Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации (1966) (1246629), страница 16
Текст из файла (страница 16)
2у . у (5.76) Проектируя далее эти компоненты на оси а и Ь, записываем соответственно —,, (Ззш'ф — 1), — —,ейп1рсозф. (5.77) ур . , Зур . Итак, уравнение (3.36) в проекциях на указанные оси имеет следующий вид: Ф2= у, (1 — 3з1птф), (5.78) Ф = — —, з1п ф соз 1р. Зу (5.79) Радиальная и трансверсальная компоненты ч равны г и гО соответственно. Проектируя их также на оси а и Ь, получаем и=гз)пф+гОсозф, (5.80) та= — гсоз ф+гйз)пф. (5.81) Семь уравнений (5.67), (5.71), (5.72), (5.78) — (5.81) позволяют найти семь неизвестных функций времени 1: г, О, и, пт, ф, Ф, 1 и, таким образом, полностью определить участок промежуточной тяги.
Так как поле стационарно, можно сразу записать первый интеграл выписанных уравнений в форме (3.40). В проекциях на а и Ь мы имеем р=(р, О), я= ( — — та!пф, — 2созф), = -г г (582) р=(0, рФ), «=(и, нт). 1ОЗ 5.2. Участки ярояежуточяой тяги Подстановка в (3.40) теперь дает пяР = С вЂ” —, з)п ф. т г' (5.83) Еще один первый интеграл можно вывести следующим образом: из (5.78) и (5.79) получим сначала уравнение ф'созф — фз(пф=фсозф (5.84) и затем из (5.72) — соотношение ш+иф — гФтсозф+гфз!пф=О, (585) эквивалентное выражению д (тв+ гФз(п ф)=0, (5.86) Отсюда с учетом (5.87) находим результат с! А — 2а = — (г соз ф), ас (5.91) как это следует из (5.67) и (5.80).
В результате интегрирования приходим к первому интегралу в форме та+ гф а !0 ф = А, (5.87) где А — постоянная интегрирования. Исключая ф из (5.83), (5.87), а затем также из (5.78), (5.83), получаем тв (А — тв) = (Сг — — з(п ф) з1п р, (5.88) г иР(! — 3 з1птф) = — ~Сг — — з)п ф) . (589) т1 г Таким образом, то и г также определяются как функции ф без дальнейшего интегрирования. Поэтому впредь в этом разделе удобно рассматривать ф в качестве независимой переменной; штрихом будем обо. значать дифференцирование по этой переменной.
Из (5.67) и (5.81) следует та = — — (г соз ф)+ гф з1пф. (5.90) 106 5. Базис в нсютоновон поле тяготения который перепишем следующим образом: (А — 22а) г' = — „(г соз 1р). (5.92) Интегрируя последнее уравнение, можно найти 1 в зависимости от 1р. Аналогичным способом из (5.87) получаем уравне- ние Н (А — тв) тз1пЧ (5.98) азг 1 — 3з' (5.94) (5.95) где а=9у/Аз, з=з!и ср, а неопределенность в знаке будет разрешена позднее. Очевидно, а — величина положительная, имеющая физическую размерность длины. Из (5.92) далее следует 1 + аа' з~(зз~ — 3) 212 (1 3 2)2 (5.96) интегрирование которого позволяет найти зр как функцию 1р, после чего (5,67) немедленно превращается в выражение для определения О через тот же параметр.
Окончательно можно найти 1 и и в зависимости от 1р при помощи уравнений (5.71) и (5.80) соответственно. Хотя схематически приведенный выше ход выкладок принципиально можно довести до конца, возникающие на этом пути практические затруднения в общем случае кажутся непреодолимыми, вследствие чего мы в этой книге больше не будем заниматься указанным вопросом. Однако в таком практически важном случае, когда время перелета не фиксировано заранее, С обращается в нуль и все выкладки сильно упрощаются. Так, для указанного случая из (5.88), (5.89) находим 5.2. Участки оромежуточиоа тяги 107 (5.97) где с=сов чр. Соотношение (5.93) дает чР' =3 — — 5, (5.98) причем без неопределенности в знаке, откуда ф = сопз1 — 5<р — 3 с1д тр.
Из (5.67) получаем Е=Е,— 4р — Зс1д р, (5.99) (5.100) где ео — постоянная. Уравнения (5.94), (5.100) образуют параметрические уравнения участка ПТ в полярных осях. При изменении ~р от Одо ст=агсз(п(1ДГЗ) (ст — положительНЫй ОСтрЫй УГОЛ) Е ИЗМЕНяЕтСя От — оо дО (ео — 4я— — 3/2), а т — от 0 до оо, причем весь процесс протекает монотонно. Соответствующая ветвь участка ПТ является спиралью, раскручивающейся из полюса О в направлении против часовой стрелки и уходящей на бесконечно большое расстояние после бесконечного числа оборотов вокруг полюса. Если заменить тр на ~р — и, выражение для т не изменится, а в формуле для 6 появится только один дополнительный постоянный член. Это означает, что когда чр принимает значения из третьего квадранта, соответствующая дуга отличается от уже описанной только своей ориентацией.
Если вместо чр подставить — ~р или и — тр, выражение для т вновь не изменится, однако формула для 6 будет теперь иметь вид Е.=Е,+4 р+Зс(д р, (5.101) где любой новый постоянный член учитывается значением Е,. Это означает, что при значениях тр из причем зиан определяется согласно знаку (5.95). Интегрируя это уравнение„ получаем т 1 о 31 з 8 + — 1= — — со+ — оз — — с— амт 9 81 9 2.гт2 )гЗс — )г2 1 е 81 Р 3 РгЗе+У 2 81 Зе' — 2 108 Б, Баэие в ньвтоновом поле тяготения второго и четвертого квадрантов результирующая кривая представляет собой зеркальное отображение описанной выше спирали, иначе говоря спирали, раскручивающейся по часовой стрелке.
Значения <р, лежащие в пределах (а, и — а) или (а — и, — и), недопустимы, так как им соответствуют отрицательные значения г, в то время как т рассматривается всюду как существенно положительная величина. Итак, мы подвергли рассмотрению весь мыслимый диапазон значений ьр. Исходя из сказанного, ограничим область изменения ~р диапазонами (О, а) и (и — а, и).
Это ограничение не приводит к какой-либо потере общности, так как путем изменения знака реактивного ускорения ) всегда можно перевести значение ~р из третьего и четвертого квадрантов в первый и второй соответственно. Позднее будет показано, что указанное ограничение в действительности приводит только к положительным значениям ). Так как по предположению 0 возрастает с течением времени 1, спираль, соответствующая значениям ~р из первого квадранта, представляет собой траекторию ракеты, которая исходит из центра тяготения.
По спирали, соответствующей значениям р из второго квадранта, ракета приближается к центру тяготения. Все спирали промежуточной тяги идентичны во всем, за исключением ориентации (определяемой О,), масштаба (определяемого значением а) и направления движения вокруг полюса (определяемого диапазоном значений <р). Отметим еще, как можно разрешить неопределенность в знаке. Дифференцируя (5.!00), получаем 0' = Зз-' — 4 )~ 5, (5.102) так как зт(1/3. Отсюда 1'= —.-) О, (5.103) й так как по предположению 0 всюду больше нуля.
Неравенство (5.103) совместно с уравнением (5.96) только при условии, что знак плюс имеет место при отрицательных значениях з (т. е. когда угол ф заклю- 109 Ю.2. Участки промежуточной тяги чен во втором квадранте), а знак минус — при положительных з (т. е. когда угол ср лежит в первом квадранте). Отсюда заключаем, что отрицательный знак в уравнениях (5.95) — (5.97) фигурирует при удалении ракеты от полюса, а положительный — в случае, когда ракета приближается к полюсу.
Теперь можно найти и при помощи (5.80): причем знак выбирается согласно установленному правилу. На основании (5.7!) вытекает следующее выражение для 1: 7 = —, (, ) з-и (27 — 752'+ 60зч). (5,105) Здесь неопределенность в знаке отсутствует и, как отмечалось выше, г' больше нуля для всех рассматриваемых значений ~р. Уравнение (5.73) показывает, что характеристическую скорость на любом участке спирали можно вычислить по формуле / (с(С= ~ ~( — ) т 3 зяг) созср~, (5.106) взятой с учетом соответствующих пределов.
Полная энергия на единицу массы Е аппарата в любсгй момент дается выражением Š— (пг + тат) г г т 2 г т 9 — 72я'+ 169я' — 12бя~ (5 107) о 2ач (3 — ояг)' Пра удалении ракеты от центра тяготения и увеличении л от 0 до 1/ф'3 энергия Е возрастает в отрицательхтом диапазоне до нуля и, наконец, становится "ело жительной на конечном участке спирали. Это озвачгает, что ракета в конце концов уходит от центра тягах ения Нй б. Базис в нвютоновом поле тяготения В заключение приведем соотношения для радиальной и трансверсальной компонент скорости аппарата: Отсюда угол 11 между направлением движения и перпендикуляром к радиус-вектору определяется следующим образом: от бз (1 — йзт) 15т,= — '=,,) 3, созйг. (5.110) На тех участках спирали, где угол ср мал, имеется приближенная зависимость 1К Х = 2з = 2 з1 и (р, нли Х = 2ср, (5.111) т.
е. вектор тяги направлен по биссектрисе угла между перпендикуляром к радиус-вектору и направлением движения. Этот вывод соответствует результату, полученному Лоуденом [2] для задачи об оптимальном уходе от центра тяготения при помощи тяги заданной малой величины. 5.3.
Участки максимальной тяги Имея в виду аналитическую сложность описания участков МТ в однородном гравитационном поле (см. равд. 4.1), следует ожидать, что решение для соответствующих дуг в поле с тяготением, обратно пропорциональным квадрату расстояния от центра, будет представлять значительные трудности. Действительно, это решение нельзя выразить при помощи известных функций. К моменту выхода настоящей монографии (1962 г.) такое решение не было найдено. Однако, если допустима аппроксимация этих участков точками соединения, то можно привлечь изложенную в равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
