если ~р — угол между вектором г и направлением дифференцирования р, то —,= сов <р. дг дв (5.12) Таким образом, дт =р дв (5.13) где р — единичный вектор в направлении р. Отсюда Р д — — —,(Р г)г — —,, Р. (5.14) Спроектируем уравнения (5.9) на оси прямоугольной декартовой системы ОХ, ОУ, Ог, где ось ОХ направлена по радиус-вектору, соединяющему полюс О 2 Р не.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
